文档文本内容
专题 4 数列及其应用
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（五大命题方向+五道高考预测试题，高考必考10-15分）
命题点1 等差数列及性质
命题点2 等比数列及性质
命题点3 等差等比数列综合
命题点4 数列情景题
命题点5 数列求和
高考猜题
04创新好题·分层训练（ 精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）
一、一般数列性质：
a >a a <a a =a
n+1 n n+1 n n+1 n
单调性：递增数列： ；递减数列： ；常数列： ；最大项 .
二、等差数列及性质
1．定义式：a -a =d （递推公式）
n+1 n
2．等差中项：若a，b，c成等差数列，则2b=a+c
∀相邻三项，2a =a +a
n n+1 n-1
3．通项公式：a =a +(n-1)d （累加法）
n 1
从函数角度理解：a =An+B，其中A=d，B=a -d
n 1
推广：a =a +(n-m)d
n m
4．{a }为等差数列，S 为其前n项和
n n
性质1：若m+n=s+t，则a +a =a +a
m n s t
特殊的，若m+n=2t，则a +a =2a
m n t
【淘宝店铺：向阳百分百】性质2：a ，a ，a ，a ，⋯仍成等差数列.
m m+k m+2k m+3k
性质3：S ，S -S ，S -S ，⋯仍成等差数列.
m 2m m 3m 2m
n(a +a ) n(n+1)
5．前n项和：S = 1 n =na + d （倒序相加法）
n 2 1 2
d d
从函数角度理解：S =An2+Bn，其中A= ，B=a +
n 2 1 2
6．单调性：d>0，单调递增；d<0，单调递减；d=0，常函数
7．S 最值问题：
n
法一： S 最值问题可由S =An2+Bn二次函数求最值的角度考虑.
n n
法二： 若a >0, d>0，S 的最小值为S ，S 无最大值；
1 n 1 n
若a >0, d<0，S 的最大值为项的正负分界处（a ≥0成立的最大的n），S 无最小值；
1 n n n
若a <0, d<0，S 的最大值为S ，S 无最小值；
1 n 1 n
若a <0, d>0，S 的最小值为项的正负分界处（a ≤0成立的最大的n），S 无最大值.
1 n n n
法三：解不等式组S ≥S ，S ≥S （n≥2，n∈N*），即可求得S 最大值；
n n-1 n n+1 n
解不等式组S ≤S ，S ≤S （n≥2，n∈N*），即可求得S 最小值.
n n-1 n n+1 n
8．判断等差数列的方法：
﹡定义法 ﹡等差中项法 ﹡通项公式法 ﹡前n项和公式法
三、等比数列及性质：
1．定义式：a ÷a =d （递推公式）
n+1 n
2．等比中项：若a，b，c成等比数列，则b2=ac
∀相邻三项，a 2=a a
n n+1 n-1
3．通项公式：a =a qn-1 （累乘法） 推广：a =a qn-m
n 1 n m
4．{a }为等比数列，S 为其前n项和
n n
性质1：若m+n=s+t，则a a =a a
m n s t
特殊的，若m+n=2t，则a a =a2
m n t
性质2：a ，a ，a ，a ，⋯仍成等比数列.
m m+k m+2k m+3k
性质3：S ，S -S ，S -S ，⋯仍成等比数列.
m 2m m 3m 2m
a (1-qn) a -a q
5．前n项和：S = 1 = 1 n （q≠1）（错位相减法）
n 1-q 1-q
S =na （q=1）
n 1
6．单调性：
若a >0, q>1，单调递增；
1
若a >0, 0<q<1，单调递减；
1
若a <0, q>1，单调递减；
1
若a <0, 0< q<1，单调递增；
1
若q=1，常数列；
【淘宝店铺：向阳百分百】若q<0，摆动数列.
四、数列综合问题：
1．求通项公式：
（1）猜想-----证明法
根据条件猜想通项公式，再验证或证明其符合题意.
（2）a 与S 关系法：
n n
{ S , n=1
由 a n = S -S 1 , &n≥2 ，可根据S n 求通项公式.
n n-1
（3）累加法：a -a =f(n)
n+1 n
（4）累乘法：a ÷a =f(n)
n+1 n
（5）构造法：
1※构造等比数列※ 形如：a -2a =3
n+1 n
待定系数法 a +t=2(a +t) 得t=3 即a +3=2(a +3)
n+1 n n+1 n
2※构造等比数列※ 形如：a -2a =n-1
n+1 n
待定系数法 a +(n+1)=2(a +n)
n+1 n
3※构造等差数列※ 形如：a -2a =2n+1
n+1 n
a a
等式两边同时除以2n+1，即得 n+1- n=1
2n+1 2n
4※构造等比数列※ 形如：a -3a =2n+1
n+1 n
a 3 a
等式两边同时除以2n+1，得到 n+1- × n=1 ， 即转化为1※
2n+1 2 2n
5※构造等差数列※ 形如：a -a =2a a
n n+1 n n+1
1 1
等式两边同时除以a a ，得到 - =2
n n+1 a a
n+1 n
6※构造等比数列※ 形如：a =ea 2
n+1 n
等式两边同时取对数，得lna =2lna +1，即转化为1※
n+1 n
2．数列求和方法：
（1）公式求和法
﹡等差、等比数列直接用公式求和
n n(n+1)
∑n=1+2+3+⋯+n=
2
i=1
n n(n+1)(2n+1)
∑n2=12+22+32+⋯+n2=
6
i=1
（2）倒序相加法
距首位两端等距的两项和相等
【淘宝店铺：向阳百分百】（3）错位相减法
差比数列：形如a =b ∙c ，其中{b }为等差数列，{c }为等比数列.
n n n n n
（4）裂项相消法
1
形如a = ，其中{b }为等差数列，设公差为d
n b b n
n n+1
1 1( 1 1 )
a = = -
n b b d b b
n n+1 n n+1
1
形如a = ，可用分母有理化进行裂项
n √n+1+√n
（5）分组求和法
通项公式有若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成，可分别求和后再相加.如：
1
a = +2n+2n
n n(n+1)
（6）并项求和法
形如a =(-1) nf(n)，可两两结合求和的数列.
n
数列是高考中必考点，一般以 1+1 或者是 2+1 形式出现，主要考查等
差等比数列及其性质应用
真题多维细目表
考点 考向 考题
2023新全国Ⅰ卷T7 全国乙T10 全国甲T5
2022 全国乙卷T13
2021 全国甲卷T18 全国ⅡT17
① 等差数
列性质
2023 新高考Ⅱ卷85 全国乙卷T15 全国甲卷T13 T5
2022全国乙卷T10 T8
2021Q全国甲卷T7
等差等比数列
应用
② 等比数
列及性质
2023 全国乙卷T10
2022 全国甲卷T18 新高考Ⅱ T17
2021 全国乙卷T19
2022 新高考Ⅱ卷T3 全国乙卷T4
【淘宝店铺：向阳百分百】2020 新高考Ⅱ卷T4
③等差等比数列综合
2023新高考ⅠT20 新高考ⅡT18 乙卷T18 甲卷T17
2022新高考ⅠT17
④数列情景题
2021全国乙卷T19 甲卷T9 T18 新高考ⅠT17
新高考ⅡT17
⑤数列求和
命题点1 等差数列及其性质
典例01 （2023·全国乙卷）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
【淘宝店铺：向阳百分百】则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B
典例02（2023·全国·统考甲卷）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则
（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列 的公差和首项，再根据前 项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列 的公差，再根据前 项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，
所以 ．
故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，
从而 ，于是 ，
所以 ．
故选：C.
命题点2 等比数列及性质
【淘宝店铺：向阳百分百】典例01 （2023·全国·统考高考Ⅱ卷）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据 的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，
所以有， ，解得： 或 ，
当 时， ，即为 ，
易知， ，即 ；
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
与 矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握 的关
系，从而减少相关量的求解，简化运算．
典例02 （2023·全国·统考高考乙卷）已知 为等比数列， ， ，则 .
【答案】
【分析】根据等比数列公式对 化简得 ，联立 求出 ，最后得
.
【详解】设 的公比为 ，则 ，显然 ，
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： .
命题点3 等差等比数列综合
典例01（2022·全国·统考高考甲卷）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而
【淘宝店铺：向阳百分百】得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
典例02 （2022·全国新高考Ⅱ卷）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以
原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
命题点4 数列情景题
典例01 （2022·全国·统考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
【淘宝店铺：向阳百分百】是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：D
典例02 （2022·全国·统考乙卷题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第
一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：
， ， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【详解】[方法一]:常规解法
因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；
，得 ，故C错误；
，得 ，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设 则
故D正确.
命题点5 数列求和
【淘宝店铺：向阳百分百】典例01．（2023·全国·统考Ⅱ卷）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列
， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出 ，并与 作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
典例02 （2023·全国·统考乙卷）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）先求 ，讨论 的符号去绝对值，结合 运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
（2）因为 ，
令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .
典例03 （2023·全国·统考甲卷）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据 即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ， ．
典例04 （2022·全国·统考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
【淘宝店铺：向阳百分百】又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,即 ,
∴ ，
显然对于 也成立，∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
①裂项求和常见类型有：
分式型： ，
， ，
， 等；
指数型： ， 等；
摆动型： ；
【淘宝店铺：向阳百分百】
根式型： 等；
对数型： ， 且 ；
②错位相减法①裂项求和常见类型有：
分式型： ，
， ，
， 等；
指数型： ， 等；
摆动型： ；
根式型： 等；
对数型： ， 且 ；
②错位相减法
预计2024年高考中数列也会是以等差等比求和的形式出现解答题与小题，小题将是
以等差与等比结合的性质，解答题将是数列求和的形式出现
1．设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．3 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，求出首项和公比，然后根据等比数列前n项和公式计算
即可求解.
【详解】由 ，得 ，解得 ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
故选：B.
2．若 成等差数列； 成等比数列，则 等于
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．
【详解】若1，a，a，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1，
1 2
∴a﹣a＝﹣1．
1 2
又1，b，b，b，4成等比数列，b2＝1×4，解得b＝2，b＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）．
1 2 3 2 2 2
∴
故答案为A．
3．已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且 ， （ 且 ）．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2) ．
【详解】（1）当 时， ，
即 ，解得 ．
因为 （ ），
所以 （ ），
又 （ ， ）， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 （ ），
又 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 ．
当 时， ，
当 时， ，满足上式，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
4．已知正项数列 的前n项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若数列 满足 ，求 的前n项和．
【答案】(1) (2)
【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）因为 ，且 ，则 ，
可知数列 为常数列，且 ，
则 ，即 ，
当 时， ，
且 也符合上式，所以 .
（2）由（1）可得 ，则 ，
设 的前n项和为 ，
则 ，
所以 的前n项和为 .
5．已知数列 的前 项和为 ， ，当 时， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 ，求数列 的前 项和.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意，当 时， ，且 ，
若 ，则 ，即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
两式相减得， ，整理得 ，即 ，
所以 .综上所述， .
（2）因为 ，
设数列 的前 项和为 ，
当 时， ，
当 时，
，此时 时适合上式，所以 .
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A·新题速递
一、单选题
1．（2023上·广东·高三执信中学校联考期中）已知等差数列 和 的前n项和分别为 ， ，若
，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据等差中项与等差数列前 项和得出 ， ，即可代入已知得出答案.
【详解】由等差数列的性质可得：
， ，
则 ，即 ，
，
故选：C.
2．（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考开学考试）已知公比为2的等比数列 的前n项和
为 ，且 ， ， 成等差数列，则 （ ）
A．64 B．63 C．126 D．128
【答案】B
【分析】根据三项成等差数列，利用等比中项列出等量关系，再结合等比数列定义，即可求得首项和公比，
代入求和公式即可.
【详解】由于 ， ， 成等差数列，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：B.
3．（2023·山东济南·高三山东师范大学附中校考阶段练习）已知数列 满足 且 ，
则 （ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】B
【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由已知可得数列 是以2为公差的等差数列，再 ，代入可得选项.
【详解】 ,∴数列 是以2为公差的等差数列，
，
， ， ，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的定义，等差数列的项的关系，属于基础题.
4．（2023·江西·校联考模拟预测）在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚六尺，
两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙六尺，两只
老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减
半.问几天后两鼠相遇？（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+ 尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5.
第三天,大鼠打4尺,小鼠打 尺，因此第三天相遇．
设第三天，大鼠打y尺，小鼠打1.5−y尺，
则 ,解得 .
相见时大鼠打了 尺长的洞,用了 天，
小鼠打了 尺长的洞，用了 天，
即 天后两鼠相遇.
本题选择A选项.
【淘宝店铺：向阳百分百】二、解答题
5．（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）记正项数列 的前 项和为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
将上述两式相减得： ，由于 是正项数列，
当 时， ，因为 ，所以 或 (舍去)，
所以 ，
所以可得： ，故数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ；
（2）因为 ，结合（1）的结论可得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】.
6．（2023·河南·统考三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求数列 的通项 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，两边同时除以 ，
所以 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， 也满足上式，
所以 .
（2）由（1）可得， ，
则
【淘宝店铺：向阳百分百】.
7．（2023上·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）已知数列 满足 ， ，记
．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，求数列 的前n项的和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得到 ，结合 ，得出 ，即可求解；
（2）由（1），求得 ，得到 ，分 为偶数和 为奇数，结合等差数
列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为数列 满足 ， ，可得 ，
又因为 ，即 ，且 ，
所以数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列.
（2）解：由（1），可得数列 的通项公式为 ，可得 ，
所以
当 为偶数时，
【淘宝店铺：向阳百分百】；
当 为奇数时，
，
所以数列 的前 项和为： .
8．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列 满足
（ ，且 ， ．求：
(1)数列 的通项公式
(2)数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2) ．
【详解】（1）数列 满足 ，根据等比数列定义可知
为等比数列，又 ，
设公比为 ，则 ，所以 所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】故 ．所以数列 的通项公式为
（2）由（1）可得
．
；所以 .
B·易错提升
一、单选题
1．（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，
则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，求出首项和公比即可求解.
【详解】由 ，得 ，解得 ， ，
.故选：C.
2．（2023上·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，
， 成等差数列，则 的最小值为（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】D
【分析】借助等比数列的片段和性质得出 与 的关系，再借助基本不等式即可得到.
【详解】根据等比数列的片段和性质有 ，
由 ， ， 成等差数列，有 ，
即 ，故有 ，又因为数列为正项等比数列，则 ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立.
故选：D.
3．（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）在递增的等差数列 中，首项为 ，若 ， ，
依次成等比数列，则 的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用等比中项性质及等差数列通项公式计算即可.
【详解】设等差数列 的公差为d（ ），
由题意知， ， ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
因为 ，
所以 .
故选：C.
【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）已知数列 成等差数列，
成等比数列，则 的值是（ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得.
【详解】依题意， ，所以 .
故选：A
二、解答题
5．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列.
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析(2) .
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 .又 ，所以 ，
所以数列 是等比数列，且首项为4，公比为2.
（2）解：由（1）知 ，
即 ，则 .
【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
则 ，
所以 .
6．（2023上·上海松江·高三统考期末）已知数列 为等差数列， 是公比为 的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)若集合 ，求集合 中的元素个数．
【答案】(1)证明见解析(2)6
【详解】（1）证明：设数列 的公差为 ，则 ，
即 ，
解得 ，所以原命题得证.
（2）由（1）知 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ,
由 ， ，故 ，即 ，
所以满足等式的解 ．
故集合 中的元素个数为6.
【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中） ， 是正项等比数列．且 ，且
，
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）因为 ， 是正项等比数列．且 ，
所以 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
所以 的通项公式为： .
（2）结合题意: ,得到 ，
所以 ，
当 时， ，
;
当 时，
【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
综上所述： .
8．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且满足
，数列 满足 ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)已知数列 满足 求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析； ， (2)
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意求得 和 ，得到 ，得到 ，再由
，得到 为等比数列，进而得到数列 的通项公式；
（2）由（1）得到 ，结合分组求和，即可求解.
【详解】（1）解：依题意，设数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ．
所以 ，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，所以 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ．
（2）解：由（1）知 ， ，可得 ，
所以
．
【淘宝店铺：向阳百分百】
