文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题12 数列的基本运算（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距
离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
2．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
3.（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
总结规律 预测考向（一）规律与预测
1. 等差(等比)数列的定义、通项公式及求和公式是高考的基础考点与高频考点.以小题居多，属于容易题.
2. 数列求和方法中的公式法、错位相减法、裂项相消法及分组求和法是高考的高频考点，以小题或解答题形
式出现，难易程度有些起伏，从趋势看，与不等式等相结合，其难度有所增大，总体属于中档题.涉及数列的
通项、递推与不等式相结合的客观题有所增加.
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 等差数列、等比数列的基本运算
【核心知识】
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：a＝a＋(n－1)d；
n 1
(2)等比数列的通项公式：a＝a·qn－1.
n 1
(3)等差数列的求和公式： ；
(4)等比数列的求和公式：
【典例分析】
典例1.（2021·北京·统考高考真题）已知 是各项均为整数的递增数列，且 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
典例2.（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a–a=12，a–a=24，则 =（ ）
5 3 6 4
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1典例3.（2022春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列 满足 ，前4项和 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设等比数列 满足 ，求 的前 项和 ．
【规律方法】
等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项 、公差d或公比q.
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为 (a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为
的形式的数列为等比数列．
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相
关计算．
考向二 等差(等比)数列的性质
【核心知识】
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有a ＋a＝a＋a＝2a，对于等比
m n p q k
数列有 .
2．前n项和的性质：
(1)对于等差数列有S ，S －S ，S －S ，…成等差数列；对于等比数列有S ，S －S ，S －S ，…成等比
m 2m m 3m 2m m 2m m 3m 2m
数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．
(2)对于等差数列，有S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
【典例分析】
典例4.（2020·浙江·统考高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0， ．记b=S，
1 2
bn+=S2n+–Sn， ，下列等式不可能成立的是（ ）
1 2 2
A．2a=a+a B．2b=b+b C． D．
4 2 6 4 2 6
典例5.（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知 为正项递增等比数列 的前n项和，若，则 ___________．
典例6.（天津市河东区2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知数列 满足
，则 等于____．
【总结提升】
等差、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
考向三 等差(等比)数列的探索与证明
【核心知识】
等差数列 等比数列
定义法 a －a＝d ＝q(q≠0)
n＋1 n
通项法 a＝a＋(n－1)d a＝a·qn－1
n 1 n 1
a＝a a
n－1 n＋1
中项法 2a＝a ＋a (n≥2)
n n－1 n＋1
(n≥2，a≠0)
n
S＝kqn－k
n
前n项和法 S＝an2＋bn(a，b为常数)
n
(k≠0，q≠0,1)
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．
特别提醒：a＝a a (n≥2，n∈N*)是{a}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，
n－1 n＋1 n
要注意各项不为0.
【典例分析】
典例7.（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 ______.
典例8.（2023·全国·高三专题练习）数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形
如 （ ，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5
个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设： （ 1，2，3，…）， 为常数， 表
示数列 的前 项和，若 ，则 ______.典例9.（2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，
证明： 是等差数列.
典例10.（2019年高考全国II卷理）已知数列{a}和{b}满足a=1，b=0， ，
n n 1 1
.
（I）证明：{a+b}是等比数列，{a–b}是等差数列；
n n n n
（II）求{a}和{b}的通项公式.
n n
典例11.（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中）已知数列 满足 ， ， 是公差为1的
等差数列.
(1)证明： 是等比数列；
(2)求 的前 项和 .
典例12.（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ，
.
(1)证明： 是等差数列；
(2)求 .
【规律方法】
判断数列是不是等差(等比)数列的策略
（1）将所给的关系式进行变形、转化以便利用等差(等比)数列的定义进行判断；
（2）若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可.
