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技巧 04 结构不良问题解题策略
【命题规律】
结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，应适度关注．
【核心考点目录】
核心考点一：三角函数与解三角形
核心考点二：数列
核心考点三：立体几何
核心考点四：函数与导数
核心考点五：圆锥曲线
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
2．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平
面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
4．（2021·北京·统考高考真题）在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
5．（2021·全国·统考高考真题）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面①②③中
选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【方法技巧与总结】
1、灵活选用条件，“牵手”解题经验
对于试题中提供的选择条件，应该逐一分析条件考查的知识内容，并结合自身的知识体系，尽量选择
比较有把握的知识内容，纳入自己熟悉的知识体系中．因此，条件的初始判断分析还是比较重要的，良好
的开端是成功的一半嘛！
2、正确辨析题设，开展合理验证
对于条件组合类问题，初始状态更加的不确定，最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证，应
从多个角度，考虑多种可能性的组合，这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提
出了新的要求，所以需要更加细致地完成这个验证过程．
3、全面审视信息，“活”学结合“活”用
数学必备知识是学科理论的基本内容，是考查学生能力与素养 的有效途径和载体，更是今后生活和学
习的基础．数学基础知识是数学核心素养的外显表现，是发展数学核心素养的有效载体．“活”的知识才
是能力，“活”的能力才是素养．我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握，夯实必备知识，并在此
基础上活学活用，提高思维的灵活性，才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题．
【核心考点】
核心考点一：三角函数与解三角形
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期；
(2)若当 时，关于x的不等式. 求实数m的取值范围.
请选择①恒成立，②有解，两条件中的一个，补全问题(2)，并求解.
注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分.
例2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知 分别为 内角 的对边，
若 同时满足下列四个条件中的三个：① ；② ；③ ；④
．
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应 的面积．
例3．（2022春·浙江·高二期中）在① ，② ，③
三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
(1)求角 的大小；
(2)如图所示，当 取得最大值时，若在 所在平面内取一点 （ 与 在 两侧），使得
线段 ，求 面积的最大值．
核心考点二：数列
【典型例题】
例4．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列 前 项和为 ，再从条件①､条件②､条件
③选择一个作为已知，求：
(1)数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
条件① ；条件② ；条件③ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）设数列 是等比数列，其前项和为
(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求 的通项公式；
① ；② ；
(2)在（1）的条件下，若 ，求数列 的前 项和
例6．（2022春·福建·高三校联考阶段练习）从① ；② ；③ 三
个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列 ， 满足 ，且 ， ，
______，求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
核心考点三：立体几何
【典型例题】
例7．（2022春·云南楚雄·高三校考阶段练习）在四棱锥 中， 平面 为棱 中点，
， ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①： ；
条件②： 平面 ．
(1).求证： ；
(2).求直线 与平面 所成角的正弦值．例8．（2022春·新疆伊犁·高二校考期中）从①AB⊥BC；②直线SC与平面ABCD所成的角为60°；
③△ACD为锐角三角形且三棱锥S﹣ACD的体积为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完
成解答．
如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
(1)求证：直线EF∥平面SAD；
(2)若 ，AD＝2，_______，求平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值．
例9．（2022春·四川遂宁·高二遂宁中学校考期中）从① ，②G是 的中点，③G是 的
内心.三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答.在四棱锥 中，底面ABCD是矩
形， 底面 ，且 ， ， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)判断EF与平面 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若G是侧面 上的一点，且________，求三棱锥 的体积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.核心考点四：函数与导数
【典型例题】
例10．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 是 的极值点，求a；
(2)若 ， 分别是 的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．
①当 时， ；②当 时， ．
注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分．
例11．（2022春·贵州铜仁·高三校考阶段练习）已知指数函数 经过点 .求：
(1)若函数 的图象与 的图象关于直线 对称，且与直线 相切，求 的值；
(2)对于实数 ， ，且 ，① ；② .
在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）
例12．（2022春·广东东莞·高三东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知三个函数① ，②
，③ ．
(1)请从上述三个函数中选择一个函数，根据你选择的函数画出该函数的图象（不用写作图过程），并写出
该函数的单调递减区间(不必说明理由)；
(2)把（1）中所选的函数记为函数 ，若关于x的方程 有且仅有两个不同的根，求实数k的
取值范围；
(3)（请从下面三个选项中选一个作答）
（i）若（1）中所选①的函数时，有 ，且 ，求 的
值；
（ii）若（1）中所选②的函数时，有 ，且 ，求 的取值范围；
（iii）若（1）中所选③的函数时，有 ，且 ，求 的值．核心考点五：圆锥曲线
【典型例题】
例13．（2022春·辽宁大连·高二育明高中校考期中）①过 且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长
为3；②P为椭圆C上一点， 面积最大值为 .在上述两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，
并加以解答.
设椭圆 左右焦点分别为 ， ，上下顶点分别为 ， ，短轴长为 ，______.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 的直线l与C交于不同的两点M，N，若 ，试求 内切圆的面积.
例14．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）已知椭圆 ： ， 分别为椭圆的
上下顶点，点 为椭圆上异于点 的任一点，若 的最大值仅在点 与点 重合时取到，在下列三个条
件中能满足要求的条件有____________.
条件①：过焦点且与长轴垂直的弦长为 ；
条件②：点 与点 不重合时，直线 与 的斜率之积为 ；
条件③： ， 分别是椭圆的左、右焦点， 的最大值是120°.
(1)选出所有满足要求的条件，说明理由并求出此时的椭圆方程；
(2)若过原点作与 平行的直线 ，与 平行的直线 ， ， 的斜率存在且分别与椭圆 交于
四点，则四边形 的面积是否为定值?若为定值，求出该值；若非定值，求其取值范围.
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ，动点 到直线 的距离为 ，且
，记 的轨迹为曲线 ．(1)求 的方程；
(2)过 作圆 的两条切线 、 （其中 、 为切点），直线 、 分别交 的另一
点为 、 ．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
① 为定值；
② ．
【新题速递】
1．（2022春·四川成都·高三成都七中阶段练习）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，现
给出下列三个条件：① ， ， 成等比数列；② ；③ ．请你从这三个条件中任选两
个解答下列问题．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，且 ，设数列 的前 项和 ，求证 ．
2．（辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知双曲线 ．请从
①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．① ；②离心率为2；③与椭圆
的焦点相同．
(1)求C的方程；
(2)直线 与C交于A，B两点，求 的值．
3．（四川省广安市2022-2023学年高三第一次诊断性考试数学（理）试题）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c从下列三个条件中选择一个并解答问题：
① ；② ；
③ ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（2022春·吉林·高三东北师大附中校考阶段练习）记数列 的前n项和为 .已知 ，且满足
___________.
从①记 ，且有 ；② ；③ 中选出一个能确定 的条件，
补充到上面横线处，并解答下面的问题.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
5．（2022春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）在① ；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且其面积为 ，点G为 重心，点M为线段 的中点，点N在线段
上，且 ，线段 与线段 相交于点P，求 的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．6．（2022·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）过原点O的直线与抛物线 交
于点A，线段OA的中点为M，又点 ， ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，
并解答下列问题：
① ，② ；③ 的面积为 ．
(1)已知_________，求抛物线C的方程；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
(2)已知点 ，设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于
D，E两点，线段DE的垂直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．
7．（2022秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考期末）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 为钝角三角形，______，求 外接圆的半径R的取值范围．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．① ；② ．
8．（2022·湖南衡阳·统考三模）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求实数 ；
(2)从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分．
①当 时， ，求实数 ．
②当 时， ，求实数 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .(1)若函数 ，讨论 的单调性；
(2)从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分.
①若函数 ， ，且 ，证明： .②若函数
，证明： .
10．（2022·山东泰安·统考模拟预测）如图1，已知等边 的边长为 ，点 分别是边 上的
点，且满足 ，如图2，将 沿 折起到 的位置．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)给出三个条件：① ；②平面 平面 ；③四棱锥 的体积为 ，从
中任选一个，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
11．（2022·山西吕梁·统考模拟预测）在① ；② ， ；③
这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．
已知正项数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，记 表示x除以3的余数，求 ．
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．12．（2022秋·安徽阜阳·高一安徽省太和中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ，若 为 上一点，且满足
____________，求 的面积 .
请从① ；② 为 的中线，且 ；③ 为 的角平分线，且 .
这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
