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专题 04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：隔项等差数列......................................................................................2
题型二：隔项等比数列......................................................................................3
三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练............................5
一、必备秘籍
1、隔项等差数列
已知数列 ，满足 ，
则 ；
（其中 为常数）；或 则称数列 为隔项等差数
列，其中：
① 构成以 为首项的等差数列，公差为 ；
② 构成以 为首项的等差数列，公差为 ；
2、隔项等比数列
已知数列 ，满足 ，
则 ；
（其中 为常数）；或 则称数列 为隔项等比数列，其中：
① 构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
② 构成以 为首项的等比数列，公比为 ；二、典型题型
题型一：隔项等差数列
例题1．（2023春·江苏南京·高二校考期中）已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的前100项和 ；
(2)求数列 的通项公式.
【答案】(1)10000
(2)an＝2n－1
【详解】（1）∵a＝1，an ＋an＝4n，
1 ＋1
∴S ＝(a＋a)＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )
100 1 2 3 4 99 100
＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)
＝4×502＝10 000.
（2）an ＋an＝4n，①
＋1
an ＋an ＝4(n＋1)，②
＋2 ＋1
由②－①得，an －an＝4，
＋2
由a＝1，a＋a＝4，所以a＝3.
1 1 2 2
当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
综上所述， .
例题2．（2020·高二单元测试）数列 满足 ， ，求 .
【答案】 为奇数， 为偶数
【详解】由 ，得 ，
两式作差得 ，即
又
∴数列{an}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，
偶数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列.
则当n为奇数时， ；当n为偶数时， .
∴. 为奇数， 为偶数
例题3．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列 ， ， ， ，
．
(1)求证：数列 是等比数列，并求数列 的前n项和 ；
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时，
当 时，
所以
则当 为偶数时，
累加得： ，所以
当 为奇数时， 为偶数，则 ，则此时 ，
综上可得
所以 ，则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
其前n项和
题型二：隔项等比数列
例题1．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1） ， ，两式相比得 ．
， ．
数列 是以 为首项，4为公比的等比数列；
数列 是以 为首项，4为公比的等比数列．
．
综上， 的通项公式为 ．
例题2．（2023春·福建福州·高二校考期中）在数列 中，已知 ， ，记 为 的前
n项和， ， ．
(1)判断数列 是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)是等比数列，
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 .（2）由（1）知 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 .
例题3．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）在数列 中， ，且 ．
(1)证明： ， 都是等比数列．
(2)求 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为 ，且 ，所以 ， ．
因为 ，故 ，
所以 ， ，
则 ， 都是公比为16的等比数列．
（2）由（1）知 ， 都是公比为16的等比数列，所以 ，
，
故对任意的
三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练
一、单选题
1．（2023春·河南驻马店·高二统考期中）已知数列 满足 是数列 的前
项和，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由题设 ，且 ，
所以 ，即 ，
当 且 时， 是首项为1，公比为2的等比数列，则 ；
当 且 时， 是首项为2，公比为2的等比数列，则 ；
.
故选：B
二、多选题
2．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． B． 是 的前 项和，则
C．当 为偶数时 D． 的通项公式是
【答案】AD
【详解】数列 满足 ， ，
因为 ， ，所以，
，B错；
由题意， ①， ②，
由② ①得， ，由 ， ，所以 ，
当 为奇数时，设 ，
则 ，
当 为偶数时，设 ，
则 ，
综上所述，对任意的 ， ，C错D对；
，A对.
故选：AD.
三、解答题
3．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知 为数列 的前 项和， ， ．
(1)证明： ．
(2)求 的通项公式．【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
【详解】（1）当 时， ，则 ，而 ，则 ，
当 时，由 ，得 ，两式相减得 ，
又 ，满足上式，
所以当 时， ．
（2） ，
因此 的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列， ，
的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列， ，于是 ，
所以 的通项公式是 ．
4．（2023春·四川德阳·高二统考期末）已知正项等比数列 对任意的 均满足 ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）设公比为 ，
由 ，得当 时， ，
两式相除得 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 （ 舍去），
所以 ；
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，求此数列的通项公式.
【答案】 .
【详解】在数列 中，由 ，得 ，当 时， ，
两式相除得： ，因此数列 构成以 为首项， 为公比的等比数列；
数列 构成以 为首项， 为公比的等比数列，于是 ，所以数列 的通项公式是 .
6．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足： ，求通项 .
【答案】
【详解】因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
两式相减得： ，
构成以 为首项，2为公差的等差数列；
构成以 为首项，2为公差的等差数列，
，
，
7．（2023春·湖北武汉·高二统考期末）已知各项均为正数的数列 满足： ， .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由 ，
当 时， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ 。
当 时， ，
∴ 为奇数时， ；
当 时， ，
∴ 为偶数时，∴ ；
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： .
(1)当 时，求数列 中的第10项；
(2)是否存在正数 ，使得数列 是等比数列，若存在求出 值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在， ，证明见解析
【详解】（1）由已知 ，
所以 ，
相除得 ；
又 ，
所以 ，
所以 .
（2）假设存在正数 ，使得数列 是等比数列，
由 得 ，
由 ，得 ，
因为 是等比数列， ，即 ，
下面证明 时数列 是等比数列，
由（1）知数列 和 都是公比是 的等比数列，
所以 ， ；
所以 为奇数时， ， 为偶数时， ，
所以对一切正整数 ，都有 ，
所以 ，所以存在正数 使得数列 是等比数列.
9．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）在数列 中，已知 ， ．
(1)求证： 是等比数列．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【详解】（1）由 ，得 ，
即 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
10．（2022·安徽黄山·统考一模）已知数列 满足 ,且 .
(1)求数列 的通项公式;
【答案】(1)
【详解】（1）解:由题知 ①,
因为 ,
所以 ,
解得 ,
当 时, ②,
①-②可得:
,
所以当 为奇数时,
, , ,
以上式子相加可得:
,
化简可得 , 满足上式，
所以当 为偶数时,
, , ,
以上式子相加可得:
,化简可得 , 满足上式，
综上: ;
11．（2022秋·广东·高二校联考期末）已知等比数列 对任意的 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）设等比数列 公比为q，则有 ，两式相除化简得 ，解
得 ，
又 ，可得 .
∴数列 的通项公式 .
12．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）已知数列 ，且满足 ，有
.
(1)求数列 的通项公式 ：
【答案】(1)
【详解】（1）由题设知 ，且 ，
易得 ，所以 .
因为 ，①
所以 ，②
① ②得， ，
所以数列 分别以 为首项，公比都是4的等比数列，
从而 ，
所以 .
即所求数列 的通项公式为所以 .13．（2022秋·江苏盐城·高三统考期中）数列 中， ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由 ① ②，
②-① ，
∴ 的奇数项与偶数项各自成等差数列，
由 ，∴ ，
∴ ，∴ ，n为奇数，
，∴ ，n为偶数．
∴ .
