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解密15 数列的求和方法和不等式问题
【考点解密】
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：S＝＝na ＋ d.
n 1
(2)等比数列的前n项和公式：S＝
n
2．分组求和法与并项求和法
(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加
减．
(2)形如a＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．
n
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)常见的裂项技巧
①＝－.
②＝.
1 1(1 1 )
= −
n(n+k) k n n+k
③
④＝.
2n 1 1
= −
⑤
(2n +1)(2n+1 +1) 2n +1 2n+1 +1
1 1[ 1 1 ]
= −
n(n+1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2)
⑥
⑦＝－.
⑧log ＝log (n＋1)－log n (n>0)．
a a a
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n项和即可用此
法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
【核心题型】
题型一：倒叙相加法求和1．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知函数 ，数列 满足
，则 （ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
2．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 ，若
，则 的最小值为
A． B． C． D．
3．（2022·河北·模拟预测）已知函数 满足 ，若数列 满足：
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， （ ），数列 的前n项和为 ，若 对一切 恒成立，
求实数 的取值范围.
题型二：错位相减法求和
4．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求实数 的值及 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
5．（2023·湖南·模拟预测）已知正项等比数列 的的前n项和为 ，且满足： ，(1)求数列 的通项；
(2)已知数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
6．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比数
列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
题型三：裂项相消法求和
7．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在数列 中， ．
(1)求证： 是等差数列，并求数列 的通项公式．
(2)设 ，求数列 的前n项的和 ．
8．（2023·全国·模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)令 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．9．（2023·山东菏泽·统考一模）已知首项不为0的等差数列 ，公差 （ 为给定常数）， 为数列
前 项和，且 为 所有可能取值由小到大组成的数列.
(1)求 ；
(2)设 为数列 的前 项和，证明： .
题型四：分组求和法
10．（2023·江西上饶·统考一模）已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)若等比数列 满足， ， ，求数列 的前 项和 .
11．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．12．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列 为等比数列，其前 项和为 ，且满足 .
(1)求 的值及数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
题型五：数列与不等式问题
13．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，当 时，
， 为数列 前n项的和.
(1)证明： ；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
14．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、
（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规
律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第 个图形包含 个小正方形．
(1)求出 的表达式；
(2)求证：当 时， ．15．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数 ，
其中
(1)当 时，求 ；
(2)设 ，记数列 的前n项和为 ，求使得 恒成立的m的最小整
数.
题型六：数列的其他求和方法
16．（2022·广东佛山·统考三模）设各项非零的数列 的前 项和记为 ，记 ，且满足
．
(1)求 的值，证明数列 为等差数列并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足 （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 的前 项和为 ，求 .
18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 ， 满足 ， 为数列 的前 项和，记 的前项和为 ， 的前 项积为 ，且 .
（1）若 ，求数列 的通项公式；
（2）若 ，对任意自然数 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【高考必刷】
一、单选题
19．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在正项数列 中， ， ，记
．整数 满足 ，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知在数列 中， ，且 .设
，且 为 的前 项和，则 的整数部分为（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·陕西宝鸡·统考一模） 的整数部分是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
22．（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）已知数列满足 ，设 ，则数列
的前2023项和为（ ）A． B． C． D．
23．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设等比数列 满足 ， ，
记 为 中在区间 中的项的个数，则数列 的前50项和 （ ）
A．109 B．111 C．114 D．116
24．（2022·上海闵行·统考一模）已知数列 满足 ， ，如果
，那么（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）数列 定义如下： ， ，若对于任意 ，数列的前 项已定义，
则对于 ，定义 ， 为其前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 的第 项为 B．数列 的第2023项为
C．数列 的前 项和为 D．
26．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）数列 满足 ， ，数列 的前
n项和为 ，且 ，则下列正确的是（ ）
A．B．数列 的前n项和
C．数列 的前n项和
D．
27．（2023·山西·统考一模）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，
8，13，21 该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成
的数列 称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广
泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记 为该数列的前 项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 为偶数
C． D．
28．（2022·全国·校联考模拟预测）在数列 中， ， ，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C． ，使得
D． ，都有三、填空题
29．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，若数列 的前n
项和为 ，则 ______．
30．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列 满足 ， ，则数列 的
前 项和________．
31．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知数列 中： ， 则 的前8项和为______．
32．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在正项数列 中， ， ，记
.整数m满足 ，则数列 的前m项和为______.
33．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）现取长度为2的线段 的中点 ，以 为直径作半圆，该半
圆的面积为 （图1），再取线段 的中点 ，以 为直径作半圆．所得半圆的面积之和为 （图2），
再取线段 的中点 ，以 为直径作半圆，所得半圆的面积之和为 ，以此类推，则 ______．
四、解答题34．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）设数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
35．（2023·上海黄浦·统考一模）已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2n项和.
36．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知数列 是递增的等比数列，并且满足
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 是数列 的前 项和，证明：
37．（2023·浙江·校联考模拟预测）在数列 中 ， ，在数列 中 ， .
(1)求证数列 成等差数列并求 ；
(2)求证： .
