文档内容
专题 04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：隔项等差数列..................................................................2
题型二：隔项等比数列..................................................................5
三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练.........8
一、必备秘籍
1、隔项等差数列
已知数列 ，满足 ，
则 ；
（其中 为常数）；或 则称数列
为隔项等差数列，其中：
① 构成以 为首项的等差数列，公差为 ；
② 构成以 为首项的等差数列，公差为 ；
2、隔项等比数列
已知数列 ，满足 ，
则 ；
（其中 为常数）；或 则称数列 为隔项等比数
列，其中：
① 构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
学科网（北京）股份有限公司② 构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
二、典型题型
题型一：隔项等差数列
1．（23-24高三上·湖南益阳·期末）已知 是等差数列，满足：对 ，
，则数列 的通项公式 ＝（ ）
A．n B．n﹣1 C．n﹣ D．n+
【答案】C
【分析】由 得 ，两式相减得 ，可得d的值，可得
答案.
【详解】解：由 得 ，
两式相减得 ，
故 .
故选 .
【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，由已知得出 是解题
的关键.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
，则 的值为 ， 的值为 .
【答案】 20 231
【分析】由数列的递推关系式可得{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，由
等差数列的通项公式和前n项和公式求解即可得到答案.
【详解】将n＝1代入an＋an ＝2n＋1中得a ＝3－1＝2.
＋1 2
由an＋an ＝2n＋1①，得an ＋an ＝2n＋3②.
＋1 ＋1 ＋2
②－①，得an －an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，
＋2
则a ＝1＋10×2＝21，a ＝2＋9×2＝20，
21 20
学科网（北京）股份有限公司S ＝(a ＋a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋a ＋…＋a )＝ ＋ ＝231.
21 1 3 5 21 2 4 6 20
故答案为：20；231
【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应
用，属于基础题.
3．（2024·广西·二模）在等差数列 中， ，且等差数列 的公差为4.
(1)求 ；
【答案】(1) ；
【分析】（1）利用等差数列的求出公差 ，再求得首项 后可得通项公式；
【详解】（1）设 的公差为 ，则 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足an＋an ＝2n，a ＝1(n∈N*)，求数列
＋1 1
{an}的通项公式．
【答案】an＝
【详解】
解：由an＋an ＝2n ①，得n≥2时，an ＋an＝2(n－1) ②.由①－②得an －an ＝2，
＋1 －1 ＋1 －1
所以该数列奇数项和偶数项分别成公差为2的等差数列，由a＋a＝2，得a＝1，
1 2 2
∴ an＝
5．（四川省眉山市2024届高中第三次诊断性考试数学（文史类）试题）将① ，
，② ，③ ， 之一填入空
格中（只填番号），并完成该题.
已知 是数列 前n项和，___________.
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）若选①，类比作差证明数列是隔项等差数列即可；
若选②，利用类比作差和阶差法可以求解；
若选③，利用公式作差后因式分解，找出 与 的关系，再根据等差数列的定义和通项
公式即可求出 .
学科网（北京）股份有限公司（2）利用数学归纳法证明结论即可.
【详解】（1）若选①：
因为
所以 ，
两式相减得 ，
所以 是隔项等差数列，
且 ，
所以 为奇数 ，
为偶数 ，
所以 .
若选②： ，
所以 ，
两式相减得， ，
所以 ，
所以 .
若选③：
因为 ①，
所以 ②，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，
所以 的通项公式 .
6．（2023届山东省潍坊市三县高三最后一次模拟考试理数）已知数列 满足
．
（1）若 ，求数列 的前 项和 ；
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由 得 ．两式相减，得
,分奇数、偶数两种情况，分别利用等差数列通项公式求解即可；
【详解】（I）由 ，得 ，
两式相减，得 ．
所以数列 是首项为 ，公差为4的等差数列；数列 是首项为 ，公差为4的等
差数列．
由 ， ，得 ．
所以
①当 为奇数时， ，
．
②当 为偶数时，
．
学科网（北京）股份有限公司所以
题型二：隔项等比数列
1．(多选）（广东省广州市白云区2023-2024学年高二上学期期中数学试题）已知数列
中， ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是等比数列 C． D．
【答案】ABD
【分析】先由 分析出数列 的奇数项和偶数项均为等比数列，再逐项判断即
可.
【详解】解：数列 中， ， ，
所以 ，即
因为 ，所以
所以
所以数列 的奇数项和偶数项，均为以 为公比的等比数列
所以
对A， ，故A正确；
对B，由分析知， 是等比数列，故B正确；
对C， ，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对已知数列的递推公式进行变形整理，得到新的递
推公式，从而得到数列 的奇数项和偶数项均为等比数列.
2．（北京市大兴区2023届高三上学期期末检测数学试题）已知数列 中， ，
， ，则下列结论错误的是（）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． 是等比数列 D．
【答案】D
【分析】AB项，分别令 ， ， 求出 的值验证；CD项，由
可得 ，得 ，继而得到 及 均为等比数列，根据等比数列的
通项求解.
【详解】当 时， ，故A正确.
当 时， ，
当 时， ， ，故B正确.
C项， ，
，
所以 得 ，所以 ， 是以 为首项， 为公比的等比数列，
故C正确.
D项，由C项得 ，
又 ， ， 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，故D错误.
故选：D
3．（四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期中数学理科试题）已知正项等比数列
对任意的 均满足 ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据 ，得当 时， ，两式相除可求得公比，再
求出首项，再根据等比数列得通项即可得解；
【详解】（1）设公比为 ，
由 ，得当 时， ，
两式相除得 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 （ 舍去），
学科网（北京）股份有限公司所以 ；
4．（江苏省苏州市第十中学2023-2024学年高二数学10月阶段检测数学试题）在①
，② ，③ ，这三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答
给分）
已知正项数列 满足， ，__________.
(1)求数列 的通项公式：
【答案】(1) ；
【分析】（1）选①根据递推关系可得 ，然后利用等比数列的通项即得，选②根据
条件可得 ，然后利用等比数列的定义及通项即得，选③根据项与前 项和的关
系即得 ，进而即得；
【详解】（1）若选①， ， ，则 ， ，
∴ ，又 ， ，
∴ ， ，
所以 ；
若选②， ，则 ，又 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ；
若选③， ，则 ，
所以 ，即 ，又 ， ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ；
三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练
1．（广东省深圳市2023届高三二模数学试题）已知数列 满足， ，
， .
学科网（北京）股份有限公司(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
(1) 由 得 ,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式；
【详解】（1）由 ，得
以上两式相比，得 ,
由 ， 得 ,
所以，数列 是首项为3，公比4为的等比数列， ,
数列 是首项为6，公比为4的等比数列， ,
综上，数列 的通项公式为 .
2．（湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题）已知数列 的前 项和
为 ，满足 ；数列 满足 ，其中 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据 的关系式可得 是首项为1，公比为 的等比数列，再根据
可分别对 的奇数项和偶数项分别求通项公式可得
；
【详解】（1）由 ①，当 时， ②，
得 ，
当 时， ，
是首项为1，公比为 的等比数列，故 ，
由 ③.由
得 ，又 ④.
④-③得 ，
学科网（北京）股份有限公司的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得 .
综上可得 ；
3．（河北省唐山市玉田县2018-2019学年高一下学期期中数学试题）已知数列 的前
项和为 ， ，且 ， ，（ ）
（1）求 ，并证明：当 时， ．
【答案】（1） ；见证明；
【分析】（1）取 代入 即可求出 ，要证明 ，只需要把 换
成 之间的关系即可．
【详解】（1）当 ，由 及 ，得 ．
当 时，由 ，得 ．
因为 ，所以 ．
4．（新疆维吾尔自治区普通高考2022届高三第一次适应性检测数学（理）试题）已知数
列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
【分析】（1）分奇偶讨论并结合累加法求通项、等比数列前n项和公式计算作答.
【详解】（1）依题意， ，由 得： ，
则当n为奇数， 时，
， 满足上式，
当n为偶数， 时，
， 满足上式，
即当n为奇数时， ，当n为偶数时， ，
所以 ．
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