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专题 04 数列的通项、求和及综合应用
【命题规律】
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等
比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问
题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综
合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查
数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，
进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与
数学归纳法的结合问题，也应适度关注．
【核心考点目录】
核心考点一：等差、等比数列的基本量问题
核心考点二：证明等差等比数列
核心考点三：等差等比数列的交汇问题
核心考点四：数列的通项公式
核心考点五：数列求和
核心考点六：数列性质的综合问题
核心考点六：实际应用中的数列问题
核心考点七：以数列为载体的情境题
【真题回归】
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ，
累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,又 ，
∴ ， ， ，…， ，
累加可得 ，
∴ ，
即 ，∴ ，即 ；
综上： ．
故选：B．
2．（2022·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 _______．
【答案】2
【解析】由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .
故答案为：2.
3．（2022·全国·高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【解析】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以
原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
4．（2022·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．【解析】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
5．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【解析】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，
设
所以 ，
则 ，
作差得
，
所以 ，
所以 .
6．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
（2）因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
，
，
由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又
所以
【方法技巧与总结】
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列 满足 （常数）（
， ）不能判断数列 为等差数列，需要补充证明 ；
2、数列 满足 ，则 是等差数列；
3、数列 满足 ， 为非零常数，且 ，则 为等比数列；
4、在处理含 ， 的式子时，一般情况下利用公式 ，消去 ，进而求
出 的通项公式；但是有些题目虽然要求 的通项公式，但是并不便于运用 ，这时可以考虑先消去
，得到关于 的递推公式，求出 后再求解 ．
5、遇到形如 的递推关系式，可利用累加法求 的通项公式，遇到形如 的
递推关系式，可利用累乘法求 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足
进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：
（1）形如 （ ， ），可变形为 ，则 是以
为首项，以 为公比的等比数列，由此可以求出 ；
（2）形如 （ ， ），此类问题可两边同时除以 ，得 ，设
，从而变成 ，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如 ，可以考虑两边同时除以 ，转化为 的形式，设 ，
则有 ，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差
或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为 进行讨论．
8 、 用 裂 项 相 消 法 求 和 时 ， 要 对 通 项 进 行 变 换 ， 如 ： ，
，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，
也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若 ，且 ， 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 的前 项和；
（2）通项公式为 ，其中数列 ， 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求
和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列 中，若 （ ， ， ， ， ），则 ．
在等比数列 中，若 （ ， ， ， ， ），则 ．
12、前 项和与积的性质
（1）设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ．
① ， ， ，…也成等差数列，公差为 ．
② 也是等差数列，且 ，公差为 ．
③若项数为偶数 ，则 ， ．
若项数为奇数 ，则 ， ．
（2）设等比数列 的公比为 ，前 项和为
①当 时， ， ， ，…也成等比数列，公比为
②相邻 项积 ， ， ，…也成等比数列，公比为 ．
③若项数为偶数 ，则 ， ；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列 和 均是等差数列，且等差数列 的公差为 ， ， 为常数．
① 的等距子数列 也是等差数列，公差为 ．
②数列 ， 也是等差数列，而 是等比数列．
（2）设数列 和 均是等比数列，且等比数列 的公比为 ， 为常数．
① 的等距子数列 也是等比数列，公比为 ．
②数列 ， ， ， ， ，也是等比数列，而 是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法 ：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为 ，解方程组 ，再与首项比较大小．
【核心考点】
核心考点一：等差、等比数列的基本量问题
【规律方法】
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，
将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，
由已知 ，
解得 ，
故选：D.
例2．（2022·江西·临川一中高三阶段练习（文））已知数列 满足 ， ，则
=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
等式两边开方可得： ，即 ，所以数列 是以首项为 ，公差为1的等差数列，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C．
例3．（2022·新疆·高三期中（理））已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有奇数项之和
的3倍，前4项之积为64，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．1或
【答案】D
【解析】设首项为 ，公比为 ，数列共有 项，则 满足首项为 ，公比为 ，项数为 项，设所
有奇数项之和为 ，
因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以 ，
所以 ， ，
故满足 ，解得 ，
又 ，
所以 .
故选：D
例4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ，
成等比数列，则数列 的前9项的和为（ ）
A．1 B．2 C．81 D．80
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，解得 .
又 ， ， 成等比数列，所以 .设数列 的公差为 ，
则 ，即 ，整理得 .
因为 ，所以 .
所以 .
故选:C.例5．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知数列 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ， ， ，
∴数列 是首项为 ，公比为4的等比数列，
∴ ，
当 时，
，
∵n＝1时， ，∴ ，
，
故选：D.
例6．（2022·湖北·高三阶段练习）在公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，
设数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ， 成等比数列，得 ，即
，解得 或 （舍去），所以 .从而 ，故
，
，
两式相减，得
，所以 .所以 .
故选：C.
例7．（2022·江苏无锡·高三期中）已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两
个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）A．1460 B．1472
C．1666 D．1678
【答案】C
【解析】有两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182，194是两
个数列的相同项.
共有 个，也是等差数列，
它们的和为 ，
这个新数列的各项之和为1666.
故选：C.
核心考点二：证明等差等比数列
【规律方法】
判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于 的任意正整数：
①若 为一常数，则 为等差数列；
②若 为常数，则 为等比数列．
（2）通项公式法：
①若 ，则 为等差数列；
（2）若 ，则 为等比数列．
（3）中项公式法：
①若 ，则 为等差数列；
②若 ，则 为等比数列．
（4）前 项和法：若 的前 项和 满足：
① ，则 为等差数列．
② ，则 为等比数列．
【典型例题】
例8．（2022·吉林长春·模拟预测）已知数列 满足： ， ．
(1)证明：数列 是等差数列；(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）将 两侧同除 ，
可得 ， ，
又因为 ，
即数列 是首项为1，,公差为1的等差数列．
（2）由（1）可知， ，即 ，
则 ，
.
例9．（2022·河南·高三期中（理））已知数列 的前 项和为 ， ， .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1）当 时， ,
当 时，由 得 ，
∴ ，又∵ ，
∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是以1为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）知 ，∴
∵ ，
∴
∴
，
∴ .
例10．（2022·全国·高三专题练习）在数列 中， ， .
(1)求 ， ；
(2)证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
【解析】（1）因为 ，
所以当 时， ，则 ，即 ，解得 ，
当 时， ，则 ，即 ，解得 ，
所以 ， .
（2）因为 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，
故 ，则 .
例11．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一
次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次
传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为 ，通过三次传球，求 的分布列与期望；
(2)设第 次传球后，甲接到球的概率为 ，
（i）试证明数列 为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．【解析】（1）由题意知 的取值为 ，
； ；
；
所以X的分布列为
0 1 2
所以 ；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则 ，
时，第 次传给甲的事件是第 次传球后，球不在甲手上并且第 次必传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当 时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数 .
例12．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知数列 满足： ， ．
(1)求 ， ；
(2)设 ， ，证明数列 是等比数列，并求其通项公式；
(3)求数列 前10项中所有奇数项的和．
【解析】（1）依题意，数列 满足： ， ，
所以 .
（2） ，.
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
（3） ， ，
所以 ，
所以 .
例13．（2022·河南·高三期中（理））已知数列 的各项均不为0，其前 项的乘积 .
(1)若 为常数列，求这个常数；
(2)若 ，设 ，求数列 的通项公式.
【解析】（1）已知 ，当 时，有 ，
因为 为常数列，所以
故这个常数为2.
（2）已知 ，
所以当 时， ，
两边同时取对数，则 ，
当 时， ， ，
因此 的首项为1，且从第二项开始，是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ，所以
所以数列 的通项公式为 .
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .求数列 的通项公式;
【解析】 ， ， ，即 ，解得： ；
由题意知： ；由 得： ，又 ，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，则 .
例15．（2022·全国·高三专题练习）问题：已知 ，数列 的前n项和为 ，是否存在数列 ，
满足 ，__________﹖若存在．求通项公式 ﹔若不存在，说明理由．
在① ﹔② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在上面
问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选①：
，即 是以2为公差，1为首项的等差数列
，即
当 时，
显然， 时，上式不成立，所以 .
选②：当 时， ，即
所以
整理得
又 ，
所以 从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列
当 时， ，即
显然， 时，上式成立，所以
选③：
又
是以2为公比和首项的等比数列
，即
核心考点三：等差等比数列的交汇问题
【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
【典型例题】
例16．（2022·河南·一模（理））已知等比数列 的前 项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在 项
（其中 是公差不为 的等差数列）成等比数列？若存在，求出这 项；若不存在，请说明理
由．
【解析】（1）当 时，由 得： ，
，则 ，
为等比数列， 等比数列 的公比为 ；
当 时， ， ，解得： ，
（2）假设存在满足题意的 项，
由（1）得： ，又 ， ；
成等比数列， ，即 ，
成等差数列， ， ，
，
整理可得： ，又 ， ，
即 ，解得： ，则 ，与已知中 是公差不为 的等差数列相矛盾，
假设错误，即不存在满足题意的 项.
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)判断数列 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
【解析】（1） ， ，则当 时， ，即 ，而，因此，数列 是公比为2的等比数列，则 ，即 ，所以
.
（2）记 ，由（1）知， ，不妨假设存在
三项成等差数列，则 ，因为 ，所以 ，令
，则 ，于是有 对 是递增的，则 ，即
，因此 ，即 ，其左边为负
数，右边为正数，矛盾，所以数列 中不存在成等差数列的三项．
例18．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列 中 成等差数列，
则 __________．
【答案】9
【解析】设正项等比数列 的公比为 ，则 ，
因为 成等差数列，所以 ，
即 ，又 ，
所以 或 （不符合题意，舍去）.
所以 ，
故答案为：9.
例19．（2022·湖北·高三期中）已知 是等差数列， 是等比数列， 是数列 的前n项和，
， ，则 =______．
【答案】−1
【解析】因为 是等差数列，且 是数列 的前n项和，所以 ，解得 ，
因为 是等比数列，所以 ，
则 .故答案为： .
例20．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列 的前 项利为 ，若 ， ，1成等
比数列，且 ，则 的公差 的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为 ， ，1成等比数列，所以 ，所以 ，即 ，即
．由 ，得 ，解得 ，即 的公差 的取值
范围为 ．
故答案为： ．
例21．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列 的公差 不为零，等比
数列 的公比 是小于1的正有理数．若 ， ，且 是正整数，则 的值可以是
______．
【答案】
【解析】由题意知： 是首项为 ，公差为 ，且 的等差数列，
是首项为 ，公比为 ，且 的等比数列，
∴ ，
要使 为正整数，即 为正整数，
∵ ， ，∴ ，
设 ， ，即 ，即 ，
又∵ ，∴ 为正整数，
则满足范围的 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又 ，
即 ，
又由题意知： ，且为有理数，∴ ，∴只有当 时，满足题意，
此时： .
故答案为： .
例22．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A， ，定义集合
. 己知等差数列 和正项等比数列 满足 ， ， ，
．设数列 和 中的所有项分别构成集合A， ，将集合 的所有元素按从小到大依次排
列构成一个新数列 ，则数列 的前30项和 _________.
【答案】1632
【解析】 为正项等比数列，则 ，解得 或
（舍），∴ ；
为等差数列，则 ，∴ ，∴ .
由 ，可得当 时， ，
故数列 的前30项包含数列 前33项除去数列 第2、4、6项，
.
故答案为：1632
例23．（2022·全国·模拟预测（文））设数列 ， 满足 ， ，则它们的公共项由小到
大排列后组成新数列 ．在 和 中插入 个数构成一个新数列 ： ，1， ，3，5，
，7，9，11， ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列 的前20项和
______．
【答案】1589
【解析】 ， 数列 是以2首项，公比为2的等比数列，
， ， ， ，
因为 ，所以 ， ， ，
知 显然不是数列 中的项．
，
是数列 中的第4项，
设 是数列 中的第 项，则 、 ．，
不是数列 中的项．
，
是数列 中的项．
， ， ， ， ，
数列 的通项公式是 ．
因为 ，
所以 的前 项包括 的前 项，以及 的前 项，
所以
故答案为： .
核心考点四：数列的通项公式
【规律方法】
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如 的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒数法：形如 的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公
式．
【典型例题】
例24．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）在数列 中. ， 是其前n项和，当 时，
恒有 、 、 成等比数列，则 ___________
【答案】
【解析】当 时，由题可得 ，即 ，
化简得 ，得 ，两边取倒数得 ，
，
所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
，
，
当 时， ，
所以， .
故答案为： .
例25．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
，则数列 _____________．
【答案】
【解析】由题意可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：
例26．（2022·福建·高三阶段练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】当 时， ，则 ；当 时， ，
两式相减，整理得 ，
设公差为 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为
______．
【答案】
【解析】由 两边取倒数可得 ，即 ．
所以数列 是首项为2，公差为3等差数列.
所以 ，所以 ．
故答案为： .
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列 中， ， ，则
__________．
【答案】
【解析】因为 ，当 时， ，
则 ，即有 ，当 时， ，得 ， 满足上式，
， ，因此数列 是常数列，即 ，所以 .
故答案为：
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列 中， ， ，则 ______．
【答案】【解析】因为 ， ，所以 ，
整理得 ，所以数列 是以 为首项，
为公比的等比数列，所以 ，解得 ．
故答案为： .
例30．（2022·全国·高三专题练习）设 是首项为1的正项数列且
，且 ，求数列 的通项公式_________
【答案】
【解析】依题意 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
，
所以 ，
经检验， 也符合上式. 所以 .
综上所述， .
故答案为： .
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， （ ），
则 ___________
【答案】
【解析】因为 ，则 ，当 时， ，因此 ，
化简整理得 ，而 ，有 ，即有 ， ，
因此，数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ，即 ，
所以 .故答案为：
例32．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足： ， ，则 的
通项公式为_____________.
【答案】
【解析】由 得， ，
则 ，
即 ，又 ，所以 .
故答案为： .
例33．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和
为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开
始掷，则第n次由甲掷的概率 ______（用含n的式子表示）．
【答案】
【解析】易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为 ．“第 次由甲掷”这一事件，包含事件“第
n次由甲掷，第 次继续由甲掷”和事件“第n次由乙掷，第 次由甲掷”，这两个事件发生的概率
分别为 ， ，
故 （其中 ），
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
于是 ，即 ．
故答案为：
核心考点五：数列求和【规律方法】
求数列前 项和 的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前 项和公式求数列的前 项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有
两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项： ；
②根式裂项： ；
③对数式裂项 ；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
【典型例题】
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前n项和为 ，点
均在函数 的图象上，函数 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)令 ，求数列 的前2020项和 .
【解析】（1）因为点 均在函数 的图象上，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，适合上式，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
所以 .
（3）由（1）知 ，可得 ，所以 ，①
又因为 ，②
因为 ，
所以① ②，得 ，
所以 .
例35．（2022·陕西渭南·一模（理））已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 ，
.各项均为正数的等比数列 满足 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，
两式相减，得 ，即 ，
又各项均为正数，所以 ，即 .
因为 满足上式，
所以 是首项为1，公差为3的等差数列.
所以 .
设等比数列 的公比为 ，因为 ， ，
所以 ，
解得 （或 舍去），
所以 .
（2） ，
所以 ，
，
两式相减得：所以 .
例36．（2022·陕西渭南·一模（文））已知等差数列 的前 项和为 ，不等式 的解集
为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
关于 的不等式 的解集为 .
和4是方程 的两个根，由韦达定理有 ，
解得 ，所以 ， .
数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可得 ， ，
则 .
数列 的前 项和
.
例37．（2022·全国·模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）（1）解法一 由 知 ，
可得 ， ，…， ，则 ，（累乘法的应用）
即 ，又 ，所以 ，
当 时， 也满足上式，（注意验证 的情况）
所以 ．
解法二 由 知 ，
又 ，则 是以－2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ．
（2）由（1）知
，
故 ．
例38．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知数列 的各项均为正数的等比数列， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）设公比为 ，由题意得
解得
（2）
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ；
．例39．（2022·四川省蓬溪县蓬南中学高三阶段练习）给定数列 ，若满足 ，对于任
意的 ，都有 ，则称 为“指数型数列”.若数列 满足： ；
(1)判断 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）将 两边同除
得： ，
是以 为首项，公比为 的等比数列，
是“指数型数列”
（2）因为 ，则
.
例40．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 满足 ， （
为正常数），且 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1）数列 满足 , ，
可得 成等差数列，即奇数项成等差数列,设公差为 ,
且偶数项成等比数列,公比为 ,且 ， ， ,
可得 , ,解得 ,
则 ,化为
（2）当 为偶数时,
数列 的前 项和
当 为奇数时 ,
当 时 也适合上式.
综上:
例41．（2022·全国·高三专题练习） 为等差数列 的前 项和，且 ，记 ，其中
表示不超过 的最大整数，如 .
(1)求 ；
(2)求数列 的前2022项和.
【解析】（1）因为 为公差为 的等差数列 的前 项和，
且
所以 ，解得 ，则公差 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，（2）由于 ，
，
，
所以数列 的前2022项和，
例42．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1）因为 ，
所以当 时， ；
当 时， ，
故 ，则 ；
经检验： 满足 ，
所以 .
（2）由（1）知，令 ，得 ，
故当 时， ，
；
当 时， ，易知 ， ， ， ，
所以
；
综上： .
核心考点六：数列性质的综合问题
【典型例题】
例43．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，则 的最小值是
（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6【答案】A
【解析】∵ ，∴当 时， ，当 时， ，∴
，显然 的最小值是 .
又 ，∴
，即 的最小值是 .
故选：A
例44．（2022·福建三明·高三期中）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满
足条件 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是数列 中的最大值
C． D．数列 无最大值
【答案】C
【解析】等比数列 的公比为 ，则 ，由 ，则有 ，必有
，
又由 ，即 ，又 ，则有 或 ，
又当 时，可得 ，由 ，则 与 矛盾
所以 ，则有 ，
由此分析选项：
对于A， ，故 ，故A错误；
对于B，等比数列 中， ， ，所以数列 单调递减，又因为 ，所以前 项
积为 中， 是数列 中的最大项，故B错误；
对于C，等比数列 中，则 ，则 ，故C正确；
对于D，由B的结论知 是数列 中的最大项，故D错误.
故选：C.
例45．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 的前 项和 ，则数列
中的最大项为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， .
当 时，由已知得， ， ，
则 .
当 时， ，满足.
所以， .
设 ，则 .
设数列 中的第 项最大，则应满足 ，即 ，整理可得
解得 ，又 ，所以 ， ，
又 .
所以，数列 中的最大项为 .
故选：C.
例46．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列 的前n项和为 ，且 ，若
恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为
当 时，解得：
当 时， ，两式相减得：
数列 是首相为 ，公比为2得等比数列
所以 ，所以
易得
，即
，即
所以 ，即
易知 时， ， ， ， ，
满足 ，所以
所以 ，
故选：C
例47．（2022·山西运城·高三期中）已知数列 满足 ，若 ，数列 的前 项
和为 ，且对于任意的 都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，可知 为等比数列，所以 ，故 ，进而
，所以
，
故 ，即 ，
当 为奇数时，则对任意的奇数 ，满足 ，由于 单调递减，当 时， 有最大值 ，所以 ,
当 为偶数时，满足 ，由于 单调递减， ，
综上可得 ，
同理 ，
故当 时， ，故 ，
综上： ，
故选：D
例48．（2022·山东聊城·高三期中）若函数 使得数列 ， 为递增数列，则称函数
为“数列保增函数”．已知函数 为“数列保增函数”，则a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，对 ， ，
即 ，
即 ，对 恒成立，
由于 在 上单调递增，故 ，
故 .
即 .
故选：B
例49．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知等比数列 的前5项积为32， ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等比数列性质可知， ，因为 ，所以 ，
从而
不妨令 ，则 ，
由对勾函数性质可知， 在 上单调递减，
故对于 ， ， ，
从而 ，则 .
故 的取值范围为 .
故选：D.
例50．（2022·北京八中高三阶段练习）已知数列 是递增数列，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列 是递增数列，且 ，
则 ，解得 ，
故 的取值范围是
故选：D
例51．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ， ，
，当 时， ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由 ①，可得 ②，所以②－①得 ，即 .因为 ，
所以 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，故 .
当 时， ，当 时， 也符合 ，故 .
显然 随着 增大而增大， 随着 增大而减小，且 ， ，
故要使得 恒成立，则 .
故选：B
核心考点六：实际应用中的数列问题
【规律方法】
解数列应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意数列问题模型．
（3）应用数列知识求解．
（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
【典型例题】
例52．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）某单位用分期付款方式为职工
购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，
并加付此前欠款利息，月利率 ，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ）
A．1205万元 B．1255万元 C．1305万元 D．1360万元
【答案】B
【解析】由题意知，还的次数为 次，每次付款本金均为50万元，利息依次为
构成了一个等差数列，
则所还欠款利息总额为 万元，故各次付款的总和为
万元.
故选：B.
例53．（2022·全国·高三专题练习）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免
息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据
测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资
金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为 ，则下列结论正确的是（ ）
（参考数据： ， ）
①②
③2020年小王的年利润约为40000元
④两年后，小王手中现款约达41万
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③
【答案】A
【解析】对于①选项， 元，故①错误
对于②选项，第 月月底小王手中有现款为 ，则第 月月底小王手中有现款为 ，由题意
故②正确；
对于③选项，由 得
所以数列 是首项为 公比为1.2的等比数列，
所以 ，即
所以2020年小王的年利润为 元，故③正确；
对于④选项，两年后，小王手中现款为 元，即41
万，故④正确.
故选：A.
例54．（2022·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应
国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款
10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底
扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所
得收入为（ ）（取 ， ）
A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元
【答案】B
【解析】设 ，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为 ， ，…， ，
，同理可得 ，
所以 ，
而 ，所以数列 是等比数列，公比为1.2，
所以 ， ，
∴总利润为 ，
故选:B．
例55．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十
个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第
十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室
投入的总费用最多需要（ ）
A．2806万元 B．2906万元 C．3106万元 D．3206万元
【答案】A
【解析】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为 万元 ，则 ，且
，解得 ，故 .依题意， ，即 ，所以，总费用为：
.
故选：A.
例56．（2022·全国·高三专题练习）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没
有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、
每次接触过程中传染的概率决定．对于 ，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传
染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天（初始感染者传染 个
人为第一轮传染，经过一个周期后这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个
初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据： ， ）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
【答案】B
【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为 ，
经过n轮传染，总共感染人数为： ，
∵ ，∴当感染人数增加到1000人时， ，化简得 ，
由 ，故得 ，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要 天，
故选：B
核心考点七：以数列为载体的情境题
【规律方法】
1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出
结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．
【典型例题】例57．（2022·上海市行知中学高三期中）定义：对于各项均为整数的数列 ，如果 ( =1，2，
3，…)为完全平方数，则称数列 具有“ 性质”；不论数列 是否具有“ 性质”，如果存在数列
与 不是同一数列，且 满足下面两个条件：
（1） 是 的一个排列；
（2）数列 具有“ 性质”，则称数列 具有“变换 性质”.给出下面三个数列：
①数列 的前 项和 ；
②数列 ：1，2，3，4，5；
③数列 ：1，2，3，4，5，6.
具有“ 性质”的为________；具有“变换 性质”的为_________.
【答案】 ① ②
【解析】对于①，当 时，
，
，2，3， 为完全平方数
数列 具有“ 性质”；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换 性质”，数列 为3，2，1，5，4，具有“ 性质”，
数列 具有“变换 性质”；
对于③， ，1都只有与3的和才能构成完全平方数， ，2，3，4，5，6，不具有“变换 性质”．
故答案为：①；②．
例58．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成
一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到 ；
第二次拓展得到数列 ；第 次拓展得到数列 .设 ，其
中 ___________， ___________.
【答案】
【解析】由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时 ，
第2次得到数列1，4，3，5，2，此时 ，
第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时 ，
第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时 ，
第 次得到数列1， ， ， ， ， ，2，此时 ，由上述列出的数列可得： ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： ； ；
例59．（2022·河北唐山·三模）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘
以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
．如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共需要
经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列 满足： （m为正整数），
①若 ，则使得 至少需要_______步雹程；②若 ；则m所有可
能取值的和为_______．
【答案】 9 385
【解析】m=13，依题意， ，
共9共 步骤；
若 ， ， 或 ，
若 ，
若 ，
的集合为 ，其和为385；
故答案为：9,385.
例60．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知数列 为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，
4，8，16，…，其中第一项是 ，接下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，依此规律类
推．若其前n项和 ，则称k为 的一个理想数．将 的理想数从小到大依次排成一列，
则第二个理想数是______；当 的项数 时，其所有理想数的和为______．【答案】 2 115
【解析】由题意可知 ,故第一个理想数为1，第二个理想数为2，
当 时，数列可分为：
第1组1个数：1，其和为 ，
第2组2个数： ， ，其和为 ，
第3组3个数： ， ， ，其和为 ，
……，
第N组N个数： ， ， ，…， ，其和为 ，
于是，前N组共 个数，其和为 ，
当 时， 不可能是2的整数幂，
设第 组还有t个数（ ），这t个数的和为 ，
所以项数 ，其前n项和 ，
当 时，若 ，则 是 的一个理想数．
由项数 ，即 得 ，
由 ，因此 ．
当 时， ，理想数为6；当 时， ，理想数为14；
当 时， ，理想数为30；当 时， ，理想数为62；
所以当项数 时， 所有理想数的和为 ．
故答案为：2；115
例61．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，
则称这个数列为“ 数列”.已知数列 满足： ， ，则数列 的通项公式
___________；若 ， ，且数列 是“ 数列”，则t的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】∵ ， ，∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ ；
∴ ，则 ，
∵数列 是“ 数列”，∴ 对任意n≥2， 均成立，
即 对于任意n≥2， 均成立，∵函数 在R上单调递增，故 ≥ ，
∴ ，解得t<1；
又 在t<1时也成立，
故当t<1时，对任意 ， 均成立，故t的范围是 ．
故答案为： ； ．
例62．（2022·全国·模拟预测）将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级
Koch曲线“ ”，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线，同理可得3级
Koch曲线（如图1），…，Koch曲线是几何中最简单的分形．若一个图形由N个与它的上一级图形相似，
相似比为r的部分组成，称 为该图形分形维数，则Koch曲线的分形维数是________．（精确到
0.01， ）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，
畅想着“一起向未来”的美好愿景．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再
将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3），…，依次得到n级Kn
（ ）角雪花曲线．若正三角形边长为1，则n级Kn角雪花曲线的周长 ________．
【答案】 1.26
【解析】第一空： 时，有1个基本图形， 时，有4个基本图形， 时，有16个基本图形，故
，又相似比 ，故图形分形维数 ；
第二空：结合定义可知，后一个图形边数是前一个图形的4倍，边长是前一个图形的 ，故边数是公比为
4的等比数列，边长是公比为 的等比数列，
又第1级六角雪花曲线边数为12，边长为 ，故n级Kn角雪花曲线边数为 ，边长为
，故周长 .
故答案为：1.26； .
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ， ，数列 的
前n项和为 ，则 （ ）
A．0 B．50 C．100 D．2525
【答案】B
【解析】法一：由于 ①，则当 时， ②，
①-②，得 ，即 ，易知 ，
所以 ．
又 满足 ，故 ，则 ，
易知 ，所以 .
法二：由于 ①，则当 时， ②，
①-②，得 ，即 ，又易知 ，
所以数列 为常数列，所以 ，所以 ，则 ，
易知 ，所以 .
故选：B．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时
期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108
座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（
）A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【解析】设成为等差数列的其中10层的塔数为： ，由已知得，该等差数列为递增数列，因为
剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为 ；
故 ， ①；
又由 ②， ，且 ，所以，
①+②得， ，得 ，
由 知 ，
又因为 观察答案，当且仅当 时， 满足条件，所以， ；
组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.
所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：
1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，
则第11层的塔数为17.
故答案选：A
3．（2022·江苏·常熟市中学高三阶段练习）等差数列 各项均为正数，首项与公差相等，
，则 的值为（ ）
A．9069 B．9079 C．9089 D．9099
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，因为首项 与公差 相等，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以
所以 ，
故选：D．
4．（2022·浙江·绍兴市越州中学高三阶段练习）记 表示不超过实数 的最大整数，如 ， ，
，设 ，则 （ ）．
A． B． C． D．【答案】D
【解析】因为 ，且 ， ， ， ，
所以 ， ，
， ，
所以 ，
，
，
，
所以 .
故选：D.
5．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）设等比数列 ，首项 ，实系数一元二次方程
的两根为 ．若存在唯一的 ，使得 ，则公比 的取值可能为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，等比数列 ，首项 ，所以 ，
由于实系数一元二次方程 的两根为 ，
①若 ，且 ，
由 ，
得 .
所以 ，
①若 ，
由求根公式可得 ，
解得 .综上所述， ，注意到选项中的 ，所以 （*），
当 时， ，没有符合题意的 .
当 时， ，
其中 符合（*），具有唯一性， B选项正确.
当 ， ，
其中 符合（*），没有唯一性.
当 时， ，
其中 符合（*），没有唯一性.
故选：B
6．（2022·全国·高三阶段练习）已知等差数列 ， 的前n项和分别为 ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
由题意可得 .
故选：B
7．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 满足 ， 则
满足 的 的最小值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【解析】因为当 时， ， ，所以 ，
当 时， ，
所以当 时， 是以 ， 的等比数列，故 ，
所以 ，
故 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
所以 的最小值为 .
故选：A.
8．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知定义在 上的函数 满足 ，当
时， ，设 在 上的最大值为 （ ），且 的前 项和
为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，
在 上的最大值为： ；
当 时，由 ，
所以 在 上的最大值即 在 上的最大值为： ；
同理，当 时， 在 上的最大值即 在 上的最大值为： ；
当 时， 在 上的最大值即 在 上的最大值为： ；
所以数列 为以 为首项， 为公比的等比数列，所以： ，
故选：A
二、多选题
9．（2022·江苏盐城·模拟预测）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，并满足条
件 ， ， ，下列结论正确的是（ ）A．
B．
C． 是数列 中的最大值
D．若 ，则n最大为4038．
【答案】ABD
【解析】对A，∵ ， ， ，且数列 为等比数列，
∴ ， ，∴ ，
因为 ，∴ ，故A正确；
对B，∵ ，∴ ，故B正确；
对C，因为等比数列 的公比 ， ，所以数列 是递减数列，
因为 ， ，所以 是数列 中的最大项，故C错误；
对D， ，因为 ， ，故 ，
，故 ，即 ，故n最大为4038，故D正确．
故选：ABD．
10．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】 ，∴ ， 是递增数列，
又 ，所以 ， ， ， ， ，A显然错误；
，∴ ，B正确；
对选项C， ，
∴ ，依此类推：
，
，下证 ，
时， ，时， ，
时， ，
假设 时， 成立， ，
则 时， ，
所以对任意不小于3的正整数 ， ，
所以 ，又 是正整数，所以 ，C正确；
对选项D，由选项C得 ，所以 ， D正确．
故选：BCD．
11．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，则（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
D．若 是等比数列，且 ， ，则
【答案】AC
【解析】对于A，若 ，则 ，
当 时， ，显然 时也满足 ，
故 ，由 ，则 为等差数列，故A正确；
对于B，若 ，则 ， ， ，
显然 ，所以 不是等比数列，故B错误；
对于C，因为 为等差数列，则 ，故C正确；
对于D，当 时， ，故当 时，不等式不成立，即
不成立，故D错误．
故选：AC．
12．（2022·山东·微山县第二中学高三期中）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，
且满足条件 ， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． 为递减数列 B．
C． 是数列 中的最大项 D．【答案】ACD
【解析】因为数列 为等比数列，且 ， ，故 ，该数列为正项等比数列；
若 ，显然不满足题意，舍去；若 ，则 ，不满足 ，舍去；
若 ，则该数列为单调减数列，由 ，
故可得 ， 或 ， ，
显然 ， 不满足题意，故舍去，则 ，
对A：因为 ，故数列 为单调减数列，A正确；
对B： ，即 ，即 ，故B错误；
对C：因为 单调递减，且 ，故 的最大值为 ，C正确；
对D： ，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且 ，若 ， ， 成等比
数列，则 ______．
【答案】
【解析】设a，b，c的公差为d，则 ， ，则 ，化简得
，
因为 ，所以 ，则 ，得 ，因此 ．
故答案为：
14．（2022·全国·模拟预测）若定义在 上的函数 满足 ，且 恰
有 （ ）个根 （ ，2，…， ）， ，则数列 的前 项和 ___________.
【答案】
【解析】因为定义在 上的函数 满足 ，
所以如果a是 的一个根，即 ，
所以 因为满足 ，即 也是 的一个根.所以 的根成对出现，且两根之积为 .
所以 ，
所以 .
故答案为：
15．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 的通项公式为 ， ，记 的前n项和为 ，
前n项积为 ，则使不等式 成立的n的最大值为___________.
【答案】17
【解析】由 得 ， ， ，
，
，
由 得 ，所以 .
设 ， ，
当 时， ，不等式成立；
当 时， ， 显然成立；
当 时， ， ，不等式不成立.
故使 成立的n的最大值为17.
故答案为：17
16．（2022·河北·高三期中）定义n个正数 的“均倒数”为 ，若各项均为正数的
数列 的前n项的“均倒数”为 ，则 的值为______
【答案】8091
【解析】由已知可得数列 的前 项的“均倒数”为可得 ,则 时,
，
当 时, ,满足 ,
.
故答案为: 8091 .
四、解答题
17．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 的首项 ，公比为q， 是公差为 的等差数
列， ， ， 是 与 的等比中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）第一步：求数列 的通项公式
因为 是公差为 的等差数列， ， 是 与 的等比中项，
所以 ，（等比数列的性质）
解得 或 （舍去），（注意 ）
所以数列 的通项公式为 ．
第二步：求数列 的通项公式
所以 ，又 ，所以 ，
所以数列 的通项公式为 或 ．
（2）第一步：求数列 的通项公式
由（1）得 ， 或 ，
由 ，得 ，
第二步：利用错位相减法求和
于是 ，
，
则 ，（运用错位相减法求和时最后一项注意变号）即 ，
整理得 ，
所以数列 的前n项和 ．
18．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的各项均不为零， ，前n项和 满足
.
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
【解析】（1）依题意， ， ， ，
，
，
两边除以 得 ，
所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列.
（2）由（1）得 ，所以 ，
所以 .
19．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ， .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)若数列 满足 ，求 的前n项和.【解析】（1）由 ，得 ，
所以
，
又 ，所以数列 是以1为首项， 为公差的等差数列.
（2）由（1）可知， ，
所以 .记 的前n项和为 ，
则 ①，
②，
由①-②得
，
所以 .
20．（2022·全国·模拟预测）在① ，② ，③数列 为等比数列这三个条件中选出两
个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.
问题：已知等比数列 的前 项和为 ，___________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 的前 项和为 ，且 ，求 的值.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）选条件①②：
设数列 的公比为 ，则 ，所以 ，
所以 .
选条件①③：
设数列 的公比为 ，因为 ，数列 为等比数列，
所以 ，得 ，
化简可得 ，得 .
所以 .
选条件②③：
设数列 的公比为 ，因为数列 为等比数列，
所以 ，
得 ，
化简可得 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）根据等比数列求和公式可得 ，
利用分组求和，可得 .
所以 ，得 .
21．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习）已知数列 的前 项和为
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）因为 ，
则有 ，
两边同时除以 得： ， ，
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，
故 ，则 ，
当 时， ，符合 ，
故 .（2） ，
①
②
① ②得：
即 ，
得 .
22．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，向量
，向量 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意正整数 都有 成立，求 ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以， .
当 时， ，解得 （舍）或 .
当 时， ， ，
相减得，
即， ，
化简得 .
，
所以， 是以2为首项，2为公差的等差数列.
.
（2）因为 ，所以 .
由（1）知， ，所以
.
23．（2022·江苏盐城·模拟预测）已知数列 满足 ， ( )，且 (
)．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ( )，求数列 的前n项和．
【解析】（1）因为 ， ， ，
可得 ， ，
又 ，
则当 时，
，
上式对 也成立，
所以 ， ；
（2）由 ，
可得 ，
则数列 的前n项和为
．
