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第 28 讲 高考中的应用题解法
数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现，数学应
用问题的是新高考的重点与热点，在近几年的高考题中，常见的有与经济有关即利润最大化
和成本最小化为背景的应用题，也有以三角函数，平面几何图形、空间几何体为背景的图形
应用题．本文集中介绍以三角，函数，不等式，几何图形为载体的应用问题. 涉及平面图形
的数学应用问题，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，结合所给平面图形的结构特
征以及相关性质，适当选取参数(如角、线段的长度等)，建立数学模型，运用所学的数学知
识予以解决，其中，运用基本不等式、三角函数的最值以及利用函数的性质求最值是常见数
学知识和方法．
三角函数
例1：1．如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中 ．
(1)将十字形的面积表示为 的函数；
(2) 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1) .
(2)
【分析】（1）首先利用 表示出面积表达式，再利用三角函数替换，结合 的范围即可.（2）对面积表达式利用二倍角公式以及降次公式化简，再结合辅助角公式即可化简，最后结合角的范围
求出最值.
【详解】（1）设 为十字形的面积，则 ，又圆 的直径为 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 .从而
.故 .
（2）
.
其中 .
所以当 ，即 时, 最大,且最大值为 .
2.某隧道横断面由半圆及矩形的三边组成，尺寸如图，一平板车车身高1米，车上装载
截面为长方形的货物，为了保证行车安全，要求货物距隧道顶部距离不得少于0.5米．
（1）如果车上装载货物截面长方形的宽为3米，货物的最大高度是多少？
（2）适当调整货物的宽与高（不受车宽影响），可以使货物截面的面积
最大，从而使运载的货物最多，试问应如何调整，才能使装载的货物最多？
解：如图，设半圆圆心为O，平行于矩形底边的直径为AB，
货物右边界所在直线与半圆、直径AB、矩形底边的的
交点分别为P,M,N， ．（1）如果装载货物宽度为3米，则OM=1.5（米），所以 ，
（米）
所以货物的最大高度为 （米）
（2）由 ，知货物宽度为 ， ．
货物高度为 ，
货物截面面积 ，
由 解得 或 （舍去），所以 ．
当 时， ；当 时， ．
所以当 时，S取最大值，此时 ，
，
即当货物宽度为 米，高度为3米时，截面面积最大，所装货物最多．
分段函数例2：某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地时间的平均
用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的
成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间
不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1) 当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2) 求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；试讨论g(x)的单调性，并说明其实
际意义．
解：(1) 2x＋－90＞40.由于x＞0，故x2－65x＋900＞0，解得45＜x＜100.
故当45＜x＜100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．
(2) 当0＜x≤30时，g(x)＝30×x%＋40(1－x%)＝40－；
当30＜x≤100时，g(x)＝×x%＋40(1－x%)＝－＋58.
所以g(x)＝
当0＜x≤32.5时，g(x)单调递减，当32.5＜x<100时，g(x)单调递增，
说明，当S中有少于32.5%的成员自驾时，人均通勤时间递减；自驾32.5%时，人均通勤
时间达到最小值；大于32.5%时，人均通勤时间再次逐渐增大．
许多实际应用问题在转化为函数问题去解决时，无法用一个等量关系去表达，需要列出
若干个关系式，这些关系式构成了一个整体，即为分段函数，在建构分段函数模型时，要根
据实际问题的条件，将自变量的取值范围划分为若干个区间，分别考察在每个区间上的最优
解，并加以比较以确定问题的解答，涉及分段变换的数学应用问题，通常的处理方法是仔细
审题，明确解题方向，结合条件，分段解决，这类问题常常会转化为二次函数、三次函数、
分式函数等函数问题，求最值的方法不限定仅用函数方法，有时也会用到基本不等式等其他
求最值的方法．
不等式
例3：（1）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联
动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某 企业春节期间加
班追产提供 （万元）的专项补贴. 企业在收到政府 （万元）补贴后，产量将增加到
（万件）.同时 企业生产 （万件）产品需要投入成本为 （万元），并以每件
元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益 销售金额 政府专项补贴 成本.
(1)求 企业春节期间加班追产所获收益 （万元）关于政府补贴 （万元）的函数关系式；
(2)当政府的专项补贴为多少万元时， 企业春节期间加班追产所获收益最大？
【答案】(1) ，其中
(2)当政府的专项补贴为 万元时， 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为 万元
【分析】（1）计算出销售金额、成本，结合题意可得出 的函数关系式，以及该函数的定义域；
（2）由 结合基本不等式可求得 的最大值，利用等号成立的条件求出 的
值，即可得出结论.
【详解】（1）解：由题意可知，销售金额为 万元，
政府补贴 万元，成本为 万元，
所以， ，其中 .
（2）解：由（1）可知 ， ，其中 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
所以当 时， 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为 万元；
即当政府的专项补贴为 万元时， 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为 万元.
（2）.某城市受雾霾影响严重，现欲在该城市中心P的两侧建造A，B两个空气净化站
（A，P，B三点共线），A，B两站对该城市的净化度分别为a，1a，其中a(0，1)．已知
对该城市总净化效果为A，B两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，
与中心P到净化站距离成反比．若AB=1，且当AP=时，A站对该城市的净化效果为，B站对该
城市的净化效果为1a．
（1）设AP=x，x(0，1)，求A，B两站对该城市的总净化效果f(x)；
（2）无论A，B两站建在何处，若要求A，B两站对该城市的总净化效果至少达到，求a
的取值集合．
解：（1）设A站对城市的净化效果为 ，比例系数为 ，则 ，
由题意 ， ，即 ，所以 ，
设B站对P城市的净化效果为 ，比例系数为 ，则 ，由 ， 得
所以A、B两站对该城市的总净化效果 ， ；…6分（2）由题意得 对任意的 恒成立，
只要 时 即可；
又
，
当且仅当 即 时等号成立，则 ，
又若 ，则 ，即 ，
综上，无论A、B两站建在何处，若要求A、B两站对P城市的总净化效果至少达到，
a的取值集合为[，]．
几何图形
例4：如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点
在路面A，E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B，D处的切线相同，若
桥的最高点C到水平面的距离H＝6米，圆弧的弓高h＝1米，圆弧所对的弦长BD＝10米．
(1)求弧 所在圆的半径；
(2)求桥底AE的长．解：(1)以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角
坐标系．
∵H＝6米，BD＝10米，弓高h＝1米，
∴B(－5,5)，D(5,5)，C(0,6)，
设 所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
则∴
∴弧 所在圆的半径为13米．
(2)弧 的方程为x2＋(y＋7)2＝169(5≤y≤6)．
设曲线AB所在抛物线的方程为y＝a(x－m)2，
∵点B(－5,5)在曲线AB上，∴5＝a(5＋m)2，①
又弧 与曲线段AB在接点B处的切线相同，且弧 在点B处的切线的斜率为，
由y＝a(x－m)2，得y′＝2a(x－m)，
∴2a(－5－m)＝，∴2a(5＋m)＝－，②
由①②得m＝－29，∴A(－29,0)，E(29,0)，
∴桥底AE的长为58米．
选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关
系可能使你的答案更准确。切记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要
把自己的想法与做法写到答卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。
一、单选题
1．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成
了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运
行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，
最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十
二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与
海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测
星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海
中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式求出四指板的高度，再计算 ，然后利用二倍角的正切即可求解.
【详解】设等差数列为 ，则 厘米， 厘米，所以公差 ，所以
厘米，
则 ，则 ．
故选：A
2．随着工业自动化和计算机技术的发展，中国机器人进入大量生产和实际应用阶段，下图为2022年中国
服务机器人各行业渗透率调查情况.根据该图，下列结论错误的是（ ）
A．物流仓储业是目前服务行业中服务机器人已应用占比最高的行业
B．教育业目前在大力筹备应用服务机器人
C．未计划使用服务机器人占比最高的是政务服务业
D．图中八大服务业中服务机器人已应用占比的中位数是33.3%
【答案】D
【分析】对ABC，分别由图观察已应用、筹备中、未计划占比最高的服务行业，即可判断；
对D，由中位数定义即可求.
【详解】对A，由图易知，物流仓储业在目前服务行业中服务机器人已应用占比最高，A对；
对B，由图易知，教育业在目前服务行业中服务机器人筹备中占比最高，B对；
对C，由图易知，政务服务业在目前服务行业中服务机器人未计划占比最高，C对；
对D，由图易知，八大服务业中服务机器人已应用占比已经排好序，故中位数是 ，
D错.
故选：D
3．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照
射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构
简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛
物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为 ，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值 称为抛物面天线
的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角 满足， ，
则其焦径比为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为： ， ， ，代入抛物线方
程可得 ，根据 ，解得 与 的关系，即可得出 ．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为： ， ，
，代入抛物线方程可得： ，解得 ，
由于 ，得 或 （舍）又 ，化为： ，
解得 或 （舍）
.
故选：C.
4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距
的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l
等于表高h与太阳天顶距 正切值的乘积，即 ．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳
天顶距分别为 ，且 ，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是
“表高”的（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得 ，再利用和角的正切公式计算作答.
【详解】依题意， ，则 ，
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.
故选：B
5．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪
称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思
想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有
这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到
大的顺序排成一列，构成数列 ，那么此数列的项数为（ ）A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】D
【分析】由 ， ， 变形得到 的通项公式，从而得到不等式组，求出此数
列的项数.
【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……，
故 ， ，
被5除余3的数为3，8，13……，故 ， ，
被7除余1的数为1，8，15……，故 ， ，
由 ， ， ，
故 ， ，
令 ，解得： ，
因为 ，所以 ，故此数列的项数为20.
故选：D
二、填空题
6．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设 ，
， ， ，则 ，当且仅当 时，等号成立．根据权方和不等式，函数
的最小值为______．
【答案】8
【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.【详解】因为 ， ， ， ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
又 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为8.
故答案为：8.
三、解答题
7．均值不等式 可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，
具体为： .
(1)证明不等式 .
(2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中 指的是两个正数的平方平均数
不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算
数平均数，并尝试用分析法证明猜想.（ 个数的平方平均数为 ）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析【分析】（1）由基本不等式得出 ，从而证明 ；
（2）要证 ，即证 ，结合基本不
等式证明即可.
【详解】（1）由题意可知， ，则
（当且仅当 时，取等号）
（2）要证 .
只要证 .
即证 .
（当且仅当 时，取等号）
即 （当且仅当 时，取等号）
.
证毕.
8．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或
者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 ，
，则曼哈顿距离为： ，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据公式直接计算即可.
（2）根据公式得到 ， ，计算得到答案.
【详解】（1） ，
，故余弦距离等于 ；
（2）
；故 ， ，则 .
