文档文本内容
专题 4 数列及其应用
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（五大命题方向+五道高考预测试题，高考必考10-15分）
命题点1 等差数列及性质
命题点2 等比数列及性质
命题点3 等差等比数列综合
命题点4 数列情景题
命题点5 数列求和
高考猜题
04创新好题·分层训练（ 精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）
一、一般数列性质：
a >a a <a a =a
n+1 n n+1 n n+1 n
单调性：递增数列： ；递减数列： ；常数列： ；最大项 .
二、等差数列及性质
1．定义式：a -a =d （递推公式）
n+1 n
2．等差中项：若a，b，c成等差数列，则2b=a+c
∀相邻三项，2a =a +a
n n+1 n-1
3．通项公式：a =a +(n-1)d （累加法）
n 1
从函数角度理解：a =An+B，其中A=d，B=a -d
n 1
推广：a =a +(n-m)d
n m
4． 为等差数列， 为其前 项和
{a } S n
n n
性质1：若m+n=s+t，则a +a =a +a
m n s t
特殊的，若m+n=2t，则a +a =2a
m n t性质2：a ，a ，a ，a ，⋯仍成等差数列.
m m+k m+2k m+3k
性质3：S ，S -S ，S -S ，⋯仍成等差数列.
m 2m m 3m 2m
5．前 项和： n(a +a ) n(n+1) （倒序相加法）
n S = 1 n =na + d
n 2 1 2
d d
从函数角度理解：S =An2+Bn，其中A= ，B=a +
n 2 1 2
6．单调性：d>0，单调递增；d<0，单调递减；d=0，常函数
7．S 最值问题：
n
法一： 最值问题可由 二次函数求最值的角度考虑.
S S =An2+Bn
n n
法二： 若a >0, d>0，S 的最小值为S ，S 无最大值；
1 n 1 n
若a >0, d<0，S 的最大值为项的正负分界处（a ≥0成立的最大的n），S 无最小值；
1 n n n
若a <0, d<0，S 的最大值为S ，S 无最小值；
1 n 1 n
若a <0, d>0，S 的最小值为项的正负分界处（a ≤0成立的最大的n），S 无最大值.
1 n n n
法三：解不等式组S ≥S ，S ≥S （n≥2，n∈N*），即可求得S 最大值；
n n-1 n n+1 n
解不等式组S ≤S ，S ≤S （n≥2，n∈N*），即可求得S 最小值.
n n-1 n n+1 n
8．判断等差数列的方法：
﹡定义法 ﹡等差中项法 ﹡通项公式法 ﹡前n项和公式法
三、等比数列及性质：
1．定义式：a ÷a =d （递推公式）
n+1 n
2．等比中项：若a，b，c成等比数列，则b2=ac
相邻三项，
∀ a 2=a a
n n+1 n-1
3．通项公式： （累乘法） 推广：
a =a qn-1 a =a qn-m
n 1 n m
4． 为等比数列， 为其前 项和
{a } S n
n n
性质1：若m+n=s+t，则a a =a a
m n s t
特殊的，若 ，则
m+n=2t a a =a2
m n t
性质2：a ，a ，a ，a ，⋯仍成等比数列.
m m+k m+2k m+3k
性质3：S ，S -S ，S -S ，⋯仍成等比数列.
m 2m m 3m 2m
5．前 项和： a (1-qn) a -a q （ ）（错位相减法）
n S = 1 = 1 n q≠1
n 1-q 1-q
S =na （q=1）
n 1
6．单调性：
若a >0, q>1，单调递增；
1
若a >0, 0<q<1，单调递减；
1
若a <0, q>1，单调递减；
1
若a <0, 0< q<1，单调递增；
1
若q=1，常数列；若q<0，摆动数列.
四、数列综合问题：
1．求通项公式：
（1）猜想-----证明法
根据条件猜想通项公式，再验证或证明其符合题意.
（2）a 与S 关系法：
n n
由 a = { S 1 , n=1 ，可根据 S 求通项公式.
n S -S , &n≥2 n
n n-1
（3）累加法：a -a =f(n)
n+1 n
（4）累乘法：a ÷a =f(n)
n+1 n
（5）构造法：
1※构造等比数列※ 形如：a -2a =3
n+1 n
待定系数法 a +t=2(a +t) 得t=3 即a +3=2(a +3)
n+1 n n+1 n
2※构造等比数列※ 形如：a -2a =n-1
n+1 n
待定系数法 a +(n+1)=2(a +n)
n+1 n
3※构造等差数列※ 形如：
a -2a =2n+1
n+1 n
等式两边同时除以 ，即得 a a
2n+1 n+1- n=1
2n+1 2n
4※构造等比数列※ 形如：
a -3a =2n+1
n+1 n
等式两边同时除以 ，得到 a 3 a ， 即转化为1※
2n+1 n+1- × n=1
2n+1 2 2n
5※构造等差数列※ 形如：a -a =2a a
n n+1 n n+1
1 1
等式两边同时除以a a ，得到 - =2
n n+1 a a
n+1 n
6※构造等比数列※ 形如：
a =ea 2
n+1 n
等式两边同时取对数，得lna =2lna +1，即转化为1※
n+1 n
2．数列求和方法：
（1）公式求和法
﹡等差、等比数列直接用公式求和
n n(n+1)
∑n=1+2+3+⋯+n=
2
i=1
n n(n+1)(2n+1)
∑n2=12+22+32+⋯+n2=
6
i=1
（2）倒序相加法
距首位两端等距的两项和相等（3）错位相减法
差比数列：形如 ，其中 为等差数列， 为等比数列.
a =b ∙c {b } {c }
n n n n n
（4）裂项相消法
1
形如a = ，其中{b }为等差数列，设公差为d
n b b n
n n+1
1 1( 1 1 )
a = = -
n b b d b b
n n+1 n n+1
1
形如a = ，可用分母有理化进行裂项
n √n+1+√n
（5）分组求和法
通项公式有若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成，可分别求和后再相加.如：
1
a = +2n+2n
n n(n+1)
（6）并项求和法
形如 ，可两两结合求和的数列.
a =(-1) nf(n)
n
数列是高考中必考点，一般以 1+1 或者是 2+1 形式出现，主要考查等
差等比数列及其性质应用
真题多维细目表
考点 考向 考题
2023新全国Ⅰ卷T7 全国乙T10 全国甲T5
2022 全国乙卷T13
2021 全国甲卷T18 全国ⅡT17
① 等差数
列性质
2023 新高考Ⅱ卷85 全国乙卷T15 全国甲卷T13 T5
2022全国乙卷T10 T8
2021Q全国甲卷T7
等差等比数列
应用
② 等比数
列及性质
2023 全国乙卷T10
2022 全国甲卷T18 新高考Ⅱ T17
2021 全国乙卷T19
2022 新高考Ⅱ卷T3 全国乙卷T42020 新高考Ⅱ卷T4
③等差等比数列综合
2023新高考ⅠT20 新高考ⅡT18 乙卷T18 甲卷T17
2022新高考ⅠT17
④数列情景题
2021全国乙卷T19 甲卷T9 T18 新高考ⅠT17
新高考ⅡT17
⑤数列求和
命题点1 等差数列及其性质
典例01 （2023·全国乙卷）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．－1 B． C．0 D．
典例02（2023·全国·统考甲卷）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则
（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
命题点2 等比数列及性质
典例01 （2023·全国·统考高考Ⅱ卷）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
（ ）．
A．120 B．85 C． D．典例02 （2023·全国·统考高考乙卷）已知 为等比数列， ， ，则 .
命题点3 等差等比数列综合
典例01（2022·全国·统考高考甲卷）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
典例02 （2022·全国新高考Ⅱ卷）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
命题点4 数列情景题
典例01 （2022·全国·统考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
典例02 （2022·全国·统考乙卷题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第
一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：
， ， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
命题点5 数列求和
典例01．（2023·全国·统考Ⅱ卷）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列
， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
典例02 （2023·全国·统考乙卷）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 ．
典例03 （2023·全国·统考甲卷）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
典例04 （2022·全国·统考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
预计2024年高考中数列也会是以等差等比求和的形式出现解答题与小题，小题将是
以等差与等比结合的性质，解答题将是数列求和的形式出现
1．设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．3 B．9 C．12 D．15
2．若 成等差数列； 成等比数列，则 等于
A． B． C． D．
3．已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且 ， （ 且 ）．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．4．已知正项数列 的前n项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若数列 满足 ，求 的前n项和．
5．已知数列 的前 项和为 ， ，当 时， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 ，求数列 的前 项和.
（★精选8道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
A·新题速递
一、单选题
1．（2023上·广东·高三执信中学校联考期中）已知等差数列 和 的前n项和分别为 ， ，若
，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考开学考试）已知公比为2的等比数列 的前n项和
为 ，且 ， ， 成等差数列，则 （ ）
A．64 B．63 C．126 D．128
3．（2023·山东济南·高三山东师范大学附中校考阶段练习）已知数列 满足 且 ，则 （ ）
A．-3 B．3 C． D．
4．（2023·江西·校联考模拟预测）在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚六尺，
两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙六尺，两只
老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减
半.问几天后两鼠相遇？（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
5．（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）记正项数列 的前 项和为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求 的值.
6．（2023·河南·统考三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求数列 的通项 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
7．（2023上·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）已知数列 满足 ， ，记
．(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，求数列 的前n项的和 ．
8．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列 满足
（ ，且 ， ．求：
(1)数列 的通项公式
(2)数列 的前 项和 ．
B·易错提升
一、单选题
1．（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，
则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023上·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，
， 成等差数列，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）在递增的等差数列 中，首项为 ，若 ， ，
依次成等比数列，则 的公差为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）已知数列 成等差数列，成等比数列，则 的值是（ ）
A． B． C．-1 D．1
二、解答题
5．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列.
(2)求数列 的前 项和 .
6．（2023上·上海松江·高三统考期末）已知数列 为等差数列， 是公比为 的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)若集合 ，求集合 中的元素个数．
7．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中） ， 是正项等比数列．且 ，且
，
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和
8．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且满足
，数列 满足 ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式；(2)已知数列 满足 求数列 的前 项和 ．
