文档内容
专题 4-1 三角函数中的高频小题归类
目录
专题4-1三角函数中的高频小题归类.............................................................................................1
..................................................................................1
题型一：与扇形有关的数学文化.....................................................................................................1
题型二：同角三角函数.....................................................................................................................8
题型三：三角函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性问题..................................................12
题型四：根据三角函数图象求解析式...........................................................................................20
题型五：拼凑角问题.......................................................................................................................31
题型六：三角函数中的值域问题...................................................................................................35
题型七：三角函数中 问题..........................................................................................................41
题型八：三角函数的实际应用.......................................................................................................47
.............................................................57
一、单选题.......................................................................................................................................57
二、多选题.......................................................................................................................................63
三、填空题.......................................................................................................................................68
题型一：与扇形有关的数学文化
【典例分析】
例题1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角
形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为
，则其面积是______．
【答案】
【详解】由条件可知，弧长 ，等边三角形的边长
，则以点A、B、C为圆心，圆弧 所对的扇形面积为
，中间等边 的面积
所以莱洛三角形的面积是 .
故答案为：
例题2．（2022·广东·铁一中学高三期末）某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在
庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为 ， ， (单
位： )，则三个圆之间空隙部分的面积为______ .【答案】
【详解】如图， 的半径为 cm, 的半径为 cm, 的半径为
cm,
, ,
, ,
又 ,可得 ,
，
中的小扇形的面积为 ，
中的小扇形的面积为 ，
中的小扇形的面积为 ，
则三个圆之间空隙部分的面积为
故答案为：【提分秘籍】
扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：
l=|α|r
(α是圆心角的弧度数)，
1 1
扇形面积公式：
S= l r= |α|r2
.
2 2
【变式演练】
1．（2022·江西·南昌市第八中学高三阶段练习（理））王之涣《登鹳雀楼》：白日依山
尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼､诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了
“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷
千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径 ，如图，设O为地球球心，
人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高 计
算，“欲穷千里目”即弧 的长度为 ，则需要登上楼的层数约为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．1 B．20 C．600 D．6000
【答案】D
【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置， 的长度为
.
令 ，则 .
∵ ， ， .∴ ，
又 .
所以按每层楼高 计算，需要登上6000层楼.
故选：D.
2．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））中国古
代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面
均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲
池”，其高为3， 底面，底面扇环所对的圆心角为 ， 长度为 长度的3倍，
且线段 ，则该“曲池”的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 对应半径为R， 对应半径为r，根据弧长公式可知 ，
，
因为两个扇环相同， 长度为 长度的3倍，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以曲池体积为 .故选：D
3．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为
“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉
边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是 的外接圆和以 为直径的圆的一部分，若
，南北距离 的长大约 m，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据：
）
A．572m2 B．1448m2 C． m2 D．2028m2
【答案】D
【详解】设 的外接圆的半径为 ，则 ，得 ，
因为月牙内弧所对的圆心角为 ，
所以内弧的弧长 ，
所以弓形 的面积为
，
以 为直径的半圆的面积为 ，
所以该月牙泉的面积为
，故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）鲁洛克斯三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其
边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形，如图①.鲁洛克斯三角形的特点是：
在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径 （等于正三角形的边长）的
两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触.由于这个性质，机械加工中把钻头
的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出圆角正方形（视为正方形）的孔
来.图②是鲁洛克斯三角形钻头（阴影部分）与它钻出的圆角正方形孔洞的横截面，现有一
个质点飞向圆角正方形孔洞，则其恰好被钻头遮挡住，没有穿过孔洞的概率为_________.
【答案】
【详解】解：设正方形的边长为 ，鲁洛克斯三角形由三个弓形与正三角形组成，
其面积为 ，
故所求概率 .
故答案为：
题型二：同角三角函数
【典例分析】
例题1．（2022·江苏无锡·高三期中）已知 ， ，则
的值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以
所以， ，
， ，
所以，
.
故选：A．
例题2．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若 ，
则 ______．
【答案】
【详解】 ，则 ，则 ，
.故答案为： .
例题3．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）（1）已知 ，求 和
的值；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1） 或 ；（2）
【详解】（1）由同角三角函数的商式关系，则 ，即 ，
由同角三角函数的平方关系，则 ，即 ，解得
，
由 ，可得 ，
即可得 或 .
（2）由 ，则 ，即 ，
.【提分秘籍】
同角三角函数的基本关系
1、平方关系：
2、商数关系: （ ， ）关系式的常用等价变形
1、
2、
【变式演练】
1．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（理））已知 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，由 ，得 ， ，所以
，即 ，
联立 ，解得 ， ，
所以 .
故选：D.
2．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）已知 ，
且 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，
两式相加得， ，所以可得 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，可得 .
故选：B
3．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）若 ，则
________.
【答案】
【详解】 ， ，
.
故答案为： .
4．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）已知 ，则
_______．【答案】 ##
【详解】将 两边平方，得 ，即
，因为 ，所以 ，所以 ，故
．
故答案为： .
题型三：三角函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性问题
【典例分析】
例题1．（多选）（2022·重庆市永川中学校高一阶段练习）已知函数
的图象关于直线 对称，则（ ）
A．由 可得 是 的整数倍
B．函数 为偶函数
C．函数 在 上为减函数
D．函数 在区间 上有19个零点
【答案】BC
【详解】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，可得 ，
又 ，所以 ，所以 ．
对于 ，当 ， 时， ，但 不是 的整数倍，故
错误；
对于 ， 是偶函数，故 正确；
对于 ，当 时， ，由正弦函数性质知它是减函数，故 正确；
对于 ，令 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 共10个，故D错误，
故选： ．
例题2．（多选）（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）设函数
，已知 在 ， 有且仅有4个零点．则下列说法正确的是
（ ）
A． 在 必有有2个极大值点 B． 在 有且仅有2个极小值点
C． 在 上单调递增 D． 的取值范围是
【答案】BD
【详解】解：依题意知 ，
由于 在 ， 有且仅有4个零点，
结合图像及单调性可得
，，故D对；
令 ， ，
有1或2个极大值点，
结合复合函数的单调性知 也有1或2个极大值点，故A错；
同理 有2个极小值点，
所以 有2个极小值点，故B对；
当 时， ，
，
，
递减，
根据复合函数单调性得 递减，故C错；
故选：BD．
例题3．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数
向左平移 个单位后为偶函数，其中 .则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
所以 的图象向左平移 个单位后，得
，
因为此函数为偶函数，
所以 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
故选：D
【提分秘籍】
函数
图象
定义
域
定义
域
值域
周期
性
奇偶 奇函数 偶函数性
单调 在每一个闭区间
在每一个闭区间 (
性
( )上都单调递增;在每一个闭区间
)上都单调递增;在每一个闭区间
( )上都单调递减
( 上都单调
递减
最值
当 ( )时， ;
当 ( )时， ;
当 ( )时，
当 ( )时， ; ;
图象
对称中心为 ( ),
对称中心为 ( ),
的对
称性
对称轴为直线 ( )
对称轴为直线 ( )
【变式演练】
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 ，则“ ＋2kπ，k∈Z”是
“ 为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当 ， 时， ，所以 为奇函数．
当 为奇函数时， ， ．综上，“ ， ”是“ 为奇函数”的充分不必要条件．
故选：A.
2．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）下列函数中，在 上递增，且周期为 的偶
函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A， 是奇函数，故A不符合题意；
对于B， 为偶函数，周期 ，但其在 上单调递减，故B不符合题
意；
对于C， 是奇函数，故C不符合题意；
对于D， 是偶函数，周期 ，在 单调递增，故D符合题意.
故选：D
3．（多选）（2022·江苏省镇江第一中学高三阶段练习）已知函数 ，
则下列各选项正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 上单调递减
D．函数 在 上恰有4个极值点
【答案】ABD【详解】A选项：令 ，整理得 ，令 得
，所以 是 的一条对称轴，故A正确；
B选项：令 ，整理得 ，令 得 ，所以
是 一个对称中心，故B正确；
C选项：当 时， ，因为 在 上单调递
增，所以 在 时单调递增，故C错；
D选项：当 时， ，根据正弦函数的图象可得 在
上有4个极值点，所以 在 上恰有4个极值点，故D正确.
故选：ABD.
4．（多选）（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）已知函数
，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有( )
A．对任意的 ，都有
B．将函数 的图象向左平移 个单位，可以得到偶函数
C．函数 在区间 上是减函数
D．“函数 取得最大值”的一个充分条件是“ ”
【答案】BCD
【详解】，
当 时， ，所以不关于 对称，故A错误；
函数 图象向左平移 个单位，得函数
，是偶函数，故B正确；
当 ，则 ，函数 单调递减，故C正确；
当 时， ，所以 ，函数取得最大值，故D正确.
故选：BCD
5．（多选）（2022·黑龙江·鸡西市英桥高级中学高三期中）已知 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 的周期是 B．函数 关于 对称
C．向左平移 关于原点对称 D． 在 单调递增
【答案】ABC
【详解】
对于A选项，最小正周期为 ，故A正确.
对于B选项，设 对称轴为 ，则有 .
得 ，当 时， .故B正确.对于C选项， 向左平移 后为 .其对
称中心为 .
则原点为其对称中心.故C正确.
对于D选项，由 ，
得 单调递增区间为
则 在 内不是单调递增，故D错误.
故选：ABC
题型四：根据三角函数图象求解析式
【典例分析】
例题1．（2022·上海市行知中学高一期末）函数 （其中 ，
）的图像如图所示，为了得到 的图象，则只要将 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】D
【详解】由图像可知， 的最小值为 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，从而 ，
将 代入 ，得 ，故 ，得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
对于A，将 的图象向右平移 个单位长度得到 ，故A
错误；
对于B，将 的图象向右平移 个单位长度得到
，故B错误；
对于C，将 的图象向左平移 个单位长度得到
，故C错误；
对于D，将 的图象向左平移 个单位长度得到
，故D正确.
故选：D.
例题2．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知函数
（ ， ， ）的部分图象如图所示，其中 ， ，
．将函数 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的单调递减区间为（ ）．A． ( ) B． ( )
C． ( ) D． ( )
【答案】D
【详解】由题意得： ，
则 ， ，所以 ，
将 代入 得： ，
即 （ ），则 （ ）．
因为 ，所以 ，故 ．
因为 ，则 ，解得 ，故 .
将函数 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到 ，
再向左平移 个单位长度，得到 ，
令 （ ），解得： （ ）．
所以函数 的单调递减区间为 （ ）,
故选：D．
例题3．（2022·山东日照·高一期末）若函数 部分
图像如图所示，则函数 的图像可由 的图像向左平移___________个单位得
到.【答案】
【详解】由图最高点可知 ,周期 ,所以可得最高点 ,故
,将其代入 ，由于 ，故 ，
所以 ，故可由 的图像向左平移 个单位得到.
故答案为：
例题4．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（文））已知函数
的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单
位长度，得到函数 的图象，则 __________.【答案】1
【详解】由题图可知，周期 ， ，
所以 ，
因为 在 的图象上，
所以 ，所以 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故 .
故答案为：1
【提分秘籍】
必备公式
，（其中 ）；
辅助角公式求 解析式
求法
方法一：代数法 方法二：读图法 表示平衡位置；
表示振幅
求法
方法一：图中读出周期 ，利用 求解；
方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取
舍答案.
求法 方法一：将最高（低）点代入 求解；
方 法 二 ： 若 无 最 高 （ 低 ） 点 ， 可 使 用 其 他 特 殊 点 代 入
求解；但需注意根据具体题意取舍答案.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A． 为偶函数
B． 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C． 图象的对称中心为 ，D． 在区间 上的最小值为
【答案】A
【详解】 ， ， ；
由图象可知： 最小正周期 ， ，
又 ， ，解得： ，
又 ， ， ；
对于A， ，
， 为偶函数，A正确；
对于B， ，B错误；
对于C，令 ，解得： ，
的对称中心为 ，C错误；
对于D，当 时， ，
当 ，即 时， ，D错误.
故选：A.
2．（2022·四川·石室中学高三期中（文））已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）A．直线 是函数 的图象的一条对称轴
B．函数 的图象的对称中心为 ，
C．函数 在 上单调递增
D．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
【答案】B
【详解】由函数图象可知， ，最小正周期为 ，所以 .将
点 代入函数解析式中，得 .又因为 ，所以 ，故
.
对于A，令 ， ，即 ， ，令 ，则 ，故
A错误；
对于B，令 ，则 ， ，所以 ， ，
即函数 的图象的对称中心为 ， ，故B正确；
对于C，令 ，解得 ，
因为 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故C错误；
对于D，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到
的图象，该函数不是偶函数，故D错误.
故选： .
3．（2022·贵州·凯里一中高二期中）已知函数 （其中 ， ，
）的部分图象如图所示，将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，
再向左平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由图知： 且 ，则 ，故 ，
则 ，
由 ，则 ， ，
所以 ， ，又 ，故 ，
综上， ，
将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍得到 ，再向左平移
个单位得到 ，
故选：B
4．（2022·上海市浦东中学高一期末）函数 （ ）的
部分图象如图所示，若将 图象上的所有点向右平移 个单位得到函数 的图象，则
函数 __．
【答案】
【详解】由函数 图象可知 ， ，
将 代入函数解析式 得 ，
则 ，由于 ，所以 ，
即 ，
将 图象上的所有点向右平移 个单位得到函数 的图象，则 ，
故答案为：
7．（2022·河北·模拟预测（理））已知函数 的部分图
象如图所示，将 的图象向左平移 个单位得到 的图象，若不等式
在 ，上恒成立，则 的取值范围是 __．
【答案】
【详解】解：依题意有 ，
，
所以 ，所以 ，
由图知，函数 的最小正周期 满足： ，
所以 ，则 ，令 得 ，
所以 ，
所以 ，当 时， ，
故 ，所以 ，
令 ，
原不等式即化为 在 ， 上恒成立，
令 ，该二次函数开口向上，要使上式恒成立，只需：
，解得，
故 的范围是 ．
故答案为： ．
题型五：拼凑角问题
【典例分析】
例题1．（2022·辽宁抚顺·高三期中）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为
．
故选：A.
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 .
故选：B.
例题2．（2022·安徽·高三阶段练习）已知 为锐角， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 为锐角，所以
所以 ，
因为 ，所以 ，
.
故选：C.
例题3．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】 ，
故选：B
【提分秘籍】
通过将已知角和未知角进行“ ”，或者“ ”拼凑出特殊角，常用的有：
等
【变式演练】
1．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，则由二倍角公式得
，又因为 ，代入可得
.
故答案为：C2．（2022·重庆·高三阶段练习）已知 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
故选：B
3．（2022·黑龙江·佳木斯一中高三期中）已知 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 ，所以 ，
即 ，
所以 .
故选：A.
4．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二期中（理））若 ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
故选：C.
题型六：三角函数中的值域问题
【典例分析】
例题1．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））函数
的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，函数 ，
令 ，可得 ，
当 ，即 时，函数取得最小值，最小值为 ．
故选：D．
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））函数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，函数 ，
令 ，则 ，当 ，即 时， ，
所以函数 的最小值是 .
故选：D
例题3．（2022·四川·阆中中学高三阶段练习（文））函数 的
值域为___________．
【答案】
【详解】
，
，
当 时， ，故函数 的最小值为 ．
当 时， ，故函数 的最小值为 ．
的值域为 .
故答案为：
例题4．（2022·全国·高一课时练习）函数 ， 的值域是______．
【答案】
【详解】 ，
故答案为：
例题5．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数
的最大值为______.
【答案】
【详解】因为 的定义域为 ，
所以 为偶函数，
当 时，
， ，所以当 时，函数取得最大值 ，
综上可知函数的最大值 ，
故答案为：
【提分秘籍】
三角函数值域问题，注意自变量 的范围，常涉及到换元法，可化为二次函数型等。
【变式演练】
1．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若 ，则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
故 的值域为 ，
故选：A.
2．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校高三阶段练习（文））若函数在区间 上的最大值是 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【详解】函数
由 ,得 ,所以 时,
函数在区间 上取得最大值 ,解得
故选:
3．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）若关于 的方程 有解，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】关于 的方程 有解,即 有解，
令 ，则 ，
由于 ，故当 时， 取得最大值 ；
当 时， 取得最小值 ，
即 ，故 ，
故选：B.4．（2022·北京师大附中高三阶段练习）函数 是（ ）
A．奇函数，且最大值为 B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】B
【详解】函数 的定义域为 ， ，
故函数 为偶函数，
因为 ，则 ，
所以， ， .
故选：B.
5．（2022·辽宁实验中学高一期中）函数 的最大值为
______．
【答案】2
【详解】解： ，其中 ， ，
.
∵ ， ，
∴ ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∵
∴当 时， 取得最大值 ．故答案为：
6．（2022·全国·高一课时练习）函数 ， 的值域是
_____________．
【答案】
【详解】由题意，根据正弦函数和正切函数的性质，可得函数 与 在区间
上都是增函数，所以函数 在区间 上是增函数，
所以 ，
，
所以函数 的值域为 ．
题型七：三角函数中 问题
【典例分析】
例题1．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（理））把函数 的
图象向左平移 个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐
标不变，得到函数 的图象．若函数 在 上恰有3个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 的图象向左平移 个单位，得到函数，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 ，
， ，若函数 在 上恰有3个零点，则
，解得： .
故选：B
例题2．（2022·四川南充·高三期中（文））将函数 的图像向
右平移 个单位，得到函数 的图像，若 在 上为增函数，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 向右平移 个单位，得到函数 ，
所以 ，
令 ，则 在 上单调递增，
因为 在 上为增函数，故由 ， ，得 ，即 ，
所以 在 上为增函数，故 ，即，解得 ，
故 ，因为 ，所以 ，
所以由 得 ，故 ，
所以 ，即
故选：B.
例题3．（2022·全国·高一专题练习）若将函数 的图象向右平移
个单位长度后，与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】函数 的图象向右平移 个单位得
，
依题意， ， ，解得 ，而 ，有 ， ，
所以 的最小值为2．
故选：C
【提分秘籍】
求 题型多为难题，规律不明显，大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点(最高
点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出 值或者范
围。
【变式演练】1．（2022·湖北·高三阶段练习）将函数 的图象上所
有的点，横坐标扩大为原来的2倍纵坐标保持不变得 的图象，若 在 上
单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
，
当 时， ，
又 在 上单调递减，
，
解得： ，
当 时，满足题意，即 .
故选：B.
2．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知函数 ，将 的图
象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，点 、 、 是 与 图象的连续相邻的三个交点，若 是锐角三角形，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得 ，
作出函数 、 的图象如下图所示：
设 、 、 为连续相邻的三个交点，（不妨设 在 轴下方）， 为 的中点，
由对称性可得 是以 为顶角的等腰三角形，所以 ，
由 ，
整理得 ，所以 ，
则 ，所以， ，
则 ，所以 ，
要使 为锐角三角形， ，所以， ，，解得 .
故选：D.
3．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二阶段练习）已知函数
， 图象上每一点横坐标伸长到原来的2倍，得到 的
图象， 的部分图象如图所示，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由三角函数图象的对称性，可知 ，
由 ，
可得 ，又 ，所以 ，
由图象最高点的纵坐标为 ，可知 ，
所以 的周期为12，则 的周期为6，则 ，
故选：B．
4．（2022·辽宁·大连市一0三中学高一期中）将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 在区间 上单调递增，则
的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：将函数 的图象向左平移 个单位，
得到函数 ，
因为 ，所以 ，
又因为函数 在区间 上单调递增，
所以 ，解得，
所以 的值可能为 ，
故选：B
题型八：三角函数的实际应用
【典例分析】
例题1．（2022·广东广州·高三期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项
古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 的水车，一个水斗
从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过 秒后，水
斗旋转到 点，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足
，则 的表达式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因点 在水车上，所以 .
由题可知 的最小正周期为8，则 ，又 ，则 .
因 ，则 ，又 ，故 .
综上： .
故选：D
例题2．（2022·全国·高三专题练习）某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测
上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连
续下跌，现有三种价格模拟函数：① ；② ；③
（以上三式中 均为常数．）
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
(2)若 ，求出所选函数 的解析式（注：函数的定义域是 ，其
中 表示1月份， 表示2月份，⋯⋯，以此类推），为保证果农的收益，打算在
价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？
【答案】(1)选择③，理由见解析；(2)应在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略．
【详解】（1）应选 ，
∵① 是单调函数且不具有先升后降再升的特点，
② 同样不具有先升后降再升的特点，
③ 有多个单调递增区间和减区间，具有先升后降再升的特点；
（2）由 ，
，
所以解得： ；
所以
所以
当 时，需采用外销策略，则此时 ，
即 ，又 ，
由 函数得在 内， ，
得 或 ，
即 或 ，
即 或 ，
又 表示1月份，故应在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略．
例题3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（理））海水受日月的引力，在
一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮
时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关
系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深 与时间 之间的关系，该
函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的
距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船
可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．
时刻 水深m 时刻 水深m 时刻 水深m
0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0
3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5
6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
【答案】 4
【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.
设该函数表达式为 ，
由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟，
所以 ，
， ，
则该函数的表达式为： .
由题可知，水深为 米以上时安全，令 ，
解得 ，
即安全时间为 分钟，约4小时.
故答案为： ；4.
【提分秘籍】
利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出
已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立
关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而
实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
【变式演练】
1．（2022·湖北·高三阶段练习）一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋
转一周.它的最低点 离地面2m，风车翼片的一个端点 从 开始按逆时针方向旋转，点
离地面距离 与时间 之间的函数关系式是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原
点，建立坐标系，如图，
依题意，设函数解析式为 ，
显然 ，则 ， ，
函数 的周期 ，则 ，因当 时， ，即有 ，则
，
于是得 ，
所以点 离地面距离 与时间 之间的函数关系式是 .
故选：C
2．（2022·北京密云·高三期中）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中
轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径 米，总高约 米，匀速旋转一周时间
为 分钟，配有 个球形全透视 度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天
轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学
通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差 分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【详解】因为角速度为 ，
所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，
由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
，
因为 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，即他们所在的高度之和的最大值约为 ，
故选：C
3．（2022·江苏无锡·高三期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天
轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度
为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮
按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后
距离地面的高度为H m，转一周需要30min．
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高
度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．
【答案】(1) ， .
(2)
【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的
直线为x轴建立直角坐标系，
设 时，游客甲位于点 ，以OP为终边的角为 ；
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为 ，由题意可得 ， .
（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则 .
经过 后甲距离地面的高度为 ，
点B相对于点A始终落后 ，
此时乙距离地面的高度为 .
则甲、乙距离地面的高度差 ，
利用 ，
可得 ， .
当 或 ，即 或 （舍去）时，h的最大值为
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为
4．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习）某实验室一天的温度（单位：℃）随时
间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： ．
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．
【答案】(1)10℃；
(2)4℃．
（1）
.
故实验室上午8时的温度为10℃．
（2）
，
因为 ，所以 ， ．
当 时， ；当 时， ，
故 ，于是 在 上取得最大值12，取得最小值8．
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．一、单选题
1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）函数 的图象如图所示，
则以下结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．在 上的零点之和为
D．最大值点到相邻的最小值点的距离为
【答案】D
【详解】 ，
，
所以选项A正确；
恒成立，所以选项B正确；，则 ，则
时 时， 时， ，
所以选项C正确；
最大值点到相邻得最小值点的距离为 所以选项D错误.
故选：D.
2．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）若函数 在 恰
好存在两个零点和两个极值点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设 ，
对于 的图象要满足题意则需 ，
解得 .
故选：B.
3．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知 ，满足 ，若函
数 在区间 上有且只有两个零点，则 的范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】依题意： ，
关于 对称，则有 ，
， ，
不妨设 ，则 ，
，
，
当 在 有且仅有两个零点，
则 ，∴ .
故选：D.
4．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：C．
5．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知函数 ，若 在 上
的值域是 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，令 ，则 ， ，因为
， ， 的值域为 ，所以
，解得 .
故选：B.
6．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））
在 上有两个零点 ， ，则
（）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】其中 ,不妨设
因为 是 的两个零点,所以
即
结合 的范围知
所以 ,即
所以
故选：D
7．（2022·安徽·高三阶段练习）函数 在 上有
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】解： 得 或
解得 或 或
即 或 或
因为 ，函数 在 上的七个零点依次为：
由于 在 上有 个零点，所以 ，解得 ，
则 的取值范围是 .
故选：B.
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的图象向左平移 （ ）个单
位长度后得到 的导函数 的图象，则 （ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，
而
，
由题意得 ，所以 ,解得 ，
所以 ，
故选：B.
另解：因为 ，所以 ，由题意知 对一切实数 恒成立，所以令 ，
得 ，
故选：B.
二、多选题
9．（2022·广西·高二阶段练习）关于函数 ， ，下列说法正
确的是（ ）
A．一个对称中心为
B．对称轴为
C． 单调区间为 ，
D． 在 内没有零点
【答案】BD
【详解】因为
.
因为 ，所以A项错误；
由 ，可得 ，B项正确；
函数的单调区间分为增区间和减区间，该说法不准确，C项错误；因为， ，所以 ，则 ，
所以 ，即 ，D项正确.
故选：BD.
10．（2022·广东·恩平黄冈实验中学高二阶段练习）函数 在
上单调递增，下列命题正确的有（ ）．
A． 的图像向左平移三个单位得 的图象
B． 的图像有一个对称中心为
C． 是 图像的一条对称轴
D． 在 上单调递减
【答案】BCD
【详解】因 ，则 ．
由题意可知 为 单调递增区间的子集，
即 ，其中
解得 ， ，
由 ， ，得 ，则 ，又 ，所以 ，所以 ．
对于A， 的图像向左平移3个单位，
得 ，故A错误；
对于B，令 ，当 时，
.则 是 图像的一个对称中心.故B正确.
对于C，令 ，当 时，
.则 是 图像的一条对称轴.故C正确.
对于D，由 ，
解得 的单调递减区间为 ，
取 ， 的一个单调递减区间为 ，
因为 ．故D正确．
故选：BCD．
11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数 的最小
正周期为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为 的极小值点
B． 的图象关于 中心对称C． 在 上有且仅有5个零点
D． 的定义域为
【答案】ACD
【详解】解：因为 = ，
又因为 的最小正周期为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
对于A，当 时， ，
取最小值，所以 为 的极小值点，故正确；
对于B，因为 ，
所以 的图象不关于 中心对称，故错误；
对于C，令 ，可得 或
，
解得 或 ，
所以函数 在 上的零点为： ，共5个，故正确；
对于D，因为 的定义域为 ，
即 ，所以 ，
解得 ，
即函数 的定义域为 ，故正确.
故选：ACD.
12．（2022·湖南常德·高三阶段练习）已知函数 的定义域为
，值域为 ，则 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】函数
，
定义域为 ，即 ， ，
又 值域为 ，即 ，
，
在正弦函数 的一个周期内，要满足上式，结合正弦函数性质：
所以 ，，
，
，即 ，
的值不可能为 和 和 ．
故选：BCD
三、填空题
13．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一阶段练习）已知 ，且
，则 ______.
【答案】
【详解】 ，
又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 为负值，
所以 .
故答案为： .
14．（2022·广西贵港·高三阶段练习）已知函数 在区间 上有且仅有3个极值点，给出下列四个结论，正确的序号是_______________.
① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；
④ 在区间 上单调递增.
【答案】②④
【详解】由题意可知 ，要使得函数 在区间 上有且仅有3个
极值点，
只需 ，解得 ，故③错误；
又 ，故 的最小正周期可能是 ，故②正确；
当 ，即 时， 在区间 上有且仅有2个不同的零点，
故①错误；
由 得 ，
由 可知 ，
故 在 上单调递增，即 在区间 上单调递增，故④正确.
故答案为: ②④.
15．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数
，当 时函数 能取得最小值，当 时函数 能取得最大值，且在区间 上单调，则当 取最大值时 的值为__________.
【答案】
【详解】因为当 时，函数 取得最小值，当 时，函数 取得最大值，
所以可得 ，
即 ，解得 ，即 为正偶数，
在 上单调， ，即 ，解得 ，
当 时， ，且当 时， ，由
，可得 ，
此时由 ，即 ，则 在 不单调，不满足题
意；
当 时， ，且当 时， ，由
，解得 ，
此时由 ，即 ，则 在 单
调，满足题意；
故 的最大值为 ，此时 的值为 .
故答案为： .
16．（2022·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末）我们知道函数的性质中，以下两
个结论是正确的：(1)偶函数 在区间 上的取值范围与在区间 上的取值范围是相同的；(2)周期函数 在一个周期内的取值范围也就是 在定义域上的值
域．由此可求函数 的值域为_______．
【答案】
【详解】因为 ，
所以 是偶函数，
又因为 ，
所以 是 的一个周期，
所以当 时， ，
因为 ，所以 ，
由结论（1）可得 在区间 上的取值范围也为 ，
即 在区间 上的取值范围为 ，
又由结论（2）可得 在定义域上的值域为 ，
故答案为：
17．（2022·广西·灵川县潭下中学高三阶段练习（理））将函数 的图
象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数 在
上有且只有3个零点，则 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由已知得 ，，
令 ，则 ，
所以 在 上有且只有三个根，
分别为 ， ， ，接下来第四个根为
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：
18．（2022·上海市嘉定区中光高级中学高三期中）已知 则函数
的最大值为______________.
【答案】
【详解】 ，
,
令 ,因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,对称轴 ,
所以 在 单调递增,
所以当 时， ,
即当 , 时， 有最大值 .
故答案为: .
