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专题 05 数列放缩
【命题规律】
数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，
将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩
时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠
拢．
【核心考点目录】
核心考点一：先求和后放缩
核心考点二：裂项放缩
核心考点三：等比放缩
核心考点四： 型不等式的证明
核心考点五： 型不等式的证明
核心考点六： 型不等式的证明
核心考点七： 型不等式的证明
【真题回归】
1、（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
（2）设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
若 ，则 ，因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，
故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .
当 时，有 ，
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
（3）取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
2、（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
3、（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比
数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；（ii）证明
【解析】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
4、（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【解析】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，
所以，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，
关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，
这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
【方法技巧与总结】
常见放缩公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10）；
（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．
（15）二项式定理
①由于 ，
于是
② ，
；
，
（16）糖水不等式
若 ，则 ；若 ，则 ．
【核心考点】
核心考点一：先求和后放缩
例1．（2022·全国·模拟预测）己知 为等比数列 的前n项和，若 ， ， 成等差数列，且
.
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，且数列 的前n项和为 ，证明： .
【解析】（1）设数列 的公比为q，
由 ， ， 成等差数列可得 ，
故 ，解得 ，
由 可得 ，
解得 ，故 ，即数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可得 ，
故 .
当 时， 取得最大值 ，当 时，
，
故 .
例2．（2022·江苏南京·模拟预测）记数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： .
【解析】（1）由 ，两边同时除以 可得： ，
故数列 为以 为公差的等差数列，则 ，即 ，
当 时， ，
将 代入上式，可得 ，则 满足上式，
故数列 的通项公式 .
（2）由 ，则 ，即 ，
，
，两式相减可得，
，
则 ，
由（1）可得 ，
，
令 ， ，则数列 为递增数列，
，则 ，即 ；
，
令 ，易知数列 为递减数列， ，则 ，即 .
综上，不等式 恒成立.
例3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列 满足 ， 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记 ，证明： .
【解析】（1）依题意 ，
，
，
所以数列 是首项为 ，
公比为 的等比数列，所以 ，
当 时，由 得 ，两式相减并化简得 ，
也符合上式，所以 .
（2） ，
，
，
两式相减得 ，
所以
.
例4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）在各项均为正数的数列 中， ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
【解析】（1）因为 各项为正数， ，
所以上式两边同时除以 ，得 ，
令 ，则 ，即 ，解得 （负值舍去），
所以 ，
又 ，
所以 是以 ， 的等比数列，
故 .
（2）由（1）得 ，所以 ，
因为 ，则 ，所以 .
例5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列 中， 为其前n项和， ， ，
， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
【解析】（1）设数列 的公比为q，由题意知 ，
即 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 ．
（2）证明：由（1）得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
显然 单调递增，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
例6．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列 的前 项和为 ，若 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
【解析】（1）当 时，
相减得
当 时， 符合上式所以 .
当 时，
当 时， 符合上式.
故
（2）由（1）知：
所以
核心考点二：裂项放缩
例7．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知 为数列 的前 项和，且 ，数列 前
项和为 ，且 ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，设数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)证明： .
【解析】（1）由 ，
当 时， ，
当 时， ，
检验 时， ，所以 ；
因为 ， （ ），
所以 ，即 （ ），
而 ，故 满足上式，
所以 是以 ，公比等于 的等比数列，即 ；（2）因为 ，
所以 ，
所以
；
（3）因为 ，
.
所以 ，
，
因为 ， ，所以 ，
即 ，即证： ；
综上， ， ， .
例8．（2022·山东·济宁市育才中学高三开学考试）已知数列{an}的前n项和为Sn，且 ，
a＝1．
1
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明 ．
【解析】（1）因为 ，所以 .
两式相减，得 ，
即
所以当 时， ，在 中，令 ，得 ，
所以 ，
又 满足，所以
所以 ，
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且 .
（2） ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
例9．（2022·天津一中高三阶段练习）已知数列 满足 记 .
(1)证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
(3)设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 ，
又 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 .
（2）（3）
例10．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列 前 项和为 ， .
(1)证明： 为等差数列；
(2)若 ，记 为数列 的前 项积，证明： .
【解析】（1）由题意，得 .
则 .
两式相减，得 ，
即 ，
是等差数列.
（2）因为 ，由（1）知 （ 也符合此式）
故数列 的通项公式为
则
所以
故 ，得证.
例11．（2022·河南·模拟预测（理））若数列 满足 ， ．(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）因为 ， ，
所以
，
故 ；
（2）证明：当n＝1时， ；
当 时， ，
则 ，
故 ；
综上， .
核心考点三：等比放缩
例12．（2022·重庆八中高三阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为
的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
【解析】（1） ， ，即 ；
当 且 时， ，
即 ， ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，则 .
（2）由（1）得： ，， ，
.
例13．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列 的首项为1， 为数列 的前n项和， ，
其中 ．
(1)若 成等差数列，求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，且 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
【解析】（1）由 得 ，两式相减得 ，
由 可得 ，故 对所有 都成立，
所以数列 是首项为1，公比为q的等比数列，从而 ，
由 成等差数列可得 ，化简得 ，
又 ，解得 （舍去），
所以 ．
（2）由题意可知 ，
由 可得 ，解得 （舍去），
又 ，则 ，即 ，
则 ，
即 ．
例14．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，已知
， ，数列 满足 ，且 .
(1)求 的通项公式，并证明数列 是等比数列；(2)若数列 满足 ，求 的前 项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数 ， .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ，可得 ，解得 或 （舍去），
．
又 ，则 ，
由 ，可得 ， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）可得
，
设 的前 项和为 ，
则
，
当 为奇数时， 随着 的增大而减小，可得 ，
当 为偶数时， 随着 的增大而增大，可得 ，
的最大值为 ，最小值为 ．
（3）证明：因为数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
， ．
所以 ，所以
，
所以 ．
例15．（2022·浙江大学附属中学高三期中）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差
为2的等差数列.
(1)求证 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明： .
【解析】（1）因为 是公差为2的等差数列， ，
所以 ，
当 时， ，
两式相减得， ，即 ，
故 ，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，则 .
（2）因为 ，所以 ，则 ，即 ，
所以 .
例16．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列 满足 ，当 时， ， 的前 项
和为 .
(1)求数列 的通项公式及 ；
(2)数列 是等比数列， 为数列 的公比，且 ，记 ，证明：【解析】（1）当 时， 累加可得 且当 时， 符合，
.
由等差数列前 项和的公式可得：
（2）由（1）得 ，
对于左边， ，又 ，
对于右边， ,
.
综上： 成立.
例17．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三开学考试）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
故数列 为等比数列，首项为 ，公比为2；
（2）由（1）可知 ，所以 ，
所以 ．
核心考点四： 型不等式的证明例18．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最大值；
(2)若关于x的方程 有实数根，求实数k的取值范围；
(3)证明： ．
【解析】（1） ，当 时， ，当 时， ， 在 上单调递
增，在 上单调递减
所以 ，即当 时， 取最大值1．
（2）依题意， ，令 ，
，
当 时， ，当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，因此 的值域是 ，方程 有解，有 ，
所以实数k的取值范围是 .
（3）由（1）知 ，当且仅当 时取等号，因此当 时， ，
即当 时， ， ，
所以 ．
例19．（2022·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足
.
(1)求 的值：
(2)求数列 的通项公式：
(3)证明：对一切正整数 ，有 .
【解析】（1）令 ， ，则 舍去，所以 .
（2） ，因为数列 各项均为正数， 舍
去， ，当 时， ，（3）令
，所以
例20．（2022·上海·模拟预测）在数列 中， ，其中 ．
(1)设 ，证明数列 是等比数列；
(2)记数列 的前n项和为 ，试比较 与 的大小．
【解析】（1） ，由 得： ，而 ，
则 ，整理得 ，而 ，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知， ，于是得 ， ，
因此， ，
令 ，显然数列 是递增数列，而 ，
即 时， ， ，当 时， ，
所以，当 时， ，当 时， .
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，则 ，当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
（2）设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
若 ，则 ，
因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，
故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .
当 时，有 ，
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
（3）取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
例22．（2022·湖南·周南中学高三阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的最大值；
(2)证明：
【解析】（1）因为 定义域为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即当 时， 取最大值1．
（2）证明：由（1）知 ，当且仅当 时取等号，因此当 时， ，
即当 时， ，
所以 ，
所以
．
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递减的正项数列 ， 时满足
． 为 前n项和．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
【解析】（1）由 ，
得 ，即 ，
由 是单调递减的正项数列，得 ，
则 ，即 ，
故 是以 为首项，1为公差的等差数列，
则 ，即 .
（2）要证： ，
只需证： ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
而此不等式显然成立，
所以 成立.
例24．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知 是首项为3，公差
为1的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， .
【解析】（1）∵ 是首项为3，公差为1的等差数列，∴ ，
∴ .∴当 时， ， .
又 不满足 ，∴ 的通项公式 .
（2）当 时， ，
，
∴ ，
∴ .
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 和 满足 ，且对任意 都有 ，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1） 对任意 都有 ， ， ． ，
即 ． 数列 是首项为 ，公差为1的等差数列． ，且 ， ．
． ， ，
（2） ， ， ． 所证不等式 ，
即 ．①先证右边不等式： ．令
，则 ．当 时， ，所以函数 在 上单调递减．
当 时， ，即 ．分别取 ．得
．即 ．也
即 ．即 ．②再证左边不等式：
．令 ，则 ．当 时， ，
所以函数 在 上单调递增． 当 时， ，即 ．分别取 ．得 ．即 ．
也即 ．即 ．
．
例26．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）数列 满足 ， .
(1)求数列 前 项和 ；
(2)证明：对任意的 且 时，
【解析】（1）当 时，
当 时，
两式相减得：
所以 ，又 符合此式，
综上所述，
所以数列 为等比数列，首项为1，公比为 ，所以
（2）由（1）可知 ，所以
故只需证明
下面先证明对任意的 且 都有
记 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上是增函数，又 ，故
当 且 时， ，所以 ，即所以 ， ，…， 累加的 原式得证
例27．（2022·天津河西·高三期中）设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝ ，已知a，
1
3a，9a 成等差数列．
2 3
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜ ．
(3)求证：
【解析】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，设公比为 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
（3）由（1）知 ，
，，当 时，显然 ，当 时，
.
综上： .
核心考点五： 型不等式的证明
例28．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 .
（1）判断函数 的单调性；
（2）已知数列 ， ，求证： .
【解析】（1） 的定义域为 ， .
设 .
∵ ，∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在 处取得最大值.
又∵ ，∴对任意的 ， 恒成立，即对任意的 ，都有
恒成立，故 在定义域 上是减函数.
（2）由 是减函数，且 可得，当 时， ，
∴ ，即 ，
两边同除以 得 ，即 ，
从而 ，
所以 . ①
下面证 .
记 ， ，
∴ .∵ 在 上单调递减，而 ，
∴当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递减，即 ， ，
∴当 时， .
∵ ，
∴当 时， ，即 . ②
综合①②可得， .
例29．（2022·黑龙江·大庆一中高二阶段练习（理））已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点
P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；
(2)证明： .
【解析】(1)设直线ln：y=kn（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0，
得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，
则△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，
∴kn （负值舍去），
可得xn ，yn=kn（1+xn） ；
(2)证明： ，
由4n2>4n2﹣1，即为 ，
即有 ，
xxx…xn ，
1 3 5 2 ﹣1
可得xxx…xn ；
1 3 5 2 ﹣1
由 ，设f（x）=x cosx，f′（x）=1 sinx，由0 ，
可得sinx>0，即f′（x）>0，f（x）在（0， ]递增，
由f（0） 0，f（ ） cos （cos cos ）<0，
可得x cosx，
即有 cos ，即 cos ，
则 .
例30．（2022·浙江温州·高二期末）已知数列 ， 满足 ， ，且 ， .
（1）求 及 ；
（2）猜想 ， 的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的 ， .
【解析】（1）因为 ， ，且 ，
令 ，得到 ，解得 ， ；
令 ，得到 ，解得 ， ；
令 ，得到 ，解得 ， ；
（2）证明：猜测 ， ，
用数学归纳法证明：①当 时，由上可得结论成立.
②假设当 时，结论成立，即 ， ，
那么当 时， ，
， ，
所以当 时，结论也成立.由①②，可知 ， 对一切正整数都成立.
（3）由（2）知， ，
于是所证明的不等式即为
（ⅰ）先证明：
因为 ，所以 ，从而 ，
即 ，所以
（ⅱ）再证明 ，令 ，
则 ，设函数 ， ，
则 ， .
因为在区间 上 为增函数，
所以当 时， ，
从而 在区间 上为单调递减函数，
因此 对于一切 都成立，
所以
综上所述，对所有的 ，均有 成立.
核心考点六： 型不等式的证明
例31．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列 满足 ， （其
中 ）
(1)判断并证明数列 的单调性；(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
【解析】（1）单调递减，理由如下： ．
∵ ，∴ ，∴数列 单调递减；
（2）∵ ， ， ，∴ ，又 ，则 .
∵ ， ，∴ ，则 ，
当 ，累加可得 ，则 ，
则 ，则 ，
∴
，则 ．
例32．（2022·天津市第九十五中学益中学校高三开学考试）已知 为等差数列，前n项和为
是首项为2的等比数列，且公比大于0， ．
(1) 和 的通项公式；
(2)求数列 的前8项和 ；
(3)证明： ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q．
由已知 ，得 ，而 ，所以 ．又因为 ，解得 ．所以
．
由 ，可得 ①．由 ，得 ②，联立①②，解得 ，由此可
得 ．所以， 的通项公式为 的通项公式为 ．
（2）设数列 的前n项和为 ，由 ，得 ，所以
，
，
上述两式相减，得
．
得 ．
所以，数列 的前n项和为
当 时， ．
（3）由（1）得 ，所以：
当 时， ，不等式成立；
当 时， ，所以 ，不等式成立；
当 时， ，
所以，
，
所以 ，得证．
例33．（2022·山西·高三阶段练习）已知函数 ．
(1)证明：对 恒成立；
(2)是否存在 ，使得 成立？请说明理由．
【解析】（1）证明：由 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
，且当且仅当 ，
所以 在 上单调递增，故 ，且当且仅当 ，
所以 在 上也单调递增，故 ，且当且仅当 ，
所以 在 上仍单调递增，故 ；
（2）对于右侧：由（1）可知，当 时， ，即 ，
故 ，
所以
，
所以该侧不等号始终成立；
对于左侧：由（1）可知当 时， ．
设 ， ，则 ．
在 上有 ，所以 在 上单调递增，故当 时， ．
此时 ，
令 ，
可知 ，
所以当 时，
，
令 ，注意到 ，所以可得到一个充分条件，
即 ，所以任取 ，则该侧不等式成立，（ 表示 整数部分），
因此，对于任意 ，原不等式都成立．即所求的n是存在的．
核心考点七： 型不等式的证明
例34．（2022·广东·广州大学附属中学高三阶段练习）已知数列 ， ， 为数列 的前n项和，
且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知当 时，不等式 恒成立，证明： ．
【解析】（1） ，即 ，
当 时， ，
两式相减， ，
即 ，也即 ，
变形为 ，
所以
，经检验 时 也适合．
．
（2）证明：因为 时， ，
，所以 ，
令 ，则有 ．
， ，
将 两边同时取对数，得到原不等式等价于证明： ，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
，
令 ，2， ，然后累加得：
，
则 ，原不等式得证．
例35．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知数列 为数列 的前n项和，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： ；
(3)证明： ．
【解析】（1）
当 时 ，
得：
， ，即 ，
变形为 ，
，经检验 时也适合．
.（2）构造函数 ， ，
在 上递减，
，
时 ．
∵ ，
∴令 ，则有
（3） ， ，原不等式等价于证明：
，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
令 ，然后累加得：
．原不等式得证．
例36．（2022·广东·红岭中学高三阶段练习）设数列 满足 ， ，令
.
(1)试证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)是否存在常数 ，使得数列 是等比数列？请说明理由.
(3)令 ，是否存在实数 ，使得 对一切 都成立？若存在，
求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由 ，得 ，即 ,故 ，而 ，
∴ ，即 ，
∴数列 是以首项为 ，公差为1的等差数列，故 ．
（2）由（1） ，设 ，
若存在常数c，使 是等比数列，则 ，
即 ，解得 .
经检验，c=0复合题意，
所以，存在唯一的常数 ，使 是等比数列.
（3）设 ，
则 .
∵
∴ ，即数列 是递减数列，故 ．
要使不等式 对一切 都成立，
只要 ，即 ， ， 解得 .
因此， 存在大于 实数 ，使不等式 对一切 都成立．
例37．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： （ 为自然对数的底数， ）.
【解析】（1） ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， 令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递减，
当 时，由 ，
∴ ，令 ，即 ，
∴
，
∴ .
【新题速递】
1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列 满足 ， 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记 ，证明： .
【解析】（1）依题意 ，
，
，
所以数列 是首项为 ，
公比为 的等比数列，所以 ，
当 时，由 得 ，
两式相减并化简得 ，也符合上式，所以 .
（2） ，
，
，
两式相减得 ，
所以
.
2．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知 为数列 的前n项和， 是公差为1的等差
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
是公差为1的等差数列，
所以 ，
故 ，
当 时， ，
显然 ，
所以 ， .
（2） ，
所以，
随着 的变大， 变大，故当 时， 取得最小值，
最小值为 ，且 ，
故 .
3．（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项
的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和
称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如 的一阶和数列是 ，设它的n阶和数列各
项和为 ．
(1)试求 的二阶和数列各项和 与三阶和数列各项和 ，并猜想 的通项公式（无需证明）；
(2)若 ，求 的前n项和 ，并证明： ．
【解析】（1）由题意得，
，
，
，
，
…
，
由等比数列的前n项和公式可得， ，
所以 的通项公式 ．
（2）由于 ，
所以 ，
则 ，因为 ，所以 ，所以 ，
又 随n的增大而减小，
所以当 时， 取得最大值 ，故 ．
4．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）已知 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 的前n项和为 ，证明： ；
(3)记 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)
【解析】(1)设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
所以 ，所以 ，
(2) 的前n项和为
，(当 时，取等号)
命题得证.
(3)由（1）得， ，
所以数列 的前 项和 ，
5．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知数列{ }的前 项和为 ， ，
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和.证明：
【解析】(1)当 时， ，又 ，则 ，当 时， ，解得 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ；
(2)因为 ，则 ，
故 ，又 ，
所以 ，即 ，又 是单调递增数列，则
综上， .
6．（2022·浙江·模拟预测）已知数列 满足： ， .
(1)证明： ， ；
(2)证明： ， .
【解析】(1)证明：对任意 ， .
因为 ， ， ，
假设当 时， ，则 ，
这说明当 时， 也成立，
综上所述， ， .
(2)证明：先归纳证明：对任意 ， ，
因为 ， ， ， ， ，
，
假设当 时， ，
则当 时， ，
，
这说明当 时， ，综上所述， ， ，所以， ，
故 ，得证!
7．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ， .
(1)证明： ；
(2)若数列 满足 ，设数列 的前n项和为 ，证明： .
【解析】（1）证明：右边： ，
左边：法一（数学归纳法）：
， ，
当 时，
假设当 时， 成立
即 ，即 成立
则当 时，
综上所述， .
法二（求通项）：
， ，
两边同时取对数得：
数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
数列单调性证明：
思路1：由复合函数的单调性，知 单调递增， ；思路2： ， ；
思路3： ， ；
综上所述， .
（2）证明：法一：放缩到裂项
因为 ，所以 ，
由（1）知
所以
所以
所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
法二：放缩到等比
，
所以 ，
所以 ，
所以所以 .
8．（2022·天津一中高三阶段练习）已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为2的等比
数列，且公比大于 ， ， ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，求数列 的前 项和 ；
(3)若数列 满足： ，证明： .
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由已知 ，得 ，而 ，所以 .
又因为 ，解得 ，所以 .
由 ，可得 ①，
由 ，可得 ，即 ②，联立①②，解得 ， ，由此可得
.
所以 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
(2)由（1），
所以 .
(3)证明：由（1）， .
由真分数性质，若 ， ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故不等式得证.9．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）设数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足
，其中 .
(1)证明 为等差数列，求数列 的通项公式；
(2)求使不等式 对任意正整数 都成立的最大实数 的值；
(3)当 时，求证： .
【解析】(1)当 时， ，所以 ，
当 时， ，
即 ，则有 ，
，
所以 是以1为公差2为首项的等差数列，
是以 ，
是以 ；
(2) ，
则 ，
即为 ，
即为 对于任意的正整数 都成立，
令 ，
则 ，故 ，
是以 单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ；
(3)证明：要证 ，
只需证 ，
因为 ，
所以
，
所以 .
10．（2022·陕西·模拟预测（文））已知等比数列 为递增数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
【解析】(1)由题意， ，解得 或 ，
因为等比数列 为递增数列，所以 ，所以 ；
(2)由（1）知 ，
所以数列 的前n项和为 ，①
，②
① ② 得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
11．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））已知数列 的前n项和为 ， ，
， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】根据题意变形为 ，得到 ，进而根据等比数列的定义，
证得数列 为等比数列，结合等比数列的通项公式，求得数列的通项；
（2）由 ，得到 ，结合裂项法求得 ，结合函数的单调
性，即可求解.
(1)当 时，由 可变形为 ，
即 ，即 ，所以 ，
又因为 ， ，可得 ，所以 ，所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
(2)由 ，可得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ， 单调递增，
所以 ，所以 .
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
【解析】(1)将 两边同时平方，整理得 ，
所以数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
所以 .
由题知 ，所以 .
(2)因为 ，所以 ，则 .
先证 ：当 时， ， ，满足 ；
当 时， ，
所以 .
故 得证.
再证 ：因为 ，
所以 .故不等式 成立.
13．（2022·全国·高三专题练习）证明： ．
【解析】证明：
．
．
令 ，
当 ， ，
在 上递增， ，所以 ，又因为 ，
．
综上： ．
14．（2022·浙江·高三专题练习）已知各项为正的数列 满足： ， ．
(1)设 ，若数列 是公差为2的等差数列，求a的值；
(2)设数列 的前n项和为 ，证明 ．
【解析】(1)因为 ，所以
等式两边同时取以a为底的对数可得 ，
又数列 是公差为2的等差数列可知 ，即
(2)由（1）可知数列 是公比为4的等比数列，可得，可得数列 的通项公式为
记 可求得其通项公式为
显然 为正项数列，因此
另一方面，构造数列 满足 可得其通项公式为
注意到 ，
记 的前n项和为 ，可得 ，
而由于 ，因此 ，从而 ，
综上所述， .
15．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ， ， ．证明：当 时， ．
【解析】(1)当 时， ，
当 时， ；
相除得
整理为： ，
即 ，
为等差数列，公差 ，首项为 ；
所以 ，整理为： ，经检验，符合要求.
(2)由（1）得： ．，
，
，
所以，当 时， ．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列 满足： 且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式 和前 项和 ；
(2)证明不等式 且
【解析】(1)设数列 公差为 ，
因为 ， ， 成等比数列.
所以 ，即 ,
得 ,又 ，所以 .
故 （ ）,
(2)证明：由（1）得 ，
因为当 时， .，
即 .，
所以 ,
即 .
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，数列 满
足 .
(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 的前 项和为 ，证明 .
【解析】(1)当 时， ，
当 时， ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以数列 通项公式为 .
(2)因为 ，
所以
，
因为 ，
所以 .
