专题3.4平面向量及其应用（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_2.2024二轮复习_高频考点解密2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）

专题 3-4 平面向量及其应用
01 专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02 考情分析·解密高考
03 高频考点·以考定法（三大命题方向+四道高考预测试题，高考必考·5分）
 命题点1 平面向量的数量积运算
 命题点2 平面向量的线性运算
 命题点3 平面向量综合应用
高考猜题
04 创新好题·分层训练（ 精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）
1
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{#{QQABLQwEggCgAAAAARgCAQUYCgGQkBGAAAoGAAAAoAIAQAFABAA=}#}解三角形是新高考中必考点，一般以一道小题 形式出现，一般作为选择题或者是填空题的
形式出现，难度不大。
真题多维细目表
考点 考向 考题
① 平面向量的数量积运算 2023新全国Ⅰ卷T3 新高考Ⅱ卷T13
全国乙卷（文）T6 全国甲（文）T3 (理) T4
解三角形
2022 新高考Ⅱ卷T4 全国乙卷T3 全国甲T13
2021 新高考Ⅱ卷T15 新全国Ⅰ卷T10（多选）
全国乙卷（文）T13 （理）T14
全国甲（文）T13 （理）T14
② 平面向量的线性运算 2022 新全国Ⅰ卷T3
③平面向量综合应用 2023乙卷（理）T12
命题点 1 平面向量数量积运算
     
典例 01 （2023·全国新课标Ⅰ卷）已知向量a1,1,b1,1，若 ab  ab ，则（ ）
2
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{#{QQABLQwEggCgAAAAARgCAQUYCgGQkBGAAAoGAAAAoAIAQAFABAA=}#}A．1 B．1
C．1 D．1
典例 02（多选题）（2021·全国高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点Pcos,sin，P cos,sin，
1 2
P cos,sin ，A1,0，则（ ）
3
   
A．OP  OP B． AP  AP
1 2 1 2
       
C．OAOP OPOP D．OAOP OP OP
3 1 2 1 2 3
命题点 2 平面向量的线性运算
典例 01 （2022·全国新高考Ⅰ卷）在  ABC中，点D在边AB上，BD2DA．记C  A  m，C  D  n，则C  B  
（ ）
A．3m2n B．2m 3n C．3m2n D．2m3n
典例 02 （2020·新高考Ⅱ卷）在  ABC中，D是AB边上的中点，则C  B  =（ ）
       
A．2CDCA B．CD2CA C．2CDCA D．CD2CA
命题点 3 平面向量综合应用
典例 01 （2023·全国高考乙卷）已知 O的半径为1，直线PA与 O相切于点A，直线PB与 O交于B，
  
 
C两点，D为BC的中点，若 PO  2，则PAPD的最大值为（ ）
1 2 12 2
A． B．
2 2
C．1 2 D．2 2
预计2024年高考会向量数量积运算问题，并以单选或者是多选的形式出现
一、单选题
     
1．若a,b是夹角为60的两个单位向量，ab与3a2b垂直，则（ ）
1 1 7 7
A． B． C． D．
8 4 8 4
2．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上且为中点，若
  
AF  xAB yAD，则xy（ ）
3
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{#{QQABLQwEggCgAAAAARgCAQUYCgGQkBGAAAoGAAAAoAIAQAFABAA=}#}7 4 5 6
A． B． C． D．
6 5 6 7
二、多选题
3．已知向量a    3,1  ，b  cos,sin0，c  1,0，则下列命题正确的是（ ）
     
A．若ab，则tan 3 B．存在，使得 ab  ab
 3 1    
C．向量e( , )是与a共线的单位向量 D．a在c上的投影向量为 3c.
2 2
（★精选8道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
       
1．（2022上·山西运城·高三统考期中）已知向量a1,t,b3,1，且 2ab b，则 ab 等于（ ）
A．5 B．2 5 C．2 7 D．2 6
   1
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在 ABC中，E是AB的中点，BD2DC,FC  AF,EF

3

与AD交于点M ，则AM （ ）
3  3 3  3  2 8 3 4
A． AB AC B． AB AC C． AB AC D． AB AC
14 7 14 14 3 9 7 7
3．（2023·杭州·模拟预测）已知向量a  1,2,b  1,，若a  b  ，则向量c  1,2在向量a  b  上的投
影向量为（ ）
1 3 3 1
A．3,1 B．1,3 C． ,  D． , 
2 2 2 2
4
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{#{QQABLQwEggCgAAAAARgCAQUYCgGQkBGAAAoGAAAAoAIAQAFABAA=}#}  π
4．（2023上·山东烟台·高三统考期中）在平行四边形ABCD中， AB3 2，AD2，AEEB，BAD ，
4
 
则 ACDE（ ）
A．2 B．2 2 C．2 3 D．4
5．（2023·河北沧州·校考三模）在  ABC中，若O  A   O  B   O  C   O  P  ，  A  B    A  C  2，A120，则  A  P    A  B 
的取值范围为（ ）
A．2,8 B．2,6 C．4,6 D．4,8
二、多选题
     1  
6．（2023上·云南楚雄·高三统考期中）设非零向量a，b满足 ab a b，b  2 a ，则（ ）
 2 
   
A．a∥b B．ab
       
C． ab  ab D． ab  ab
7．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）已知平面向量a,b  ,c满足：|b  |2|a|4，且a  ab  ，
cb   3，则下列结论正确的是（ ）
A．平面向量a,b  的夹角为 π
3
1
B．与向量a 共线的单位向量为 a
4
 
C． ab 2 3
D．ca
的最大值为 3
8．（2023上·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知P2,0，Acos,sin，Bcos,sin，
A，B两点不重合，则（ ）
 
A． PAPB 的最大值为2
 
B． PAPB 的最大值为2
   
C．若PAPB， PAPB 最大值为 3
   
D．若PAPB， PAPB 最大值为4
5
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{#{QQABLQwEggCgAAAAARgCAQUYCgGQkBGAAAoGAAAAoAIAQAFABAA=}#}一、单选题
      
1．（2023·福建漳州·福建省漳州第一中学统考模拟预测）已知a，b，c均为单位向量，且满足abc0，
  
则 ab,c （ ）
 π π 2π
A． B． C． D．
6 3 2 3
2．（2023·山西晋城·统考三模）已知向量a  1,1，b    m2,m  ，则m1是a  ∥b  的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
       
3．（2023·河北·联考模拟预测）在菱形ABCD中，AB1,BAD60，，设ABa,BC b,CDc,DAd ，
       
则abbcad ac（ ）
3 1
A．1 B． C． D．0
2 2
        
4．（2023·河北唐山·高三阶段练习）若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a||b|1,|c|3，则|abc|
（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D． 2或 5
π
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知AOB是半径为2，圆心角为 的扇形，点E,F分
2
别在OA,OB上，且OA3OE,OB3OF，点P是圆弧AB上的动点（包括端点），则  P  E    P  F  的最小值为（ ）
4 2 4 2 8 16
A．4 B．4 C． D．
3 3 3 3
二、多选题
6．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知a(1, 3),b  (2,2),c(,1)，下列结论正确的
是（ ）
6
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{#{QQABLQwEggCgAAAAARgCAQUYCgGQkBGAAAoGAAAAoAIAQAFABAA=}#}A．与向量a 垂直且模长是2的向量是(2 3,2)和(2 3,2)
 2 2

B．与向量b 反向共线的单位向量是

, 

2 2
 
 31 31
C．向量a 在向量b  上的投影向量是

 , 

2 2
 
 
D．向量c与向量b 所成的角是锐角，则的取值范围是1
 
7．（2023·安徽淮南·统考二模）已知单位向量a，b，则下列命题正确的是（ ）
     
A．向量a，b不共线，则 ab  ab
B．若a     3 ,t  ，b  cos,sin，且a  //b  ，则tan 3
 
 2  3
C．若 a  b  ≥ 3，记向量a  ，b  的夹角为θ，则θ的最小值为 2π .
3
  2π   1
D．若a,b ，则向量b在向量a上的投影向量是 a
3 2
  2π  2π
8．（2023·浙江·统考一模）已知O为坐标原点，点Acos,sin，B  cos ,sin ，
  3   3 
  4π  4π
C  cos ,sin ，则（ ）
  3   3 
  
A． AB  BC B．OAOBCO
    
C．OA OB 0 D．OA OBOC 0.
 
7
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