文档内容
专题验收评价
专题 4 数列及求和
内容概览
A·常考题不丢分
题型一 等差数列及性质
题型二 等比数列及性质
题型三 数列求和
题型四 数列情境题
C·挑战真题争满分
题型一 等差数列及性质
1．（2023·湖南郴州·统考一模）设数列 满足 且 是前 项和，且
，则 （ ）
A．2024 B．2023 C．1012 D．1011
【答案】C
【分析】根据题意和等差数列的定义和前n项求和公式, ，可得出 也为等差数列,从而得出答案.
【详解】由题意， ， ，则数列 为等差数列，设公差为 ， ，即 ，则 ，则
，
则 所以 ， （常数），则 也为等差数列.
则数列 的公差为 .
所以
所以 .
故选：C
2．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列前 项和公式和通项公式即可求解.
【详解】由题意得 ，解得 ，
，
故选：C.
3．（2023·河南·统考模拟预测）设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质求出 ，再根据等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】由题意得 ，所以 ，所以 .
故选：C.
4．（2023下·河南驻马店·高二校考阶段练习）设 ， 分别是两个等差数列 ， 的前n项和．若对
一切正整数n， 恒成立， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知和等差数列的性质，可得 .
【详解】由等差数列的性质，可得
.
故选：B
5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）等差数列 的公差为 ，前 项为 ，若数列 的
最大项是第20项和第21项，则 （ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【分析】直接利用等差数列的性质，求得 ，进而求得结果.
【详解】由数列 的最大项是第20项和第21项，可得 ，
即 ，解得 ，即 ，
因为等差数列 的公差为 ，所以 ，解得 .
故选：C.
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知 为等比数列， 是它的前 项和．若 ，且 与
的等差中项为 ，则 等于（ ）
A．37 B．35 C．31 D．29
【答案】C
【分析】根据等差中项及等比数列的通项公式求出公比，利用等比数列求和公式得解.
【详解】 ， ，
解得 ，
与 的等差中项为 ，解得 ，
设等比数列 的公比为 ，
则 ，解得 ，
， ，
故选：C．
题型二 等比数列及性质
1．（2023上·江苏无锡·高三锡东高中校考阶段练习）各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且
成等差数列，若 ，则 （ ）
A． 或15 B． 或 C．15 D．
【答案】C【分析】根据条件先求解出 的值，然后根据等比数列前 项和公式求解出结果.
【详解】设等比数列的公比为 ，由题意可知 ，
因为 成等差数列且 ，
所以 ，
所以 ，解得 或 （舍），
所以 ，
故选：C.
2．（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知正项数列 的前 项和为 ，且 满足 ，若
， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【答案】C
【分析】由题设易知数列 为等比数列，设公比，应用等比数列前n项和公式求公比，进而求目标式的
值.
【详解】因为 ，所以数列 为等比数列，设公比为 ，
则 ，得 ，解得 （ 舍去），
所以 ．
故想：C
3．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）已知等比数列 满足 ，则 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．15
【答案】B【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解.
【详解】设 的公比为 ，
因为 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
4．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列 的前 项和为 ， ，
，则 （ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
【答案】B
【分析】根据 ， 可求出首项 ，公比 ，然后利用等比数列求和公式即可求解.
【详解】因为数列 是等比数列， ，
所以 ，即 ，则 .
又因为 ，故有 .
所以 ，则 ，
所有 ，所有 ，故B项正确.
故选：B.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）设 为数列 的前n项积，若 ， ，且 ，
当 取得最大值时， （ ）A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】先求出等比数列的通项公式 ，然后求出积 ，整理后，结合指数函数性质、二次函数性质分析
得出结论.
【详解】由题易知， ，∵ ，∴ ，故 是公比为 的等比数列，
∵ ，∴ ，故 .∴ ，
∴ ，
要使 取得最大值，则 为偶数，且 取最小值，
由二次函数知识知，当 或9时， 取最小值，只有 ，使得 为偶数符合要求.
故选：B.
二、填空题
6．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知正项等差数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，
则 的最小值为 ．
【答案】 /12.5
【分析】根据给定的条件，利用等差数列性质求出 ，再表示出 ，并借助基本不等式求解即得.
【详解】由 成等比数列，得 ，即 ，则 ，
而 ，因此 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .故答案为：
题型三 数列求和
1．（2023上·天津·高三联考）已知 为数列 的前 项和，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前项和为 ，若 ，求 的最小值.
【答案】(1) ；
(2)10
【分析】（1）根据数列递推式利用 之间的关系推出 ，结合等比数列定义以及等比数列通项
公式即可求得答案；
（2）由（1）结果可得 的表达式，利用裂项法即可求得 表达式，解不等式即得答案.
【详解】（1）当 时， ，解得 ，
又 ，所以
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ；（2）由（1）可得 ，
所以
，
因为 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 的最小值为10.
2．（2023·河南新乡·统考一模）已知 是数列 的前 项和， ．
(1)若数列 为等差数列，求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 可得出 ，再利用相减法得 ，
结合等差数列的条件可得其公差，从而求得 后得出通项公式；
（2）利用（1）中方法求得 ，然后用裂项相消法求和．
【详解】（1）当 时， ，即 ．
因为 ，当 时， ，
两式相减得 ，所以 ，两式相减得 ．
因为数列 为等差数列，所以数列 的公差 ，
又 ，所以 ，
则 ，即数列 的通项公式为 ．
（2）因为 ，所以 ，
由（1）可知 ，所以 ，
，
．
3．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用 关系，构造数列 及等比数列定义写出 的通项公式；
（2）由（1）得 ，讨论 、 求前n项和 ．【详解】（1）当 ，则 ；
当 ，则 ，
所以 ，而 ，则 是首项、公比为2的等比数列，
所以 ，且 也满足，
综上， .
（2）由（1）得 ，
当 时， ，
当 时，
.
所以 .
4．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知数列 是公差为1的等差数列，且 ，
数列 是等比数列，且 ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)【分析】（1）根据等差等比数列的公式法求得通项；
（2）先求解 ，根据并项求和法得出结果.
【详解】（1）由题可知数列 是公差为1的等差数列，且 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
设等比数列 的公比为 ，且 ，
则 解得 ，
所以 ，
所以 和 的通项公式为 .
（2）由（1）得为 ，则
，
所以数列 的前 项和
.
5．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列 的前 项和是 ，且 .
(1)证明： 是等比数列.(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）先对 进行化简构造出 ，并结合等比数列定义可求解；
（2）根据（1）求出 ，然后构造关于 的方程组并利用错位相减法可求解.
【详解】（1）证明：当 时， ，得： ；
当 时，得： ，
将两式相减得： ，得： ，
所以得：当 时， 是等比数列，通项公式为： ，
当 ， 也符合，
故可证：数列 为等比数列.
（2）由（1）得： ，则得： ，
则： ①
②
①-②得： ，
化简得： .所以：数列 的前 项和： .
6．（2023上·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设 是数列 的前 项和，已知
(1)求 ，并证明： 是等比数列；
(2)求满足 的所有正整数 .
【答案】(1) ，证明见解析
(2)1，2
【分析】（1）利用 代入计算即可求得 ，由等比数列定义可求得 ，即可得
出证明；
（2）利用数列分组求和可得出 ，再利用二次函数及指数函数单调性即可求
得结果.
【详解】（1）由 可得 ，
所以 ，
可得 ；
由已知得 ，
所以 ，
其中 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
由二次函数及指数函数性质可知当 时， 单调递减，
其中 ，
所以满足 的所有正整数 为1，2.
题型四 数列情境题
1．（2024·四川自贡·统考一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些
新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差
或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，
其前 项分别为 ，则该数列的第 项（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据“高阶等差数列”的定义求得第 项.
【详解】 ，
设 ，
，
设 ，
所以 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：D
2．（2023下·湖南·高二校联考期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，
即一个数列 本身不是等差数列，但从 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
（则称数列 为一阶等差数列），或者 仍旧不是等差数列，但从 数列中的第二项开始，每
一项与前一项的差构成等差数列 （则称数列 为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数
列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列 ：1，1，3，27，729…是一阶等比
数列，则 的值为（参考公式： ）（ ）
A．60 B．120 C．240 D．480
【答案】B
【分析】设 ，则由题意可知 为等比数列，其中 ， ，从而可求出 ，利用累乘法可求出 ，从而可求出 ，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】由题意，数列1，1，3，27，729，…为 ，且为一阶等比数列，
设 ，所以 为等比数列，其中 ， ，公比为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ， ，
因为 ， ，也适合上式，所以 ，
所以
.
故选：B.
3．（2023上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代
数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程 改写成
①，将 再代入等式右边得到 ，继续利用①式将 再代入等式右边得到
……反复进行，取 时，由此得到数列 ， ， ， ， ，记作 ，则当 足够大
时， 逼近实数 ．数列 的前2024项中，满足 的 的个数为（参考数据：）
A．1007 B．1009 C．2014 D．2018
【答案】D
【分析】作差讨论 的符号与 的关系，结合 可得 ， ，然后
讨论奇数项和偶数项的单调性，再验证前8项哪些满足题意，结合单调性即可解答.
【详解】由题， ， 且前8项为1，2， ， ， ， ， ， ，
，
所以当 时， ；
当 时， ．
又 ，所以 ， .
因为 ，
其中 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
，又因为 ，
所以不满足 的分别为 ， ， ， ， ， ， .
故选：D．
【点睛】本题难点在于作差讨论 的符号与 的关系，从而得到 ， ，这
对学生的思维能力有很高的要求，不易想到，但结合本题目标分析，似乎又是理所当然.
4．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、
《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，
还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为 ，且 ， 的
等比数列 为例，先画出直线OQ： ，并确定x轴上一点 ，过点 作y轴的平行线，交直
线OQ于点 ，则 ．再过点 作平行于x轴，长度等于 的线段 ，……，不断重复上述步
骤，可以得到点列 ， 和 ．下列说法错误的是（ ）
A． B．C．点 的坐标为 D．
【答案】D
【分析】根据题设描述，确定题图中相关线段的数量关系，结合直线斜率定义、等比数列前n项和判断各
项的正误即可.
【详解】选项A，由题设及图象知： ，故正确；
选项B，因为 表示直线OQ: 斜率，即为q，故正确；
选项C，点 的横坐标为 ，故正确；
选项D，由 ，
而 ， ，则 ，
又△ 为等腰直角三角形，即 ，
综上， ，故错误．
故选：D
5．（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产
保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，
好看又壮观.小明同学在研究数列 时，发现其递推公式 就可以利用“叠罗汉”的
思想来处理，即 ，如果该数列 的前两项分别为 ，其前 项和
记为 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，得 ，将 中每一项逐一拆解，即可求解.
【详解】解：由 得，
所以
，
.故选：D.
一、单选题
1．（2023·全国·Ⅰ卷）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
2．（2022·全国·统考高考乙卷）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通
项即可得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
3．（2021·全国·高考甲卷）记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.
【详解】∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
4．（2021·全国·统考高考甲卷）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递
增数列，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说
明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
二、填空题
5．（2022·全国·统考高考乙卷）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 ．
【答案】2
【分析】转化条件为 ，即可得解.
【详解】由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .
故答案为：2.
三、问解答
6．（2023·全国·统考高考Ⅰ卷）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1） ， ，解得 ，
，
又 ，
，
即 ，解得 或 （舍去），
.
（2） 为等差数列，
，即 ，
，即 ，解得 或 ，
， ，
又 ，由等差数列性质知， ，即 ，
，即 ，解得 或 （舍去）
当 时， ，解得 ，与 矛盾，无解；
当 时， ，解得 .
综上， .7．（2023·全国·统考高考乙卷）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）先求 ，讨论 的符号去绝对值，结合 运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
（2）因为 ，
令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .8．（2023·全国·统考高考甲卷）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，，
，即 ， ．
9．（2021·全国·统考高考Ⅰ卷）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列 的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前 项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以 ，则 ．
[方法三]：累加法
由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则 ．
所以 ，数列 的通项公式 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列 的通项公式，然后累加求数列 的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前 项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前 项和公式和分组的方法进行求和是一
种不错的选择.
10．（2021·全国·统考高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
11．（2021·全国·Ⅱ卷）记 为数列 的前n项和．已知 ．(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
12．（2021·全国·统考高考乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，
关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，
这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
13．（2021·全国·统考高考乙卷）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 .
【详解】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的等
差数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
【整体点评】（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列 的递推关系，进
而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证得结论，为最优
解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结论；方法四利用
归纳猜想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的通项公式；
14．（2021·全国·统考高考甲卷）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面①②③
中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出 ，结合 的关系求出 ，利用 是等差数列可证
；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证
明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出 ，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出 ，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，然后可证
是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+ 与 关系式
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ， ，故 .
[方法二] ：待定系数法
设等差数列 的公差为d，等差数列 的公差为 ，
则 ，将 代入 ，
化简得 对于 恒成立．则有 ，解得 ．所以 ．
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为 ，所以 ， ，因为 也为等差数列，所以公差
，所以 ，故 ，当 时，，当 时，满足上式，故 的通项公式为 ，所
以 ， ，符合题意.
