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专题 01 三角函数的图象与综合应用
【命题规律】
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式
考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式
考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，
如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解
三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：齐次化模型
核心考点二：辅助角与最值问题
核心考点三：整体代换与二次函数模型
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
核心考点五： 的取值与范围问题
核心考点六：三角函数的综合性质
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，
且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2022·全国·高考真题（理））设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．4．（2022·全国·高考真题（文））将函数 的图像向左平移 个单位长度后
得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数 的图像关于点 中
心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
6．（2022·全国·高考真题（理））记函数 的最小正周期为T，若
， 为 的零点，则 的最小值为____________．
【方法技巧与总结】
1、三角函数图象的变换
（1）将 的图象变换为 的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对 作的变换；
（3）伸缩变换
①沿 轴伸缩时，横坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（纵坐标 不变）；②沿 轴伸缩时，纵坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（横坐标 不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合 ， ，
， 的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为 的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于 或 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中
心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为奇函数，则有 ．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间
的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 个周期列不等式（组）求解.
【核心考点】核心考点一：齐次化模型
【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
（二次隐型齐次化）
或者
这种类型题，分子分母同除以 （一次显型）或者 （二次隐型），构造成 的代数式，
这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【典型例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
核心考点二：辅助角与最值问题
【规律方法】第一类：一次辅助角: = ．（其中 ）第二类：二次辅助角
【典型例题】
例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数 ，当 时，
取得最大值，则 （ ）
A． B． C． D．
例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若 ，则函数
的值域为（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若 ，则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，若 ，则 的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x的方程 有实数解，则
最小值是______．
例10．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值为___________.
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最小值为____.
核心考点三：整体代换与二次函数模型
【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是 ， 与 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是 与 之间
的关系，第三类则是 与 之间的关系.
【典型例题】
例12．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值为___________．
例13．（2022·全国·高考真题（文））函数 的最大值为________.
例14．（2022·全国·高考真题（理））函数 的最大值是_________.
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的最大值为
___________.
例16．（2022·全国·高三专题练习）若 是三角形的最小内角，则函数 的最小值
是
A． B． C．1 D．
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
【规律方法】
关于 和 ，如图， 将 图像中 轴上方部分保留， 轴下方部分沿着
轴翻上去后得到，故 是最小正周期为 的函数，同理 是最小正周期为 的函
数； 是将 图像中 轴右边的部分留下，左边的删除，再将 轴右边图像作对称至左边，
故 不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【典型例题】
例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小值为
C． D． 在 上有解例18．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，给出下述四个结论:
① 是偶函数; ② 在 上为减函数;
③ 在 上为增函数; ④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数 ，以下结论正确
的是（ ）
A． 是 的一个周期 B．函数在 单调递减
C．函数 的值域为 D．函数 在 内有6个零点
例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数 ，则
（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为
C． 在 上单调递减 D． 在 上有4个零点
例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数 的最大值为
______.
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
① 在 上的最小值是1；
② 的最小正周期是 ；
③直线 是 图象的对称轴；
④直线 与 的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上递增；
③ 在 上有4个零点；
④ 的最大值为2.其中所有正确结论的编号__________.
例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数 ，下述四个结论正确结
论的编号是__________.
① 是偶函数； ② 的最小正周期为 ；
③ 的最小值为0； ④ 在 上有3个零点.
核心考点五： 的取值与范围问题
【规律方法】1、 在 区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{ b a a
⇒¿| − |≤ ¿ ≥ ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ≤aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
同理， 在区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{ b a a
⇒¿| − |< ¿ > ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ<aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
在区间 内有 个零点
2、
{T b a 2T {kπ aω ϕ π kπ
⇒¿ <| − |≤ ¿ ≤ + < + ¿¿¿
在区间 内有 个零点
同理
T 3T
{
⇒¿ ≤|b−a|< ¿ {kπ<aω+ϕ≤π+kπ¿¿¿
2 2
3、 在区间 内有 个零点同理 在区间 内有 个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，则
．
5、已知单调区间 ，则 .
【典型例题】
例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 ， 为 的
一个零点， 为 图象的一条对称轴，且 在 内不单调，则 的最小值为______.
例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内既没有最大值 ，也没有
最小值 ，则 的取值范围是___________.
例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数 （其中 为常数，且 ）有且
仅有3个零点，则 的最小值是_________．
例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数 ，若 在
内单调且有一个零点，则 的最大值是______________．
例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数 在 上为增
函数，则 的最大值为________.
例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 的最小正周期为 ，的一个极值点为 .若 ，则 的最大值是_____.
例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数
( )的图象向左平移 个单位长度,得到曲线 .若 关于 轴对
称,则 的最小值是______．
例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数 的最小正周期为 ，
若 ， 为 的零点，则 的最小值为_______．
例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数 ，若 是 图象的
一个对称中心， 在区间 上有最大值点无最小值点，且 ，记满足条件的 的
取值集合为 ，则 ______.
例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数 ，若 ，且
在 上有最大值，没有最小值，则 的最大值为______．
例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数 ，其中 ．且
，则 的最小值为________．
例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知 ，
，且 在区间 上有最小值，无最大值，则 ______.
例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数 ，若 在区间
内没有零点，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
核心考点六：三角函数的综合性质
【典型例题】
例38．（多选题）（2022·山东德州·高三期中）已知函数 同时满
足下列三个条件：
①该函数的最大值为 ；②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为 ；
③该函数图象关于 对称.
那么下列说法正确的是（ ）
A． 的值可唯一确定
B．函数 是奇函数
C．当 时，函数 取得最小值
D．函数 在区间 上单调递增
例39．（多选题）（2022·湖北襄阳·高三期中）函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函
数 的图象，则下列结论正确的有（ ）
A．直线 是 图象的一条对称轴
B． 在 上单调递增
C．若 在 上恰有4个零点，则
D． 在 上的最大值为
例40．（多选题）（2022·江苏南通·高三期中）已知函数 ， 的定义域均为R，它们的导函数分
别为 ， ．若 是奇函数， ， 与 图象的交点为 ，
，…， ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于直线 对称 D．
例41．（多选题）（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数 的部分
图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）．A．
B． 在区间 单调递减
C． 在区间 上有且仅有2个零点
D．将 的图象向右平移 个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
例42．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知函数 ，且对任意
均有 在 上单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 的最小正周期为
C．若 的根为 ，2， ， ，则
D．若 在 上恒成立，则 的最大值为
例43．（多选题）（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数
的部分图象如图（1）所示，函数
的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的周期为B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上有4个零点
D．将函数 的图像向左平移 可使其图像与 图像重合
例44．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数 图像上所有的点向右
平移 个单位长度，得到函数 的图像，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为π
B． 图像的一个对称中心为
C． 的单调递增区间为
D． 的图像与函数 的图像重合
例45．（多选题）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知 ，则下列说法错误的是
（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 为奇函数
C．函数 在 上的值域为
D．函数 在区间 上的零点个数为8
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）函数 某相邻两支图象
与坐标轴分别交于点 ， ，则方程 所有解的和为
（ ）
A． B． C． D．2．（2022·北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数 则（ ）
A． 是奇函数 B．函数 的最小正周期为
C．曲线 关于 对称 D．
3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数 （ ， ），其
图象相邻两条对称轴的距离为 ，且对任意 ，都有 ，则在下列区间中， 为单调
递减函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为 的函数 ，其值
域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏南通·高三期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））设函数 ，已知 在 有且仅有5
个零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（ ）
① 在 有且仅有3个极大值点
② 在 有且仅有2个极小值点
③ 在 单调递增
④ 的取值范围是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
7．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数 的命题，
正确的有（ ）个
（1）它的最小正周期是（2） 是它的一个对称中心
（3） 是它的一条对称轴
（4）它在 上的值域为
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知函数 （其中 ），
恒成立，且 在区间 上单调，给出下列命题① 是偶函数；
② ；③ 是奇数；④ 的最大值为3；其中正确的命题有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、多选题
9．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数 ，曲线 关于点
中心对称，则（ ）
A．将该函数向左平移 个单位得到一个奇函数
B． 在 上单调递增
C． 在 上只有一个极值点
D．曲线 关于直线 对称
10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 是 的对称轴
B．点 是 的对称中心
C． 在区间 上单调递减
D． 的图象向右平移 个单位得 的图象11．（2022·山东青岛·高三期中）已知函数 ，则
（ ）
A． 的最大值为2 B． 是 的图象的一条对称轴
C． 在 上单调递减 D． 的图象关于 对称
12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）设 （其中 为正整数， ），且
的一条对称轴为 ；若当 时，函数 在 单调递增且在 不单调，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B． 的一个对称中心为
C．函数 向右平移 个单位后图象关于 轴对称
D．将 的图象的横坐标变为原来的一半，得到 的图象，则 的单调递增区间为
三、填空题
13．（2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知函数
的相邻对称轴之间的距离为 ，且 图象经过点 ，则下列
说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）
A．该函数解析式为 ；
B．函数 的一个对称中心为
C．函数 的定义域为
D．将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，且函数 的图象关于原点对
称，则 的最小值为 .
14．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））正割（Secant，sec）是三角函数的一种，正割的数学符
号为sec，出自英文secant．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即 ．若函数 ，则下列结论正确的有__
①函数 的图像关于直线 对称；
②函数 图像在 处的切线与 轴平行，且与 轴的距离为 ；
③函数 在区间 上单调递增；
④ 为奇函数，且 有最大值，无最小值．
15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若 ，则
______．
16．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程 在
上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．
四、解答题
17．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数 在区间 内有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
18．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知函数 ，且_____．
从以下 三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题： 过点 函数 图
象与直线 的两个相邻交点之间的距离为 函数 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为
．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)设函数 ，则是否存在实数 ，使得对于任意 ，存在 ，
成立 若存在，求实数 的取值范围 若不存在，请说明理由．19．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 在区间（0，π）上恰有2个零点 ，求 的值．
20．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数 的部分图
象如图所示.
(1)求 的解析式及对称中心；
(2)先将 的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 倍，得到函数 图象，再将 图象右平移
个单位后得到 的图象，求函数 在 上的单调减区间.
21．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x0 5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(2)将 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象．若 图象的一个
对称中心为 ，求 的最小值．
22．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知函数 的部分图像如下
图所示.
(1)直接写出 的解析式；
(2)若对任意 ，存在 ，满足 ，求实数 的取值范围.
