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专题验收评价
专题 4 数列及求和
内容概览
A·常考题不丢分
题型一 等差数列及性质
题型二 等比数列及性质
题型三 数列求和
题型四 数列情境题
C·挑战真题争满分
题型一 等差数列及性质
1．（2023·湖南郴州·统考一模）设数列 满足 且 是前 项和，且
，则 （ ）
A．2024 B．2023 C．1012 D．1011
2．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·统考模拟预测）设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）A．15 B．30 C．45 D．60
4．（2023下·河南驻马店·高二校考阶段练习）设 ， 分别是两个等差数列 ， 的前n项和．若对
一切正整数n， 恒成立， （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）等差数列 的公差为 ，前 项为 ，若数列 的
最大项是第20项和第21项，则 （ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知 为等比数列， 是它的前 项和．若 ，且 与
的等差中项为 ，则 等于（ ）
A．37 B．35 C．31 D．29
题型二 等比数列及性质
1．（2023上·江苏无锡·高三锡东高中校考阶段练习）各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且
成等差数列，若 ，则 （ ）
A． 或15 B． 或 C．15 D．
2．（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知正项数列 的前 项和为 ，且 满足 ，若
， ，则 （ ）A．3 B．4 C．9 D．16
3．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）已知等比数列 满足 ，则 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．15
4．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列 的前 项和为 ， ，
，则 （ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）设 为数列 的前n项积，若 ， ，且 ，
当 取得最大值时， （ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
二、填空题
6．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知正项等差数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，
则 的最小值为 ．
题型三 数列求和
1．（2023上·天津·高三联考）已知 为数列 的前 项和，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)令 ，设数列 的前项和为 ，若 ，求 的最小值.
2．（2023·河南新乡·统考一模）已知 是数列 的前 项和， ．
(1)若数列 为等差数列，求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
3．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
4．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知数列 是公差为1的等差数列，且 ，
数列 是等比数列，且 ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .5．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列 的前 项和是 ，且 .
(1)证明： 是等比数列.
(2)求数列 的前 项和 .
6．（2023上·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设 是数列 的前 项和，已知
(1)求 ，并证明： 是等比数列；
(2)求满足 的所有正整数 .
题型四 数列情境题
1．（2024·四川自贡·统考一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些
新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差
或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，
其前 项分别为 ，则该数列的第 项（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·湖南·高二校联考期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，
即一个数列 本身不是等差数列，但从 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
（则称数列 为一阶等差数列），或者 仍旧不是等差数列，但从 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 （则称数列 为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数
列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列 ：1，1，3，27，729…是一阶等比
数列，则 的值为（参考公式： ）（ ）
A．60 B．120 C．240 D．480
3．（2023上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代
数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程 改写成
①，将 再代入等式右边得到 ，继续利用①式将 再代入等式右边得到
……反复进行，取 时，由此得到数列 ， ， ， ， ，记作 ，则当 足够大
时， 逼近实数 ．数列 的前2024项中，满足 的 的个数为（参考数据：
）（ ）
A．1007 B．1009 C．2014 D．2018
4．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、
《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为 ，且 ， 的
等比数列 为例，先画出直线OQ： ，并确定x轴上一点 ，过点 作y轴的平行线，交直
线OQ于点 ，则 ．再过点 作平行于x轴，长度等于 的线段 ，……，不断重复上述步
骤，可以得到点列 ， 和 ．下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．点 的坐标为 D．
5．（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产
保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，
好看又壮观.小明同学在研究数列 时，发现其递推公式 就可以利用“叠罗汉”的
思想来处理，即 ，如果该数列 的前两项分别为 ，其前 项和
记为 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023·全国·Ⅰ卷）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022·全国·统考高考乙卷）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
3．（2021·全国·高考甲卷）记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．104．（2021·全国·统考高考甲卷）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递
增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、填空题
5．（2022·全国·统考高考乙卷）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 ．
三、问解答
6．（2023·全国·统考高考Ⅰ卷）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为数
列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
7．（2023·全国·统考高考乙卷）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
8．（2023·全国·统考高考甲卷）设 为数列 的前n项和，已知 ．(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
9．（2021·全国·统考高考Ⅰ卷）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
10．（2021·全国·Ⅱ卷）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
11．（2021·全国·Ⅱ卷）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
12．（2021·全国·统考高考乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
13．（2021·全国·统考高考乙卷）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
14．（2021·全国·统考高考甲卷）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面①②③
中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
