文档内容
专题 05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................1
题型一：倒序相加法..........................................................................................1
题型二：通项为 型求和......................................................................4
题型三：通项为 型求和...........................................................7
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练..........................12
一、必备秘籍
1、倒序相加法，即如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之
和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前 项和.
2、分组求和法
2.1 如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数列或等比
数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2 如果一个数列可写成 的形式，在求和时可以使用分组求和
法.二、典型题型
题型一：倒序相加法
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求证：函数 的图象关于点 对称；
(2)求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，即函数 的图象关于点 对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为 ，
所以 （倒序），
又由（1）得 ，
所以 ，所以 .
例题2．（2023秋·江苏·高二专题练习）设函数 ，设 ，
．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1） ；（2）由题知，当 时， ，
又 ，两式相加得
，
所以 ，
又 不符合 ，
所以 .
例题3．（2023·全国·高二专题练习）设 是函数 的图象上任意两点，
且 ，已知点 的横坐标为 ．
(1)求证： 点的纵坐标为定值；
(2)若 且 求 ；
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【详解】（1）证明：设 ，因为 ，故可得 ，
由 知 ，故 ，
故 .
故 点的纵坐标为定值 .
（2）由（1）知
，
两式相加得：
，故 .
例题4．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数 满足
，若数列 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ， ；
【详解】（1）因为 ,
由 ①,
则 ②,
所以 可得： ，
故 ， .
例题5．（2023·全国·高二专题练习）已知 为等比数列，且 ，若 ，求
的值．
【答案】2021
【详解】因为 为等比数列， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
同理可得 ，
所以
题型二：通项为 型求和
例题1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，等比数列 的各项均为
正数，且满足 ， ， .(1)求数列 与 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）记等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，
则由题可得， ，
解得 ，
又等比数列 的各项均为正数，所以 ，所以 ，
所以 ， .
（2）由（1）可得， ，
所以
例题2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知各项均为正数的等差
数列 的首项 ， ， ， 成等比数列；
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
又因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，
整理得： ，又因为 ，
解得 或 (舍)
则有 ，
所以数列 的通项公式为 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以
.
所以 .
例题3．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知等比数列 中， ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设公比是 ，则 ， ，因此 ，
所以 ；
（2）由（1） ，
．
例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知等差数列 ， 为其前n项
和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 .
（2） ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以数列 的前n项和为 .
例题5．（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）等差数列 满足 ， ，正项等比数列
满足 ， 是 和 的等比中项．
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ；
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由题意可得： ，
解得， ，
所以， ；
又 且 ， ，
所以 ，
所以 ．
（2）因为 ，
所以.
题型三：通项为 型求和
例题1．（2023·海南·统考模拟预测）在① 成等比数列，且 ；② ，数
列 是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列 的前 项和为 ，且__________．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选择条件①：
根据题意，由 ，得
当 时， ．
两式相减得， ，
化简得 或 （舍），
所以当 时，数列 是公差为2的等差数列，
则 ．
又由 ，得 ，解得 ，
所以 ．
当 时， ，解得 ，满足上式，
故
若选择条件②：
由题设知 ，
则当 时， ．，
由 ，得 ，
解得 ，
故当 时， ，
当 时， 也满足上式，
故 ．
（2） ，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
故
例题2．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）设数列 的前 项和为 ，已知
．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 的项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，得 ，两式相减得 ．
令 数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
（2）由题意可得 ，
,
①，
则 ②，① ②得： ,
∴ ,
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 求数列 的前n项和 ．
【答案】
【详解】当n为奇数时，
．
当n为偶数时，
．
综上所述，
例题4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2) 且【详解】（1） ，
当 时
，检验知：当 时上式也成立，
故 ．
（2） ．
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， 且 ，
又 时 满足上式，此时 ；
且 .
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 的前n项和 ，且 ，数列
为单调递增的等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）由 可知，
则
化简可得：
，即 ，数列 是以2为公差的等差数列，
，
由 可知 ，
，
又由 为递增的等比数列，且 ，即 ，
解得 ， .
（2）依题意可知 ，
因此
,
当 为偶数时，原式 ，
当 为奇数时，原式 ，
综上， .
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·山东潍坊·高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数 ，数列 为
等比数列， ，且 ，利用课本中推导等差数列前 项和的公式的方法，则
（ ）
A． B．2017 C．4034 D．8068
【答案】C【详解】用倒序相加法：令 ①
则也有 ②
由 ，
，即有 ，
可得： ，
于是由①②两式相加得 ，所以 ．
故选：C
2．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导
等差数列前 项和的方法探求：若 ，则 （ ）
A．2022 B．4044 C．2023 D．4046
【答案】D
【详解】因为正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，
所以 ，
又∵函数 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ .
故选：D.
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导等
差数列前n项和的方法探求：若 ，则 .
【答案】4038
【详解】正数数列 是公比不等于1的等比数列， ，则 ，
由 ，当 时， ，
于是 ，令 ，则
因此 ，
所以 .
故答案为：4038
4．（2023·全国·高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定
的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数 ，则
的值为 .
【答案】1009
【详解】由函数 ，得 ，
令 ，
则 ，
两式相加得 ，解得 ，
所以所求值为1009.
故答案为：1009
三、解答题
5．（2023春·江西萍乡·高二统考期末）已知函数 关于点 对称，其中 为实数.
(1)求实数 的值；
(2)若数列 的通项满足 ，其前 项和为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知 ，即 ，
整理得 ，解得 ；
（2）由题知， ，且 ，则 ，
又 ，
故 ，
即 .
6．（2023秋·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知数列 为非零数列，且满足
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，解得 ，
当 时，由 ，
得 ，
两式相除得： ，即 ，当 时， 也满足，
所以 ．
（2）由（1）可知， ，所以 ，
所以，
.
7．（2023春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知等差数列 ，其前 项和为 .满足 ，且6是
和 的等比中项.
(1)求 的通项公式；
(2)设 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意可得 ，可得 ，
又因为6是 和 的等比中项，则 ，可得 ，
则 ，解得 ，
所以 的通项公式为 .
（2）由（1）可得： ，
则
，
所以 .
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)定义 ，记 ，求数列 的前20项和 ．
【答案】(1) ，
(2)【详解】（1）因为 ，当 时， ，解得 ；
当 时， ，所以 ，即 ，
所以 ，即 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
，则 ．
（2）因为 ，即数列 为递增数列，
，即数列 单调递减．
，
，
所以当 时， ，当 时， ，
所以
所以
．
9．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）各项都为正数的数列 的
前n项和为 ，已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， ，数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，当n为
偶数时，求 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，即 ,解得 或 （负值舍去），
当 时， ， ，
两式相减得： ，因为 ，
所以 ，所以数列 是以2为首项，1为公差的等差数列.所以 .
（2）因为 ， ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等差数列，所以 ，
当n为偶数时，
.
10．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知在正项数列 中， ，当 时，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ， 为数列 的前 项和，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：由 ，
得 ，
的各项都为正数， ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
.
（2）证明：由 ，
，，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
11．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）已知等比数列 的前n项和为 ，且满足
，数列 满足： ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 的通项 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列 的公比为q，
因为 ，即 ，得 ，解得 或 ，
当 时， ，不合题意，舍去，所以 ，
由 ，解得 ，所以 ，
对于 ，因为 ①，
当 时， ，则 ，
当 时， ②，
由①－②得 ，即 ，又 ，也适合上式，故 ， ，
采用累乘法求通项得 ，
所以 ．
（2）由（1）可得： ，则 ，
则数列 的前n项和 ，
①当 为偶数， 时，
采用分组求和：
，
，
所以 ；
②当 为奇数， 且 时， 为偶数，由（1）中结论得 ，
此时 ，
当 时， ，也适合上式，
所以 .
综上所述， ．
12．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 中 ，且点 在函数 的图像上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)答案见解析【详解】（1）解：由已知得： ，即 ，
根据等差数列的定义知数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 .
（2）由已知得： ，
① 为偶数时，
；
② 为奇数时，
，
所以 .
13．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，前 项
和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 得 时，
两式相减得 ,整理得
因为 ，所以 ,所以数列 是以 为公差的等差数列
在 中令 解得
所以（2）
令数列 的前 项和为
当 为偶数时，
当 为奇数时， 为偶数，
即
所以
