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专题 05 数列放缩
【命题规律】
数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，
将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩
时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠
拢．
【核心考点目录】
核心考点一：先求和后放缩
核心考点二：裂项放缩
核心考点三：等比放缩
核心考点四： 型不等式的证明
核心考点五： 型不等式的证明
核心考点六： 型不等式的证明
核心考点七： 型不等式的证明
【真题回归】
1、（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
2、（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．3、（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比
数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
4、（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【方法技巧与总结】
常见放缩公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10）
；
（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．
（15）二项式定理
①由于 ，
于是② ，
；
，
（16）糖水不等式
若 ，则 ；若 ，则 ．
【核心考点】
核心考点一：先求和后放缩
例1．（2022·全国·模拟预测）己知 为等比数列 的前n项和，若 ， ， 成等差数列，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前n项和为 ，证明： .
例2．（2022·江苏南京·模拟预测）记数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： .
例3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列 满足 ， 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记 ，证明： .例4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）在各项均为正数的数列 中， ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
例5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列 中， 为其前n项和， ， ，
， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
例6．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列 的前 项和为 ，若 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
核心考点二：裂项放缩
例7．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知 为数列 的前 项和，且 ，数列 前
项和为 ，且 ， .(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，设数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)证明： .
例8．（2022·山东·济宁市育才中学高三开学考试）已知数列{an}的前n项和为Sn，且 ，
a＝1．
1
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明 ．
例9．（2022·天津一中高三阶段练习）已知数列 满足 记 .
(1)证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
(3)设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
例10．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列 前 项和为 ， .
(1)证明： 为等差数列；
(2)若 ，记 为数列 的前 项积，证明： .例11．（2022·河南·模拟预测（理））若数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
核心考点三：等比放缩
例12．（2022·重庆八中高三阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为
的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
例13．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列 的首项为1， 为数列 的前n项和， ，
其中 ．
(1)若 成等差数列，求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，且 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
例14．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，已知
， ，数列 满足 ，且 .
(1)求 的通项公式，并证明数列 是等比数列；(2)若数列 满足 ，求 的前 项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数 ， .
例15．（2022·浙江大学附属中学高三期中）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差
为2的等差数列.
(1)求证 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明： .
例16．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列 满足 ，当 时， ， 的前 项
和为 .
(1)求数列 的通项公式及 ；
(2)数列 是等比数列， 为数列 的公比，且 ，记 ，证明：
例17．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三开学考试）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．核心考点四： 型不等式的证明
例18．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最大值；
(2)若关于x的方程 有实数根，求实数k的取值范围；
(3)证明： ．
例19．（2022·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足
.
(1)求 的值：
(2)求数列 的通项公式：
(3)证明：对一切正整数 ，有 .
例20．（2022·上海·模拟预测）在数列 中， ，其中 ．
(1)设 ，证明数列 是等比数列；
(2)记数列 的前n项和为 ，试比较 与 的大小．
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；(3)设 ，证明： ．
例22．（2022·湖南·周南中学高三阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的最大值；
(2)证明：
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递减的正项数列 ， 时满足
． 为 前n项和．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
例24．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知 是首项为3，公差
为1的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， .例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 和 满足 ，且对任意 都有 ，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)证明： ．
例26．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）数列 满足 ， .
(1)求数列 前 项和 ；
(2)证明：对任意的 且 时，
例27．（2022·天津河西·高三期中）设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝ ，已知a，
1
3a，9a 成等差数列．
2 3
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜ ．
(3)求证：
核心考点五： 型不等式的证明
例28．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 .
（1）判断函数 的单调性；（2）已知数列 ， ，求证： .
例29．（2022·黑龙江·大庆一中高二阶段练习（理））已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点
P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；
(2)证明： .
例30．（2022·浙江温州·高二期末）已知数列 ， 满足 ， ，且 ， .
（1）求 及 ；
（2）猜想 ， 的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的 ， .
核心考点六： 型不等式的证明
例31．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列 满足 ， （其
中 ）
(1)判断并证明数列 的单调性；
(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．例32．（2022·天津市第九十五中学益中学校高三开学考试）已知 为等差数列，前n项和为
是首项为2的等比数列，且公比大于0， ．
(1) 和 的通项公式；
(2)求数列 的前8项和 ；
(3)证明： ．
例33．（2022·山西·高三阶段练习）已知函数 ．
(1)证明：对 恒成立；
(2)是否存在 ，使得 成立？请说明理由．
核心考点七： 型不等式的证明
例34．（2022·广东·广州大学附属中学高三阶段练习）已知数列 ， ， 为数列 的前n项和，
且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知当 时，不等式 恒成立，证明： ．
例35．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知数列 为数列 的前n项和，且．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： ；
(3)证明： ．
例36．（2022·广东·红岭中学高三阶段练习）设数列 满足 ， ，令
.
(1)试证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)是否存在常数 ，使得数列 是等比数列？请说明理由.
(3)令 ，是否存在实数 ，使得 对一切 都成立？若存在，
求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
例37．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： （ 为自然对数的底数， ）.
【新题速递】
1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列 满足 ， 的前 项和为 ，且
.(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记 ，证明： .
2．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知 为数列 的前n项和， 是公差为1的等差
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
3．（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项
的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和
称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如 的一阶和数列是 ，设它的n阶和数列各
项和为 ．
(1)试求 的二阶和数列各项和 与三阶和数列各项和 ，并猜想 的通项公式（无需证明）；
(2)若 ，求 的前n项和 ，并证明： ．
4．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）已知 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 的前n项和为 ，证明： ；
(3)记 ，求数列 的前 项和．5．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知数列{ }的前 项和为 ， ，
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和.证明：
6．（2022·浙江·模拟预测）已知数列 满足： ， .
(1)证明： ， ；
(2)证明： ， .
7．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ， .
(1)证明： ；
(2)若数列 满足 ，设数列 的前n项和为 ，证明： .
8．（2022·天津一中高三阶段练习）已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为2的等比
数列，且公比大于 ， ， ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，求数列 的前 项和 ；
(3)若数列 满足： ，证明： .9．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）设数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足
，其中 .
(1)证明 为等差数列，求数列 的通项公式；
(2)求使不等式 对任意正整数 都成立的最大实数 的值；
(3)当 时，求证： .
10．（2022·陕西·模拟预测（文））已知等比数列 为递增数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
11．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））已知数列 的前n项和为 ， ，
， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中 ， .
(1)求 的通项公式；(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
13．（2022·全国·高三专题练习）证明： ．
14．（2022·浙江·高三专题练习）已知各项为正的数列 满足： ， ．
(1)设 ，若数列 是公差为2的等差数列，求a的值；
(2)设数列 的前n项和为 ，证明 ．
15．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ， ， ．证明：当 时， ．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列 满足： 且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式 和前 项和 ；
(2)证明不等式 且17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，数列 满
足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明 .
