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专题 04 数列的通项、求和及综合应用
【命题规律】
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等
比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问
题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综
合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查
数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，
进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与
数学归纳法的结合问题，也应适度关注．
【核心考点目录】
核心考点一：等差、等比数列的基本量问题
核心考点二：证明等差等比数列
核心考点三：等差等比数列的交汇问题
核心考点四：数列的通项公式
核心考点五：数列求和
核心考点六：数列性质的综合问题
核心考点六：实际应用中的数列问题
核心考点七：以数列为载体的情境题
【真题回归】
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 _______．
3．（2022·全国·高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
4．（2022·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．5．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
6．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【方法技巧与总结】
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列 满足 （常数）（
， ）不能判断数列 为等差数列，需要补充证明 ；
2、数列 满足 ，则 是等差数列；
3、数列 满足 ， 为非零常数，且 ，则 为等比数列；
4、在处理含 ， 的式子时，一般情况下利用公式 ，消去 ，进而求
出 的通项公式；但是有些题目虽然要求 的通项公式，但是并不便于运用 ，这时可以考虑先消去
，得到关于 的递推公式，求出 后再求解 ．
5、遇到形如 的递推关系式，可利用累加法求 的通项公式，遇到形如 的递推关系式，可利用累乘法求 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足
进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求
解该数列的通项公式：
（1）形如 （ ， ），可变形为 ，则 是以
为首项，以 为公比的等比数列，由此可以求出 ；
（2）形如 （ ， ），此类问题可两边同时除以 ，得 ，设
，从而变成 ，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如 ，可以考虑两边同时除以 ，转化为 的形式，设 ，
则有 ，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差
或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为 进行讨论．
8 、 用 裂 项 相 消 法 求 和 时 ， 要 对 通 项 进 行 变 换 ， 如 ： ，
，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，
也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若 ，且 ， 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 的前 项和；
（2）通项公式为 ，其中数列 ， 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求
和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列 中，若 （ ， ， ， ， ），则 ．
在等比数列 中，若 （ ， ， ， ， ），则 ．
12、前 项和与积的性质
（1）设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ．
① ， ， ，…也成等差数列，公差为 ．
② 也是等差数列，且 ，公差为 ．
③若项数为偶数 ，则 ， ．
若项数为奇数 ，则 ， ．
（2）设等比数列 的公比为 ，前 项和为
①当 时， ， ， ，…也成等比数列，公比为
②相邻 项积 ， ， ，…也成等比数列，公比为 ．
③若项数为偶数 ，则 ， ；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列 和 均是等差数列，且等差数列 的公差为 ， ， 为常数．
① 的等距子数列 也是等差数列，公差为 ．
②数列 ， 也是等差数列，而 是等比数列．
（2）设数列 和 均是等比数列，且等比数列 的公比为 ， 为常数．① 的等距子数列 也是等比数列，公比为 ．
②数列 ， ， ， ， ，
也是等比数列，而 是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法 ：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为 ，解方程组 ，再与首项比较大小．
【核心考点】
核心考点一：等差、等比数列的基本量问题
【规律方法】
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，
将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例2．（2022·江西·临川一中高三阶段练习（文））已知数列 满足 ， ，则
=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
例3．（2022·新疆·高三期中（理））已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有奇数项之和
的3倍，前4项之积为64，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．1或例4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ，
成等比数列，则数列 的前9项的和为（ ）
A．1 B．2 C．81 D．80
例5．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知数列 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
例6．（2022·湖北·高三阶段练习）在公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，
设数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例7．（2022·江苏无锡·高三期中）已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两
个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A．1460 B．1472
C．1666 D．1678
核心考点二：证明等差等比数列
【规律方法】判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于 的任意正整数：
①若 为一常数，则 为等差数列；
②若 为常数，则 为等比数列．
（2）通项公式法：
①若 ，则 为等差数列；
（2）若 ，则 为等比数列．
（3）中项公式法：
①若 ，则 为等差数列；
②若 ，则 为等比数列．
（4）前 项和法：若 的前 项和 满足：
① ，则 为等差数列．
② ，则 为等比数列．
【典型例题】
例8．（2022·吉林长春·模拟预测）已知数列 满足： ， ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
例9．（2022·河南·高三期中（理））已知数列 的前 项和为 ， ， .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前 项和 .例10．（2022·全国·高三专题练习）在数列 中， ， .
(1)求 ， ；
(2)证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
例11．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一
次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次
传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为 ，通过三次传球，求 的分布列与期望；
(2)设第 次传球后，甲接到球的概率为 ，
（i）试证明数列 为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
例12．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知数列 满足： ， ．
(1)求 ， ；
(2)设 ， ，证明数列 是等比数列，并求其通项公式；
(3)求数列 前10项中所有奇数项的和．
例13．（2022·河南·高三期中（理））已知数列 的各项均不为0，其前 项的乘积 .
(1)若 为常数列，求这个常数；
(2)若 ，设 ，求数列 的通项公式.例14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .求数列 的通项公式;
例15．（2022·全国·高三专题练习）问题：已知 ，数列 的前n项和为 ，是否存在数列 ，
满足 ，__________﹖若存在．求通项公式 ﹔若不存在，说明理由．
在① ﹔② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在上面
问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
核心考点三：等差等比数列的交汇问题
【规律方法】
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
【典型例题】
例16．（2022·河南·一模（理））已知等比数列 的前 项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在 项
（其中 是公差不为 的等差数列）成等比数列？若存在，求出这 项；若不存在，请说明理
由．
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ．(1)求数列 的通项公式；
(2)判断数列 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
例18．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列 中 成等差数列，
则 __________．
例19．（2022·湖北·高三期中）已知 是等差数列， 是等比数列， 是数列 的前n项和，
， ，则 =______．
例20．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列 的前 项利为 ，若 ， ，1成等
比数列，且 ，则 的公差 的取值范围为______．
例21．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列 的公差 不为零，等比
数列 的公比 是小于1的正有理数．若 ， ，且 是正整数，则 的值可以是
______．例22．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A， ，定义集合
. 己知等差数列 和正项等比数列 满足 ， ， ，
．设数列 和 中的所有项分别构成集合A， ，将集合 的所有元素按从小到大依次排
列构成一个新数列 ，则数列 的前30项和 _________.
例23．（2022·全国·模拟预测（文））设数列 ， 满足 ， ，则它们的公共项由小到
大排列后组成新数列 ．在 和 中插入 个数构成一个新数列 ： ，1， ，3，5，
，7，9，11， ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列 的前20项和
______．
核心考点四：数列的通项公式
【规律方法】
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如 的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒数法：形如 的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公
式．
【典型例题】
例24．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）在数列 中. ， 是其前n项和，当 时，
恒有 、 、 成等比数列，则 ___________例25．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
，则数列 _____________．
例26．（2022·福建·高三阶段练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______.
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为
______．
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列 中， ， ，则
__________．
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列 中， ， ，则 ______．
例30．（2022·全国·高三专题练习）设 是首项为1的正项数列且
，且 ，求数列 的通项公式_________例31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， （ ），
则 ___________
例32．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足： ， ，则 的
通项公式为_____________.
例33．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和
为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开
始掷，则第n次由甲掷的概率 ______（用含n的式子表示）．
核心考点五：数列求和
【规律方法】
求数列前 项和 的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前 项和公式求数列的前 项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有
两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项： ；
②根式裂项： ；③对数式裂项 ；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
【典型例题】
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前n项和为 ，点
均在函数 的图象上，函数 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)令 ，求数列 的前2020项和 .
例35．（2022·陕西渭南·一模（理））已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 ，
.各项均为正数的等比数列 满足 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
例36．（2022·陕西渭南·一模（文））已知等差数列 的前 项和为 ，不等式 的解集
为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .例37．（2022·全国·模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
例38．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知数列 的各项均为正数的等比数列， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
例39．（2022·四川省蓬溪县蓬南中学高三阶段练习）给定数列 ，若满足 ，对于任
意的 ，都有 ，则称 为“指数型数列”.若数列 满足： ；
(1)判断 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
例40．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 满足 ， （
为正常数），且 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .例41．（2022·全国·高三专题练习） 为等差数列 的前 项和，且 ，记 ，其中
表示不超过 的最大整数，如 .
(1)求 ；
(2)求数列 的前2022项和.
例42．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
核心考点六：数列性质的综合问题
【典型例题】
例43．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，则 的最小值是
（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
例44．（2022·福建三明·高三期中）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满
足条件 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是数列 中的最大值
C． D．数列 无最大值例45．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 的前 项和 ，则数列
中的最大项为（ ）
A． B． C． D．
例46．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列 的前n项和为 ，且 ，若
恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
例47．（2022·山西运城·高三期中）已知数列 满足 ，若 ，数列 的前 项
和为 ，且对于任意的 都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例48．（2022·山东聊城·高三期中）若函数 使得数列 ， 为递增数列，则称函数
为“数列保增函数”．已知函数 为“数列保增函数”，则a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．例49．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知等比数列 的前5项积为32， ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例50．（2022·北京八中高三阶段练习）已知数列 是递增数列，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例51．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ， ，
，当 时， ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
核心考点六：实际应用中的数列问题
【规律方法】
解数列应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意数列问题模型．（3）应用数列知识求解．
（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
【典型例题】
例52．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）某单位用分期付款方式为职工
购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，
并加付此前欠款利息，月利率 ，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ）
A．1205万元 B．1255万元 C．1305万元 D．1360万元
例53．（2022·全国·高三专题练习）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免
息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据
测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资
金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为 ，则下列结论正确的是（ ）
（参考数据： ， ）
①
②
③2020年小王的年利润约为40000元
④两年后，小王手中现款约达41万
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③
例54．（2022·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应
国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款
10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底
扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所
得收入为（ ）（取 ， ）
A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元
例55．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第
十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验
室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室
投入的总费用最多需要（ ）
A．2806万元 B．2906万元 C．3106万元 D．3206万元
例56．（2022·全国·高三专题练习）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没
有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、
每次接触过程中传染的概率决定．对于 ，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传
染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天（初始感染者传染 个
人为第一轮传染，经过一个周期后这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个
初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据： ， ）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
核心考点七：以数列为载体的情境题
【规律方法】
1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出
结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．
【典型例题】
例57．（2022·上海市行知中学高三期中）定义：对于各项均为整数的数列 ，如果 ( =1，2，
3，…)为完全平方数，则称数列 具有“ 性质”；不论数列 是否具有“ 性质”，如果存在数列
与 不是同一数列，且 满足下面两个条件：
（1） 是 的一个排列；
（2）数列 具有“ 性质”，则称数列 具有“变换 性质”.给出下面三个数列：
①数列 的前 项和 ；②数列 ：1，2，3，4，5；
③数列 ：1，2，3，4，5，6.
具有“ 性质”的为________；具有“变换 性质”的为_________.
例58．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成
一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到 ；
第二次拓展得到数列 ；第 次拓展得到数列 .设 ，其
中 ___________， ___________.
例59．（2022·河北唐山·三模）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘
以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
．如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共需要
经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列 满足： （m为正整数），
①若 ，则使得 至少需要_______步雹程；②若 ；则m所有可
能取值的和为_______．
例60．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知数列 为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，
4，8，16，…，其中第一项是 ，接下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，依此规律类
推．若其前n项和 ，则称k为 的一个理想数．将 的理想数从小到大依次排成一列，
则第二个理想数是______；当 的项数 时，其所有理想数的和为______．例61．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，
则称这个数列为“ 数列”.已知数列 满足： ， ，则数列 的通项公式
___________；若 ， ，且数列 是“ 数列”，则t的取值范围是
___________.
例62．（2022·全国·模拟预测）将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级
Koch曲线“ ”，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线，同理可得3级
Koch曲线（如图1），…，Koch曲线是几何中最简单的分形．若一个图形由N个与它的上一级图形相似，
相似比为r的部分组成，称 为该图形分形维数，则Koch曲线的分形维数是________．（精确到
0.01， ）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，
畅想着“一起向未来”的美好愿景．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再
将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3），…，依次得到n级Kn
（ ）角雪花曲线．若正三角形边长为1，则n级Kn角雪花曲线的周长 ________．
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ， ，数列 的
前n项和为 ，则 （ ）
A．0 B．50 C．100 D．25252．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时
期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108
座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（
）
A．17 B．18 C．19 D．20
3．（2022·江苏·常熟市中学高三阶段练习）等差数列 各项均为正数，首项与公差相等，
，则 的值为（ ）
A．9069 B．9079 C．9089 D．9099
4．（2022·浙江·绍兴市越州中学高三阶段练习）记 表示不超过实数 的最大整数，如 ， ，
，设 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）设等比数列 ，首项 ，实系数一元二次方程
的两根为 ．若存在唯一的 ，使得 ，则公比 的取值可能为
（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三阶段练习）已知等差数列 ， 的前n项和分别为 ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 满足 ， 则
满足 的 的最小值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
8．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知定义在 上的函数 满足 ，当时， ，设 在 上的最大值为 （ ），且 的前 项和
为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·江苏盐城·模拟预测）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，并满足条
件 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 是数列 中的最大值
D．若 ，则n最大为4038．
10．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，则（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
D．若 是等比数列，且 ， ，则
12．（2022·山东·微山县第二中学高三期中）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，
且满足条件 ， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． 为递减数列 B．
C． 是数列 中的最大项 D．
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且 ，若 ， ， 成等比
数列，则 ______．
14．（2022·全国·模拟预测）若定义在 上的函数 满足 ，且 恰有 （ ）个根 （ ，2，…， ）， ，则数列 的前 项和 ___________.
15．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 的通项公式为 ， ，记 的前n项和为 ，
前n项积为 ，则使不等式 成立的n的最大值为___________.
16．（2022·河北·高三期中）定义n个正数 的“均倒数”为 ，若各项均为正数的
数列 的前n项的“均倒数”为 ，则 的值为______
四、解答题
17．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 的首项 ，公比为q， 是公差为 的等差数
列， ， ， 是 与 的等比中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
18．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的各项均不为零， ，前n项和 满足
.
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
19．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ， .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)若数列 满足 ，求 的前n项和.20．（2022·全国·模拟预测）在① ，② ，③数列 为等比数列这三个条件中选出两
个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.
问题：已知等比数列 的前 项和为 ，___________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 的前 项和为 ，且 ，求 的值.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
21．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习）已知数列 的前 项和为
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
22．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，向量
，向量 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意正整数 都有 成立，求 ．
23．（2022·江苏盐城·模拟预测）已知数列 满足 ， ( )，且 (
)．
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ( )，求数列 的前n项和．
