文档内容
第二十五章 概率初步（单元测试）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、三角形内角和是180°是必然事件，故此选项符合题意；
B.端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C.掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D.打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生
的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，
可能发生也可能不发生的事件．
2．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
【答案】D
【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可
【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B.水涨船高是必然事件，不符合题意；
C.水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D.水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
3．某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个
人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在
一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同
【答案】D【分析】算出每种情况的概率，即可判断事件可能性的大小．
【详解】解：每个数字抽到的概率都为： ，
故小星抽到每个数的可能性相同．
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用概率公式求概率，正确应用公式是解题的关键．
4．从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意用列举法求概率即可．
【详解】解：随机抽取两名同学所能产生的所有结果，
它们是：甲与乙，甲与丙，乙与丙，
所有可能的结果共3种，
并且出现的可能性相等，
甲与乙恰好被选中的概率： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用列举法求概率，能正确列举出所有等可能结果是做出本题的关键．
5．某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选
一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项
目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：∵共有9种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种情况，
∴小明和小慧选择参加同一项目的概率为 ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率公式、画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格，是解
题的关键．
6．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在
阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的面
积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，
设每个小三角形的面积为a，则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为 ．故选：B
【点睛】本题主要考查几何概率，根据正六边形的性质得到图中每个小三角形的面积都相等是解题的关
键．
7．如图，正方形 及其内切圆 ，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积
比求出概率，即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为 ，正方形的面积为a2，
∴阴影部分的面积为 ，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是 ．
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
8．王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格，请你根据表格估计，若从
该批零件中任取一个，为合格零件的概率为（ ）
随机抽取的零件个数
20 50 100 500 1000
合格的零件个数 18 46 91 450 900零件的合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.9
A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1
【答案】A
【分析】用“实验频率”的稳定值估计“概率”，从而得到合格零件的概率；
【详解】解：∵随着实验次数的增多，合格零件的频率逐渐靠近常数0.9，
∴从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为0.9．
故选：A．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，掌握“大量反复试验下频率稳定值即概率”是解本题的关键．
9．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，
他采取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地
朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结
果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形
的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，
小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有： ，解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理
解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
10．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小
区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝ ；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
则可以估计π的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区
域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m
份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解
出π的值，得出答案．
【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，可以用图中正方形区域表示，
∴ ，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴ ，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：
，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用
图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记
下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是 ．
【答案】
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率
公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CBC AC BC CC
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）＝ ＝ ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是
不放回实验．
12．不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机
取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
【答案】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其
发生的概率．
【详解】解：∵袋子中共有9个小球，其中绿球有7个，
∴摸出一个球是绿球的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
13．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个
球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球
的个数是 ．
【答案】6
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某
个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来
估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的近似值，随试验次数的增多，
值越来越精确．
14．为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放
回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号
的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 鱼池（填甲或乙）
【答案】甲
【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总
数即可得到结论．
【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则
鱼的概率近似 ，解得x＝2000；
设乙鱼池鱼的总数为y条，则
鱼的概率近似 ，解得y＝1000；
，
可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的
等量关系．
15．公司以3元/ 的成本价购进 柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑
橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销
售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 （精
确到0.1）；从而可大约确定每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到0.1），可获得12000元利
润．
柑橘总质量
损坏柑橘质量 柑橘损坏的频率 （精确到0.001）
… … …
250 24.75 0.099300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101
【答案】 0.9
【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估
计柑橘完好率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价-进价=利润”列方程解答．
【详解】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐
渐明显，所以柑橘的完好率应是1-0.1=0.9；
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x-3×10000=12000，
解得x= ．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为 元，
故答案为：0.9， ．
【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到
售价与利润的等量关系是解决问题的关键．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．
(1)事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是___；
(2)事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是___；
(3)现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是
白球的概率是 ，求取走了多少个红球？
【答案】(1)0
(2)
(3)4个
【详解】（1）解：∵口袋中装有4个白球和6个红球，
∴从口袋中随机摸出一个球是绿球是不可能事件，
发生的概率为0；
故答案为：0；（2）解：∵口袋中装有4个白球和6个红球，共有10个球，
∴从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是 = ；
故答案为： ；
（3）解：设取走了x个红球，根据题意得：
，
解得：x=4，
答：取走了4个红球．
【点睛】此题考查了用概率公式求事件概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
17．一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同．
(1)从中任意摸出一个球，摸到红球是 事件；摸到黄球是 事件；（填“不可能”或“必然”或“随
机”）
(2)从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率；
(3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中、与原来10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为
黑球的概率为 ，请求出后来放入袋中的黑球个数．
【答案】(1)随机；不可能
(2)
(3)18个
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得；
（2）利用黑球的数量除以袋子中球的总数量即可得；
（3）设后来放入袋中的黑球个数为 个，则袋子中黑球的个数为 个，球的总数量为 个，利
用概率公式建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：因为一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同，
所以从中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件；摸到黄球是不可能事件，
故答案为：随机；不可能．（2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为 ，
答：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为 ．
（3）解：设后来放入袋中的黑球个数为 个，则袋子中黑球的个数为 个，球的总数量为 个，
由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，
答：后来放入袋中的黑球个数为18个．
【点睛】本题考查了随机事件与不可能事件的定义、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．
18．在一个不透明的袋子里，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球、3个白球、3个黑球，它
们已在袋子中被搅匀，现在有一个事件：从袋子中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．
（1）当n为何值时，这个事件必然发生？
（2）当n为何值时，这个事件不可能发生？
（3）当n为何值时，这个事件可能发生？
【答案】（1） 或8或9；（2） 或2；（3） 或4或5或6
【分析】(1)当至少摸出七个球时，红球、白球、黑球至少各有一个；
(2)当摸球个数不足3个时，不可能出现红球、白球、黑球至少各一个；
(3)当摸球个数不小于3个，不超过6个时，这个事件可能发生.
【详解】（1）当 时，即 或8或9时，这个事件必然发生．
（2）当 时，即 或2时，这个事件不可能发生．
（3）当 时，即 或4或5或6时，这个事件可能发生．
【点睛】本题主要考查了事件的分类，明确必然事件，不可能事件以及随机事件的概念是解题的关键.
19．某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青
团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
(1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；
A．不可能 B．必然 C．随机
(2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的
概率．
【答案】(1)C(2)
【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；
（2）从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表
示，从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．
【详解】（1）解：“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；
故答案为：C；
（2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G
表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A)的结果有6 种，
则 ，
则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为 ．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树
状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求
情况数与总情况数之比．
20．为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书
法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上
面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C组所对应的扇形圆心角为_______度；
(3)若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
(4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】(1)40，图见解析
(2)72
(3)560
(4)
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全
图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
再由概率公式求解即可．
【详解】（1）本次调查总人数为 （名），
C组人数为 （名），
补全图形如下：
故答案为：40；
（2） ，
故答案为：72；
（3） （人），
故答案为：560；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为 ．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理
解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
21．为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱
《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一
起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．同时转动
两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指
针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
【答案】不公平，见解析
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之积小于4的情况，再
利用概率公式求出合唱《大海啊，故乡》和合唱《红旗飘飘》的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的有5种结果，
∴合唱《大海啊，故乡》的概率是 ，
∴合唱《红旗飘飘》的概率是 ，
∵ ，
∴游戏不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．
22．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴－3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：
裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率 ；
（2）从图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对 次，
且他最终停留的位置对应的数为 ，试用含 的代数式表示 ，并求该位置距离原点 最近时 的值；
（3）从图的位置开始，若进行了 次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2） ；当 时，距离原点最近；（3） 或5
【分析】（1）对题干中三种情况计算对应概率，分析出正确的概率即可；
硬币朝上为正面、反面的概率均为 ，
甲和乙猜正反的情况也分为三种情况：
①甲和乙都猜正面或反面，概率为 ，
②甲猜正，乙猜反，概率为 ，
③甲猜反，乙猜正，概率为 ，
（2）根据题意可知乙答了10次，答对了n次，则答错了（10-n）次，再根据平移的规则推算出结果即
可；
（3）刚开始的距离是8，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以2即可得到
结果；
【详解】（1）题干中对应的三种情况的概率为：
① ；② ；
③ ；
甲的位置停留在正半轴上的位置对应情况②，故P= ．
（2）根据题意可知乙答了10次，答对了n次，则答错了（10-n）次，
根据题意可得，n次答对，向西移动4n，
10-n次答错，向东移了2（10-n），
∴m=5-4n+2（10-n）=25-6n，
∴当n=4时，距离原点最近．
（3）起初，甲乙的距离是8，
易知，当甲乙一对一错时，二者之间距离缩小2，
当甲乙同时答对打错时，二者之间的距离缩小2，
∴当甲乙位置相距2个单位时，共缩小了6个单位或10个单位，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题主要考查了概率的求解，通过数轴的理解进行准确分析是解题的关键．
23．某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，
该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级
柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录
特级柑橘的售价（元/千克） 14 15 16 17 18
特级柑橘的日销售量（千 1000 950 90 850 800克） 0
（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为_____千克；
（2）按此市场调节的规律，
①若特级柑橘的售价定为16.5元/千克，估计日销售量，并说明理由
②考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘（只售完好的柑橘），且售价保
持不变，求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．
【答案】（1）9000千克；（2）①当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克，理由见解析；②最
大利润售价为19元/千克，每日的最大利润为7500元，理由见解析
【分析】（1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率，再用整体1减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的
概率，根据所得出柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可．
（2）①根据表格求出销售量y与售价x的函数关系式，代入x=16.5计算即可；
②12天内售完9000千克完好的柑橘，求出日最大销售量即可求出售价的范围，再根据利润=（售价-进
价）×销售量求出利润与售价的函数关系式即可；
【详解】（1）由图可知损坏率在0.1上下波动，并趋于稳定
故所求为 千克
（2）①设销售量y与售价x的函数关系式为
由题意可得函数图像过 及 两点
得
∴ 与 的函数关系式为
把 代入，
∴当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克
②依题意得：12天内售完9000千克柑橘
故日销售量至少为： （千克）
∴
解得设利润为w元，则
∴对称轴为
∴当 时w随x的增大而增大
∴当 时销售利润最大，最大利润为 （元）
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，以及二次函数销售利润问题．解题的关键是在图中得到必要的
信息，求出柑橘损坏的概率；并利用等量关系：利润=（售价-进价）×销售量求出利润与售价的函数关
系式．
