文档内容
专题 01 三角函数的图象与综合应用
【命题规律】
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式
考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式
考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，
如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解
三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：齐次化模型
核心考点二：辅助角与最值问题
核心考点三：整体代换与二次函数模型
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
核心考点五： 的取值与范围问题
核心考点六：三角函数的综合性质
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，
且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2022·全国·高考真题（理））设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．4．（2022·全国·高考真题（文））将函数 的图像向左平移 个单位长度后
得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数 的图像关于点 中
心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
6．（2022·全国·高考真题（理））记函数 的最小正周期为T，若
， 为 的零点，则 的最小值为____________．
【方法技巧与总结】
1、三角函数图象的变换
（1）将 的图象变换为 的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对 作的变换；
（3）伸缩变换
①沿 轴伸缩时，横坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（纵坐标 不变）；②沿 轴伸缩时，纵坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（横坐标 不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合 ， ，
， 的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为 的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于 或 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中
心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为奇函数，则有 ．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间
的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 个周期列不等式（组）求解.
【核心考点】核心考点一：齐次化模型
【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
（二次隐型齐次化）
或者
这种类型题，分子分母同除以 （一次显型）或者 （二次隐型），构造成 的代数式，
这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【典型例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
核心考点二：辅助角与最值问题
【规律方法】第一类：一次辅助角: = ．（其中 ）第二类：二次辅助角
【典型例题】
例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数 ，当 时，
取得最大值，则 （ ）
A． B． C． D．
例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若 ，则函数
的值域为（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若 ，则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，若 ，则 的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x的方程 有实数解，则
最小值是______．
例10．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值为___________.
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最小值为____.
核心考点三：整体代换与二次函数模型
【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是 ， 与 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是 与 之间
的关系，第三类则是 与 之间的关系.
【典型例题】
例12．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值为___________．
例13．（2022·全国·高考真题（文））函数 的最大值为________.
例14．（2022·全国·高考真题（理））函数 的最大值是_________.
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的最大值为
___________.
例16．（2022·全国·高三专题练习）若 是三角形的最小内角，则函数 的最小值
是
A． B． C．1 D．
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
【规律方法】
关于 和 ，如图， 将 图像中 轴上方部分保留， 轴下方部分沿着
轴翻上去后得到，故 是最小正周期为 的函数，同理 是最小正周期为 的函
数； 是将 图像中 轴右边的部分留下，左边的删除，再将 轴右边图像作对称至左边，
故 不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【典型例题】
例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小值为
C． D． 在 上有解例18．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，给出下述四个结论:
① 是偶函数; ② 在 上为减函数;
③ 在 上为增函数; ④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数 ，以下结论正确
的是（ ）
A． 是 的一个周期 B．函数在 单调递减
C．函数 的值域为 D．函数 在 内有6个零点
例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数 ，则
（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为
C． 在 上单调递减 D． 在 上有4个零点
例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数 的最大值为
______.
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
① 在 上的最小值是1；
② 的最小正周期是 ；
③直线 是 图象的对称轴；
④直线 与 的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上递增；
③ 在 上有4个零点；
④ 的最大值为2.其中所有正确结论的编号__________.
例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数 ，下述四个结论正确结
论的编号是__________.
① 是偶函数； ② 的最小正周期为 ；
③ 的最小值为0； ④ 在 上有3个零点.
核心考点五： 的取值与范围问题
【规律方法】1、 在 区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{ b a a
⇒¿| − |≤ ¿ ≥ ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ≤aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
同理， 在区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{ b a a
⇒¿| − |< ¿ > ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ
