文档内容
专题 05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：倒序相加法..........................................................................................2
题型二：通项为 型求和......................................................................3
题型三：通项为 型求和...........................................................5
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练............................7
一、必备秘籍
1、倒序相加法，即如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之
和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前 项和.
2、分组求和法
2.1 如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数列或等比
数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2 如果一个数列可写成 的形式，在求和时可以使用分组求和
法.二、典型题型
题型一：倒序相加法
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求证：函数 的图象关于点 对称；
(2)求 的值．
例题2．（2023秋·江苏·高二专题练习）设函数 ，设 ，
．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
例题3．（2023·全国·高二专题练习）设 是函数 的图象上任意两点，
且 ，已知点 的横坐标为 ．
(1)求证： 点的纵坐标为定值；
(2)若 且 求 ；例题4．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数 满足
，若数列 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
例题5．（2023·全国·高二专题练习）已知 为等比数列，且 ，若 ，求
的值．
题型二：通项为 型求和
例题1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，等比数列 的各项均为
正数，且满足 ， ， .
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .例题2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知各项均为正数的等差
数列 的首项 ， ， ， 成等比数列；
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
例题3．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知等比数列 中， ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知等差数列 ， 为其前n项
和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和．例题5．（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）等差数列 满足 ， ，正项等比数列
满足 ， 是 和 的等比中项．
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
题型三：通项为 型求和
例题1．（2023·海南·统考模拟预测）在① 成等比数列，且 ；② ，数
列 是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列 的前 项和为 ，且__________．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例题2．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）设数列 的前 项和为 ，已知
．
(1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 的项和 ．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 求数列 的前n项和 ．
例题4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 的前n项和 ，且 ，数列
为单调递增的等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·山东潍坊·高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数 ，数列 为
等比数列， ，且 ，利用课本中推导等差数列前 项和的公式的方法，则
（ ）
A． B．2017 C．4034 D．8068
2．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导
等差数列前 项和的方法探求：若 ，则 （ ）
A．2022 B．4044 C．2023 D．4046
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导等
差数列前n项和的方法探求：若 ，则 .
4．（2023·全国·高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定
的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数 ，则
的值为 .
三、解答题
5．（2023春·江西萍乡·高二统考期末）已知函数 关于点 对称，其中 为实数.
(1)求实数 的值；
(2)若数列 的通项满足 ，其前 项和为 ，求 .6．（2023秋·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知数列 为非零数列，且满足
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
7．（2023春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知等差数列 ，其前 项和为 .满足 ，且6是
和 的等比中项.
(1)求 的通项公式；
(2)设 的前 项和为 ，求 .
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)定义 ，记 ，求数列 的前20项和 ．9．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）各项都为正数的数列 的
前n项和为 ，已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， ，数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，当n为
偶数时，求 .
10．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知在正项数列 中， ，当 时，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ， 为数列 的前 项和，证明： .
11．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）已知等比数列 的前n项和为 ，且满足
，数列 满足： ， ．(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 的通项 ，求数列 的前n项和 ．
12．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 中 ，且点 在函数 的图像上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
13．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，前 项
和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
