文档内容
1.3.2 有理数的减法
1. 掌握有理数减法的运算法则,理解减法法则与加法法则的关系,体会转化的思想方法
2. 能熟练地进行有理数的减法运算,会进行有理数的加减混合运算,会解决简单的实际问题
3. 能将和式中的括号和加号省略,并利用加法运算律进行相关计算
知识点一 有理数的减法法则
1. 有理数的减法法则
减去一个数,等于加这个数的相反数.即 .例如 .
注意：
(1)两变一不变：被减数不变，减号变加号，减数变相反数.
(2)有理数的减法，可以先将减法转化为加法,再按有理数的加法法则和运算定律计算.
(3)减法没有交换律,被减数与减数的位置不能改变.
2. 有理数减法的三种情况
(1) 减去一个正数等于加上一个负数;
(2) 减去一个负数等于加上一个正数;
(3) 任何数减去0仍得这个数,0减去一个数等于这个数的相反数.
拓展延伸：
(1) 在有理数的减法中,当减数为正数时,差一定小于被减数;当减数为负数时，差一定
大于被减数.
(2) 大数减小数的差为正,小数减大数的差为负,相等两数的差为0.用字母表示为:若
,则 ;若 ,则 ;若 ,则 .
即学即练 计算：
(1)(-72)-(-37)-(-22)-17
(2)(-16)-(-12)-24-(-18)
(3)23-(-76)-36-(-105)
(4)(-32)-(-27)-(-72)-87．在减法运算中应注意运算符号与性质符号的区别,不要将运算符号“减号”与字母取值
的“负号”混淆.因此,减号后面是负数时,要注意给负数添上括号,否则容易出现符号
混乱，从而导致计算结果错误.
知识点二 有理数的加减混合运算
有理数加减混合运算的方法
有括号的,先算括号内的;没有括号的,先将减法转化为加法，再利用加法交换律
和结合律进行简化计算.
注意
进行有理数加减混合运算时，应有条理地按步骤进行,不要随意地跳步,否则容易出错.
即学即练 计算：
(1)(-1.25)+(+5.25)；
(2)(-7)+(-2)；
(3)-27+(-32)+(-8)+72；
(4) ( 1) ．
8+ - -5-(-0.25)
4
知识点三 省略加号的和式的写法及读法
1.省略加号的和式的写法
在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.
例如(-10)+(-5)+(+3)+(-4)可以写成-10-5+3-4.
2.省略加号的和式的读法
(1)按结果读，是性质符号和数字在一起的和，正负不能省略;(2)按运算读,是加减,但第一个加数如果是负的,这个“－”号要读“负”而不
能读“减”,其余数字前面的符号按运算符号读.
例如-10-5+3-4 的读法:(1)按加法的结果来读:负10负5正3负4的和;(2)按运
算来读:负10减5加3减4.
（1）既然我们能根据有理数的减法法则将减法转化为加法,那么加减混合运算则能统
一为省略加号、括号的几个正数或负数的和的形式;
（2）加号可以省略,但必须保留性质符号;
（3）省略加号和括号的和式中的每一个数连同它的性质符号可以看成一“项”,都是
和式中的一个加数.
即学即练 把下面两个式子写成省略括号和加号的形式，再计算出结果.
（1）(-5)-(+9.6)+(+7.3)+(-0.7)-(-3.07)；
（2） 3 ( 1) ( 2) .
4 + -2 -(-4.8)+ -3 -(+4.6)
5 3 3
题型一 有理数的加减混合运算
例1 （2023秋·山东济南·七年级统考期末）计算：25-9+(-12)-(-7)．
举一反三1 （2023秋·吉林·七年级校考期末）计算：(-7)+(-3)-5-(-20)．举一反三2 （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）计算：
(-0.5)-(-3.2)+(+2.8)-(+6.5)．
题型二 有理数加减中的简便运算
例2 （2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）计算： 5 1 ( 1 1)．
4 +2 - 12 -7
6 3 3 6
举一反三1 （2022秋·陕西西安·七年级校考期中）计算：
1 1 1 1 1 1
+ + + + +⋯+
2 6 12 20 30 9900
举一反三2 （2022秋·四川巴中·七年级统考期中）阅读下面的计算方法：
计算： 5 ( 2) 1
-5 + -9 +17
6 3 2
解：原式 [ ( 5)] [ ( 2)] ( 1)
= (-5)+ - + (-9)+ - + 17+
6 3 2
[( 5) ( 2) 1]
=[(-5)+(-9)+17]+ - + - +
6 3 2=3+(-1)
=2
上面的解法叫拆项法． 请你运用这种方法计算：
1 2 2 5
-2010 -2013 +400 +1023 ．
6 3 3 6
题型三 绝对值与有理数的减法的综合运用
例3 （2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考期末）若有理数x、y满足|x|=3，|y|=2，
且|x+y|=x+y，求x﹣y的值.
举一反三1 （2023秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知|x|=3，|y|=5，
(1)若x>0，y<0，求x+ y的值；
(2)若x-1 B．-a0
举一反三2 （2023·内蒙古包头·一模）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．|a|<|b| B．a+b>0 C．a+1<0 D．b-1>0题型六 新定义运算问题
a-b+c
例6 （2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）规定图形 表示运算 ，图形
x+z- y-w + = - =
表示运算 ．则 ， ．
举一反三1 （2023秋·湖南常德·七年级校联考期末）规定图形 表示运算
a-b+c，图形 表示运算x+z- y-ω，则 + = ．
举一反三2 （2023春·上海长宁校联考期末）a为有理数，定义运算符号∇：当a>-2时，
∇a=-a；当a<-2时，∇a=a；当a=-2时，∇a=0根据这种运算，则
∇[4+∇(2-5)]的值为 ．
题型七 有理数的加减在实际生活中的应用
例7 （2023秋·河南许昌·七年级校考阶段练习）下表是某水库管理人员记录的雨季一周内
水位高低的变化情况：（上周末的水位达到警戒水位，用正数表示水位比前一天上升数，
用负数表示水位比前一天下降数，警戒水位为72.5米）
日期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化
+0.15 +0.62 -0.28 +0.05 +0.28 -0.38 +0.03
（米）
(1)本周哪一天的水位最高？哪一天的水位最低？与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周相比，本周末的水位是上升了还是下降了？为多少米？举一反三1 （2023春·四川广安·八年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）某食品厂
从生产的袋装食品中随机抽样检测每袋的质量是否符合标准质量，超过或不足的质量分别
用正、负数表示，例如+2表示该袋食品超过标准质量2克．现记录如下：
与标准质量的误
差
﹣5 ﹣6 0 +1 +3 +6
(单位：克)
袋数 5 3 3 4 2 3
(1)在抽取的样品中，最重的那袋食品的质量比最轻的那袋多多少克；
(2)若标准质量为500克/袋，则这次抽样检测的总质量是多少克．
举一反三2 （2023秋·广东广州·七年级校考期末）已知小智家上半年的用电情况如表
（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负），根据表中数据，解答下列问
题：
二月 五月
一月份 三月份 四月份 六月份
份 份
-50 +30 -26 -45 +36 +25
(1)小智家三月份的用电量是多少？六月份的用电量是多少？
(2)用电量最多的月份比最少的月份多用多少度？
题型八 规律探究创新题
例8 （2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
(+5)※(+2)=+7；(-3)※(-5)=+8；(-3)※(+4)=-7；(+5)※(-6)=-11；
(0)※(+8)=8；(0)※(-8)=8；(-6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
(1)观察以上式子，类比计算：①( 1) ( 1) ______，②( 2) ______；
- ※ - = - ※(+1)=
2 5 3
(2)计算：(-2)※[0※(-1)]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的
运算步骤）
(3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？
请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子
即可）
举一反三1 （2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）观察下列等式：
1 1
第1个等式：a = =1- ；
1 1×2 2
1 1 1
第2个等式：a = = -
2 2×3 2 3
1 1 1
第3个等式：a = = - ；
3 3×4 3 4
1 1 1
第4个等式：a = = -
4 4×5 4 5
…
请回答下列问题：
（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a ＝_____＝_____；
5
（2）用含n的式子表示第n个等式：a ＝_____＝______．
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又因为 =1- ， = - ， = - ，…， = -
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 19×20 19 20
1 1 1 1
所以 + + +…+
1×2 2×3 3×4 19×20
( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 )
= 1- + - + - +…+ -
2 2 3 3 4 19 201 1 1 1 1 1 1
=1- + - + - +…+ -
2 2 3 3 4 19 20
1
=1-
20
19
=
20
通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法．请你用学到的方法计算：
1 1 1 1
（3） + + +…+ ；
2 6 12 99×100
1 1 1 1
（4） + + +…+ ．
50×51 51×52 52×53 99×100
举一反三2 （2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）观察下面一组等式：
|2﹣1|＝2﹣1＝1，|1﹣2|＝2﹣1＝1；
|（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝
3；
|6.4﹣（﹣3.5）|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9，|（﹣3.5）﹣6.4|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9；
…
解决下列问题：
(1)化简|（﹣2）﹣1|；
(2)化简|3.14﹣π|的结果是______；
1 1 1 1 1 1 1 1
(3)求| - |+| - |+| - |+⋯+| - |的值．
3 2 4 3 5 4 2022 2021举一反三3 （1）尝试：比较下列各式的大小关系：(用>,<,=,≥,≤填空)
①|-2|+|3|___________|-2+3|； ②|-6|+|4|_________|-6+4|；
③|-3|+|-4|_________|-3-4|； ④|0|+|-7|__________|0-7|；
（2）归纳：观察上面的数量关系，可以得到：
|a|+|b|___________|a+b|(用>,<,=,≥,≤填空)
（3）应用：利用上面得到的结论解决下面问题：
若|m|+|n|＝16，|m+n|＝2，则m=______________．
（4）拓展：当a、b、c满足什么条件时，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|(请直接写出结果，不
需过程)
一、单选题
1．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）仁怀市某镇2022年11月30日这一天的最高气温
和最低气温分别是5℃和-1℃，这一天的温差是（ ）
A． -1℃ B． 4℃ C． 5℃ D． 6℃
2．（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、
b、c、d．若|a-c|=8，|a-d|=10，|b-d|=6，则|b-c|=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）某件商品原价18元，先降价1.8元，后又涨
价0.6元，则这一商品经过调整后的价格是（ ）
A．0.3元 B．16.2元 C．16.8元 D．18元
4．（2022秋·湖南衡阳·七年级阶段练习）在数轴上表示数-3和2的点分别是点A和点B，
则点A与点B的距离为（ ）A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
5．（2022秋·甘肃定西·七年级统考阶段练习）将6-(+3)-(-7)+(-2)写成省略加号的和
的形式为（ ）
A．-6-3+7-2 B．6-3-7-2 C．6-3+7-2 D．6+3-7-2
二、填空题
1．（2022秋·江苏连云港·七年级校考期中）点A在数轴上表示数-2，点B距离点A有2个
单位长度，则点B表示的数为 ．
2．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）甲、乙、丙三个地方的海拔高度分别为-205m，
-90m，35m，则这三个地方中，最高的地方比最低的地方高 m．
3．（2022秋·福建福州·七年级校考阶段练习）把(-8)-(-1)+(+3)-(-2)转化为省略括号
的算式： ．
4．（2022秋·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，a、b两个数在数轴上的位置如图所示，
比较大小：a-b 0．
5．（2023秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期末）若a的相反数是-2，b的绝对值是5，则
a-b= ．
三、解答题
1．（2023秋·福建泉州·七年级校联考阶段练习）计算：
(1)-2+5+(-6)+7
(2)(-7)-(-10)-|-8|
2．（2023春·甘肃定西·七年级统考期末）甘肃省的马铃薯产量名列全国前茅，而定西县马
㸳薯产量又是甘肃省之首．临近端午节，吴大权在甘肃省定西县购买了10箱马铃薯，它们
的质量称得如下（单位：kg）：
10.2，9.8，9.2，9.6，10，10.3，10.5，10，10.5，9.9．
(1)若每箱马铃薯以10kg为标准，超过10kg的千克数记为正数，不足10kg的千克数记为负数，则上述10箱马铃薯的质量用正负数依次分别表示为______.
(2)这10箱马铃薯的总质量为多少kg?
3．（2023秋·福建泉州·七年级校联考阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，
A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，利用数形
结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为 ．
(3)若x表示一个有理数，利用数轴求解，|x|+|x-3|的最小值是 ，并写出此时x的整数
值 ．
4．（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）传说在很久以前夏禹治水，来到洛水，水中浮出
一只大乌龟，乌龟背上有一个神秘的图，人们发现把龟背上的数填入3×3的正方形方格
（方阵）中．每一行，每一列，斜对角的三个数相加的和都相等，其和都等于15．
(1)请同学们观察思考后将相应的数填入图1的方阵中，使得处于同一横行、同一竖列、同
一斜对角线上的3个数之和均相等．(2)请将相应的数填入图2的方阵中，使得处于同一横行，同一竖列、同一斜对角线上的3
个数之和均相等．
