文档内容
专题05 三角形40道压轴题型专训（8大题型）
【题型目录】
题型一 与三角形的高有关的计算压轴题
题型二 根据三角形中线求面积压轴题
题型三 与平行线有关的三角形内角和问题
题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题
题型五 三角形折叠中的角度问题
题型六 三角形内角和定理的应用
题型七 三角形外角压轴题
题型八 多边形内角和压轴题
【经典例题一 与三角形的高有关的计算压轴题】
1．（22-23七年级下·广东河源·期中）如图，已知 的面积为5，点M在 边上移动（点M与点A、
B不重合）， ， 交 于点N，连接 ．设 ， ．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)点E、F分别是边 ， 的中点，设 与 的公共部分的面积为S，试用含x的代数式表示
S．2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，点C在y轴
上，若点 ，点 ，点 ，且 ．
(1)求a，b的值；
(2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接 ，设 的面积为
S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式；
(3)在（2）的条件下，点D是直线 上一点，点D的横坐标为1，连接 ， ，若 的面积为 ，
求点P的坐标．
3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A
（a，0），B（0，b），C（0，c）， ，b为 的整数部分．
(1)a＋b＋c＝ ；
(2)点P为坐标平面内的一个动点，若S PBC＝2S ABC，求点A与点P距离的最小值；
△ △
(3)如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
4．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）设 的面积为 ．
(1)如图1，延长 的各边得到 ，且 ， ， ，记 的面积为 ，
则 ______．（用含 的式子表示）
(2)如图2，延长 的各边得到 ，且 ， ， ，记 的面积为 ，
则 ________．（用含 的式子表示）
(3)如图3，P为 内一点，连接 、 、 并延长分别交边 、 、 于点D、E、F，则把
分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到 的面积 ________．
5．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，连接 ，将
向下平移10个单位得线段 ，其中点 的对应点为点 ．(1)填空：点C的坐标为____________；
(2)点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿 …运动，设运动时间为t秒，
① 当 时，点E坐标为__________，
② 当E点在 边上运动时，点E坐标为_____________；（用含t的式子表示）
③ 当点E到y轴距离为7时，求t值；
(3)在（2）的条件下，连接 并延长，交y轴于点P，当 将四边形 的面积分成 两部分时，
求点P的坐标．
【经典例题二 根据三角形中线求面积压轴题】
6．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其
坐标为 ，点C在y轴的正半轴上，其坐标为 ，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线
相交于B．
(1)点B坐标为（____，____）；
(2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿 向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为
中点，N为 中点，用含t的式子表示 的长；
(3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着 向终点O运动，连接 ，求t为何值时， 把长方形
分成的两部分面积比为 ，并求出此时点P坐标．
7．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图， 是 的角平分线，点E、F分别在 、 上，
， 平分 ．(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ， ，且 的面积为27，求 的面积．
8．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）典型题例：
（1）如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图2， 是 的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？
（两种方法画图）
迁移应用：
（3）如图3， 的两条中线 ， 相交于点 ，求证： ；
（4）如图4， 的三条中线 ， ， 相交于点 ，
①请你写出所有与 面积相等的三角形；
②写出 与 的数量关系式，并说明理由；
拓展应用；
（5）设 的面积为a，如图①将边 分别2等份， 、 相交于点O， 的面积记为 ；
如图②将边 分别3等份， 、 相交于点O， 的面积记为 ；……，以此类推，若，则a的值为__________．
9．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图， 中， ， 于点D， 为
的中线， ， ， ．求：
(1) 的长
(2) 的面积
(3) 和
的周长的差
10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知 的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，若 是 的 边上的中线，则 的面积______ 的面积．（填“>”“<”“=”）(2)如图2，若 、 分别是 的 、 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法，
连接 ，由 得： ，同理： ，设 ， ，则 ，
由题意得： ， ，可列方程组为： ，解得
______，则可得四边形 的面积为______．
(3)如图3， ， ，则四边形 的面积为______．
(4)如图4，D，F是 的三等分点，E，G是 的三等分点， 与 交于O，且 ，则四边形
A 的面积为______．
【经典例题三 与平行线有关的三角形内角和问题】
11．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，已知 、 两点坐标分别为 ， ，且 ， 满足
， ， 是 轴正半轴上一点．
(1)求 、 两点的坐标
(2)若 为 轴上一点，且 ，求 点的坐标
(3)过 作 轴，若 ， ，求 与 间的数量关系
12．（23-24七年级下·广东佛山·期中）综合探究：如图1，已知两条直线 被直线 所截，分别交于点E，点 平分 交 于点M，且 ．
(1)直线 与直线 平行吗？说明你的理由；
(2)点G是射线 上一动点（不与点M，F重合）， 平分 交 于点H，过点H作 于
点N，设 ．
①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当 时α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由．
13．（23-24七年级下·福建三明·期中）在数学探究活动课中，老师要求同学们把一块直角三角板（图中的
， ）摆放在画有两条平行直线 的纸面上进行操作探究．
(1)小明同学把三角板按如图1摆放，请你直接写出 与 ， 之间的数量关系；
(2)小明移动三角板按如图2摆放，当 平分 时，发现 和 存在特殊的数量关系，请
写出这个数量关系并说明理由；
(3)小明继续移动三角板，使顶点A落在直线 上，如图3，分别画出 和 的平分线相交于点
E，多次移动三角板位置（保持顶点A在直线 上），经度量并计算发现 都等于 ，请
问这个等式是否一定成立？如果成立，请你说明理由；如果不成立，请你画出一个符合条件且
又不等于 的图形．14．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图， ， 是直线 上一点， 是直线 上一点．
问题提出
（1）如图1， 是直线 上一点， 是线段 上一点，连接 ，若 ， ，则
问题探究
（2）如图2， ， 平分 ， 平分 ，请计算 的度数．
问题解决
（3）如图3， 平分 ，延长 到点 ，且 平分 ，若 ，请你探究
与 之间的关系，并说明理由（用含 的式子表示）．
15．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知： ，E、G是 上的点，F、H是 上的点，
．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点M在 的延长线上，作 、 的角平分线交于点N， 交 于点P，设
．
①若 ，试判断直线 上是否存在一点K使得 ，并说明理由；
②如图3，作 的角平分线交 于点Q，若 ，请直接回答 与 的数量关
系：______．【经典例题四 与角平分线有关的三角形内角和问题】
16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）【认识概念】
如图1，在 中，若 ，则 ， 叫做 的“三分线”．其中， 是
“近 三分线”， 是“远 三分线”．
【理解应用】
（1）在 中， ， ，若 的三分线 与 的角平分线 交于点 ，则
____________；
（2）如图2，在 中， 、 分别是 的近 三分线和 近 三分线，若 ，
求 的度数；
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， 、 分别是 的远 三分线和 远 三分线，且 ，
直线 过点 分别交 、 于点 、 ，请直接写出 的度数（用含 的代数式表示）．
（4）在 中， 是 的外角， 的近 三分线所在的直线与 的三分线所在的
直线交于点 ．若 ， ；直接写出 的度数（用含m的代数式表示）．17．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】（1）如图1，已知 ，求证：
；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形 中， ，点E是线段 上一点．
，求 的度数；
【拓展提高】（3）如图3，在四边形 中， ，点E是线段 上一点．若 平分
．
①试求出 的度数；
②已知 ，点G是直线 上的一个动点，连接 并延长．
2.1若 恰好平分 ，当 与四边形 中一边所在直线垂直时， _____ ；
2.2如图4，若 是 的平分线与 的延长线交于点F，与 交于点P，且 ，则
______ （用含 的代数式表示）．18．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在 中，P为 内一点， 平分
， 平分 ．
(1)如图1，当 时，则 的度数为__________．
(2)如图2，过C作 ，交 延长线于点Q，求证： ．
(3)如图3，在（2）的条件下，过C作 ，延长 与 延长线交于点N，若 ，
且 ，求 的度数．
19．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究
如图1，已知 ， 是其内部一点，过点 作 ， ，分别交 ， 于点 ， ，
平分 ， 平分 ．
图1 图2
(1)①写出所有等于 的角：______．
②试猜想 与 的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，点 在射线 上，连接 ， ，且 ， 平分 ，交 于点 ，延长
交 于点 ，若 ，求 的度数．20．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识
（二）第43页第21题如下：如图1， ，点A、B分别在 、 上运动（不与点O重合），
是 的平分线， 的反向延长线交 的平分线于点D．
【特殊探究】（1）当 时， ；
【推理论证】（2）随着点A、B的运动， 的大小会变吗？如果不会，求 的度数，请说明理
由；
【拓展探究1】（3）如图2，在图1的基础上分别作 与 的平分线，交于点E，则 ；
【拓展探究2】（4）如图3，若将图1中的“ ”拓展为一般情况，即 ，连接 ，
与 的平分线相交于点Q，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【经典例题五 三角形折叠中的角度问题】
21．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角
平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他
的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在 中， 的角平分线交于点P，若 ．则 ______；
(2)【问题推广】如图2，在 中， 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点P，过
点B作 于点H，若 ，则 ______；
(3)如图3，如图3，在 中， 、 的角平分线交于点 ，将 沿DE折叠使得点 与点
重合．
①若 ，则 ______；
②若 ，求证： ；
(4)【拓展提升】在四边形 中， ，点F在直线 上运动（点F不与E，D两点重合），连
接 的角平分线交于点Q，若 ，直接写出∠Q和α，β之间
的数量关系．
22．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，有点 ，且a，b满足
，将线段 向上平移 个单位得到线段 ．
(1)求出点A、B的坐标；(2)如图1，若 ，过点C作直线 轴，点M为直线l上一点，若 的面积为8，求点M的坐标；
(3)如图2，点 为线段 上任意一点，点 为线段 上任意一点， ．点 为线段 与线
段 之间一点，连接 ， ，且 ， ．试写出 与 之间的数
量关系，并证明你的结论；
23．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究
(1)如图1，将 沿着 第一次折叠，顶点 落在 的内部点 处，试探究 与 之间的
数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将 沿着 第二次折叠，顶点 恰好与点 重合，若 ， ，求 的度
数．
(3)如图3，将 沿着 第三次折叠，顶点 恰好与点 重合，若 ， ，用含 ， 的代
数式表示 ．24．（22-23七年级下·四川成都·期中）直线 与直线 垂直相交于点 ，点 在射线 上运动（点
不与点 重合），点 在射线 上运动（点 不与点 重合）．
(1)如图1，已知 、 分别是 和 的角平分线，
①当 时，求 的度数；
②点 、 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生
变化，试求出 的大小；
(2)如图2，将 沿 所在直线折叠，点 落在 的点 处，折痕与 交于点 ，连接 、 ，
在 中，如果有一个角是另一个角的 倍，请求出 的度数．
25．（22-23七年级上·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于 ”．在三角形纸片
中，点D，E分别在边 上，将 沿 折叠，点C落在点 的位置．
(1)如图1，当点C落在边 上时，若 ，则 ＝ ，可以发现 与 的数量关系
是 ；
(2)如图2，当点C落在 内部时，且 ， ，求 的度数；(3)如图3，当点C落在 外部时，若设 的度数为x， 的度数为y，请求出 与x，y之
间的数量关系．
【经典例题六 三角形内角和定理的应用】
26．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，如图， ，直线 交 于点 ，交 于点 ，
点 是线段 上一点， 分别在射线 上，连接 平分 平分 ．
(1)如图1，当 时，求 的度数；
(2)如图2，求 与 之间的数量关系，并说明理由．
27．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ， ，且满足
，将线段 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．点 的对应点为 ，
点 的对应点为 ．(1)求 两点的坐标．
(2)连接 ，求平行四边形 的面积．
(3)设 为 轴负半轴上一动点（异于点 ），连接 ， 的平分线与 的平分线交于点 ，
请你探究 与 的数量关系，并证明你的结论．
28．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果两个角的差等于 ，就称这两个角互为“宝藏角”．其
中一个角叫做另一个角的“宝藏角”．例如 ， ， ，则 和 互为“宝藏角”，
即 是 的“宝藏角”， 也是 的“宝藏角”．
(1)已知 和 互为“宝藏角”， ，且 和 互补，求 的度数；
(2)在 中， ， 是 的角平分线，
如图 ，点 在射线 上， 平分 ，与射线 交于点 ，若 与 互为“宝藏角”，
求 的度数；
如图 ，若 ，射线 平分 且与射线 交于点 ，若 与 互为“宝藏角”，
则 的度数为______；
如图 ，若 于点 ， 相交于点 ，若 与 互为“宝藏角”，求出
的度数．29．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）如图， ，点 在 上，点 ， 为 上两点，
， ， 平分 交 于点 ．
(1)求 的度数；
(2)射线 绕 点每秒 的速度顺时针旋转 秒 ，当 转动至射线 后立即以相同速度回转，当
第一次与 互相平行时，求 的值；
(3)当射线 绕 点每秒 的速度顺时针转动的同时，射线 绕 点每秒 的速度逆时针旋转，当
转动至射线 时， ， 同时停止转动，请求出 与 互相平行时 的值．
30．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知直线 ，点A在直线 上，点B、C为平面内两点，
于点C．
(1)如图1，当点B在直线 上，点C在直线 上方时，则 和 之间的数量关系是 ．
(2)如图2，当点C在直线 上且在点A左侧，点B在直线 与 之间时，小明过点B作 ．
请根据他的思路，写出 与 的关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，作 的平分线交直线 于点E， ，直接写出
的度数．
(4)如图4，当点C在直线 上且在点A左侧，点B在直线 下方时，当 时，请补充图
形并直接写出 的度数．
【经典例题七 三角形外角压轴题】31．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）已知：点A在直线 上，点 都在直线 上（点B在点
C的左侧），连接 ，AC，AB平分 ，且 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点K为线段 上一动点，连结 ，且始终满足 ，
①当 时，在直线 上取点 ，连接 ，使得 ，求此时 的度数．
②在点K的运动过程中， 与 的度数之比为定值，请直接写出这个定值，不需要说明理由．
32．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，直线 ，点E为直线 上一定点，射线 交 于
点F， 平分 ， ．
(1)如图1，当 时， °；(2)点P为线段 上一定点，点M为直线 上的一动点，连接 ，过点P作 交直线 于点
N．
①如图2，当点M在点F右侧时，求 与 的数量关系；
②当点M在直线 上运动时， 的一边恰好与射线 平行，直接写出此时 的度数（用含α
的式子表示）．
33．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知：直线 与直线 平行， 、 是直线 上的点， 、
是直线 上的点，且 ．
(1)如图1， 为 的角平分线，交 于点 ，连接 ，猜测 、 ， 之间的等量关
系并给出证明．
(2)如图2，在（1）的条件下，过点 作 于点 ，作 的角平分线交 于点 ．若
，且 ，请直接写出 的度数．34．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知：点 在直线 上，点 都在直线 上（点 在点 的
左侧），连接 ， ， 平分 ，且 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点 为线段 上一动点，连接 ，且始终满足 ．
①当 时，在直线 上取点 ，连接 ，使得 ，求此时 的度数；
②在点 的运动过程中， 与 的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理
由．
35．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知线段 、线段 被直线 所截于点A、点C，
， 的度数是 的3倍少 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ， 沿 方向平移得到 ，点F在 上，点G是 上的一点，连接 、 ，
， ，求 的度数；
(3)如图3，点M是线段 上一点，点N是射线 上一点， 度数为k， 度数为m，
度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于 ）【经典例题八 多边形内角和压轴题】
36．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知在 中， 是 边上的高， 是 的角平分线．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2， 平分 交 于点F，交 外角 平分线于点P，过F作 交 于
G，请猜想 与 的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，过点P作 于点G，若 ，且
，过点P作 交 的延长线于点H，求 的度数．
37．（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我
们一起来探索：
(1)下列有 、 两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)．
．如图①， 和 是 的两个外角，求证 ；
．如图② 、 是 边 、 上的点，将 沿 翻折至 ，若点 在 内部，
．我选择 作答
(2)如图③， 、 分别平分四边形 的外角 、 ．已知 ， ，求的度数；
(3)如图④，已知五边形 ，延长 至 ，延长 至 ，连接 ，点 、 分别在边 、 上，
将 沿 翻折至 ，若 ， ， ， ．请你直接
写出 的度数 用含 、 的代数式表示)
38．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在 中， ．点D、E分别在 的边
上，且均不与 的顶点重合，连接 ，将 沿 折叠，使点A的对称点 始终落在四
边形 的外部， 交边 于点F，且点 与点C在直线 的异侧．
(1)如图①，则 _______ ．
(2)如图②，则 _______ ．
(3)如图③，设图②中的 ．求 的度数；
(4)当 的某条边与 或 垂直时，直接写出 的度数．
39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】
三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和 ，四边形的内角和是 ．
【问题思考】如图1，在 中，延长 到点D， ， 分别平分 和 ．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）设 ， ，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即 ，m是常量．在x
与y变化的过程中， 的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示 ；若变化，
请说明理由．
【问题拓展】
在四边形 中，设 ， ，延长 到点E， ， 分别平分 和 ．
（3）如图2，当 ，此时 ， 的位置关系为 ；
（4）如图3，当 ， ， 所在直线交于点N，请说明 与α，β的数量关系；
（5）将（4）中的条件 改为 ，其余条件不变，请画出简图，并直接写出 与
α，β的数量关系．
40．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习）
在平面中，我们把大于 且小于 的角称为优角，如果两个角相加等于 ，那么称这两个角互为
组角，简称互组．（1）若 、 互为组角，且 ，则 _____°；
（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于 的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形 中，优角 与钝角 互为组角，试探索内角 、 、 与钝
角 之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②， ______；（用含α的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形 中，延长 、 交于点Q，延长 、 交于P， 的
平分线交于点M， ；直接运用（2）中的结论，试说明： ．
