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微专题06 数列中的复杂递推式问题
【秒杀总结】
1、叠加法： ；
2、叠乘法： ；
3、构造法（等差，等比）：
①形如 (其中 均为常数 )的递推公式， ，其中 ，
构造 ，即 是以 为首项， 为公比的等比数列．
②形如 (其中 均为常数， )，可以在递推公式两边同除以 ，转化为
型．
③形如 ，可通过取倒数转化为等差数列求通项．
4、取对数法： ．
5、由 和 的关系求数列通项
（1）利用 ，化 为 ．
（2）当 不易消去，或消去 后 不易求，可先求 ，再由 求 ．
6、数列求和：
（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于 1)对应项相乘构成的数列求和型
（2）倒序相加法
（3）裂项相消法
常考题型 数列的通项公式 裂项方法
是公差为 的等差数列
等差数列型
是公差为 的等差数列
无理型
指数型
对数型
三角型
是公差为 的等差数列
阶乘型
【典型例题】
例1．已知数列 满足 且 ，设 ，则 的值是
A． B． C． D．
例2．已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则在数列 ， ，， 中，有理数项的项数为
A．42 B．43 C．44 D．45
例3．对于 ， ．
例 4 ． 设 曲 线 在 点 处 的 切 线 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 ， 则
的值为 ．
例5．在数1和2之间插入 个正数，使得这 个数构成递增等比数列，将这 个数的乘积记为 ，
令 ， ．
（1）数列 的通项公式为 ；
（2） ．
例6．数列 中， ，若不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列 满足 ， ，设
，则 （ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．（2023·全国·模拟预测）1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要，发明了二进制，与二进制不同的是，六进制对于数论研究有较大帮助.例如 在六进制下等于十进制的
.若数列 在十进制下满足 ， ， ， ，则六进制
转换成十进制后个位为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2023秋·广东·高三统考期末）在数列 中， ，且 ，则
的值为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
4．（2023秋·江西·高三校联考期末）设 ，数列 中， ， ， ，则下列
选项正确的是（ ）
A．当 ， 时，则
B．当 ， 时，则
C．当 ， 时，则
D．当 ， 时，则
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽淮南·统考一模）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此
数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列 可以用如下方法定义：
，且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，则数列 的前
2023项的和为（ ）A．2023 B．2024 C．2696 D．2697
7．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列 满足 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
一、倒数变换法，适用于 （ 为常数）
二、取对数运算
三、待定系数法
1、构造等差数列法
2、构造等比数列法
①定义构造法。利用等比数列的定义 通过变换，构造等比数列的方法.
② （ 为常数）型递推式可构造为形如 的等比数列.
③ （ 为常数，下同）型递推式，可构造为形如 的等比数列.
四、函数构造法
对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造
“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{ }满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2023·山西·统考一模）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，
2，3，5，8，13，21 该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列 称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20
世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记 为该数列的前 项和，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． 为偶数
C． D．
11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足：
， ，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果 某同学据此改编，研究如下问
题：在数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列 中， ， ， ，则下列说
法正确的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
三、填空题
13．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，
其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为 ，则 ，， .如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图
（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算 ______.
14．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前n项和 ，数列 满足
，则数列 中值最大的项和值最小的项和为____________．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，则首项 的取值范围
是:______当 时，记 ，且 ，则整数 __________.
16．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，且前n项和 满足
，且 ， ， 成等比数列，则数列 的通项公式________．
17．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知数列 的前 项和为 ， 为数列 的前
项积，满足 ，给出下列四个结论：
① ；② ；③ 为等差数列；④ .
其中所有正确结论的序号是______.18．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形 中， 的面积是 面积的 倍，又数列
满足 ，当 时，恒有 ，设 的前 项和为 ，则所有正
确结论的序号是___________.
① 为等比数列；② 为递减数列；③ 为等差数列；④
19．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前n项和为 ，已知 ，则
_________.
