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2025二轮复习专项训练13
三角函数的图象与性质
[考情分析] 高考必考内容，重点考查三角函数的图象与性质及三角函数图象变换的正用、
逆用，多以选择题和填空题的形式考查，也在解答题中出现，难度中等．
【练前疑难讲解】
一、三角函数的图象及变换
图象变换
(先平移后伸缩)
y＝sin x―――――――――→
y＝sin(x＋φ) ――――――――――――→
y＝sin(ωx＋φ)―――――――――――→
y＝Asin(ωx＋φ)．
(先伸缩后平移)
y＝sin x――――――――――――→
y＝sin ωx――――――――→
y＝sin(ωx＋φ)―――――――――――→
y＝Asin(ωx＋φ)．
二、三角函数的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：五点法、特殊点法．
三、三角函数的性质
三角函数的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移
学科网（北京）股份有限公司个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·云南曲靖·一模）函数 （其中 ， ， ）的部
分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数 的最小正周期是
C．函数 的图象关于直线 对称
D．将函数 的图象向左平移 个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称
4．（2023·广东肇庆·二模）函数 的部分图像如图
所示， ，则下列选项中正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 的最小正周期为
B． 是奇函数
C． 的单调递增区间为
D． ，其中 为 的导函数
三、填空题
5．（2023·内蒙古包头·一模）记函数 的最小正周期为
T．若 为 的极小值点，则 的最小值为 ．
6．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，若
且 ，则 的取值范围为 .
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 ．若
在区间 内没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司2．（2024·北京·高考真题）设函数 .已知 ， ，且
的最小值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·山西·一模）定义在 上的函数 满足在区间
内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．将 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称
C． 图象的一个对称中心为
D． 在区间 上单调递增
4．（2023·四川乐山·二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并
不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的
函数解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在长方形 中， ， ，从 上的一
学科网（北京）股份有限公司点 发出的一束光沿着与 夹角为 的方向射到 上的 点后，依次反射到 、
上的 、 点，最后回到 点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川·模拟预测）函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·新疆·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难
入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研
究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标
中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
9．（2023·河南新乡·二模）已知函数 在 上存在零点，
且在 上单调，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一下·河南·阶段练习）将函数 的图象向右平移 个
单位长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．7 B．5 C．9 D．11
二、多选题
11．（2021·河北沧州·二模）若关于 的方程 在区间 上有
且只有一个解，则 的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1
12．（2023·湖南郴州·一模）已知函数 向左平移 个单位长度，
学科网（北京）股份有限公司得到函数 的图像，若 是偶函数，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．点 是 图像的一个对称中心
C． 在 的值域为
D．函数 在 上单调递增
13．（2023·山西临汾·一模）已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的图象关于点 中心对称
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减
D．将 的图象向左平移 个单位，可以得到 的图象
14．（2024·广西·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度，
再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，得到函数 的图象，
则关于 的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．偶函数
C．在 上单调递减 D．关于 中心对称
学科网（北京）股份有限公司15．（2021·福建·模拟预测）如图所示，函数 ， 的部分图象
与坐标轴分别交于点 ， ， ，且 的面积为 ，以下结论正确的是（ ）
A．点 的纵坐标为
B． 是 的一个单调递增区间
C．对任意 ，点 都是 图象的对称中心
D． 的图象可由 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，
再把得到的图象向左平移 个单位得到
16．（23-24高三上·重庆·期末）下列函数中，其图象关于点 对称的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
17．（2023·北京海淀·一模）已知函数 ．若 在区间
上单调递减，则 的一个取值可以为 ．
18．（22-23高三下·上海松江·阶段练习）已知函数 ，则函数
学科网（北京）股份有限公司的最小正周期是 ．
19．（2022·上海静安·一模）函数 ，当y取最大值时，x的取值
集合是 ．
20．（2023·上海虹口·一模）设函数 （其中 , ）,若函数
图象的对称轴 与其对称中心的最小距离为 ,则 ．
21．（2023·四川达州·一模）已知函数 ，则 的值为
.
22．（2022·江西·模拟预测）函数 的最大值为 ．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·一模）已知函数 的部分图象如图所示，其中
.在已知 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北·模拟预测）已知函数 （ ）在 上有三个
零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
3．（2023·江苏南通·二模）记函数 的最小正周期为T．若
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知函数 的最小正周期为
，则 在区间 上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2023·江西赣州·一模）已知函数 的最小正周期为 ，
，且 的图像关于点 中心对称，若将 的图像向右平移
个单位长度后图像关于 轴对称，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川绵阳·二模）已知直线 的方程为 ， ，则直线 的倾
斜角范围是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
7．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 在区间 上单调递增
C． 图象的一个对称中心为 D． 的最小正周期为π
8．（2023·河北唐山·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的一个
周期为2，则（ ）
A．1为 的周期 B． 的图象关于点 对称
C． D． 的图象关于直线 对称
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
学科网（北京）股份有限公司D．将 的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在 上单调递增
10．（2023·河北衡水·一模）已知 ，周期
是 的对称中心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2023·全国·三模）已知函数 的定义域均为 ， 为偶函数，
，且当 时， ，则（ ）
A． 的图象关于点对称
B．
C．
D．方程 在区间 上的所有实根之和为144
12．（2024·江苏·模拟预测）设函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 在 上单调递增
C． 的最小值为 D． 在 上有 个零点
13．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）将函数 的图象向左平移 个单
位得到函数 ，则下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 的周期为 B． 的一条对称轴为
C． 是奇函数 D． 在区间 上单调递增
14．（2023·山东威海·一模）已知函数 的部分图像如图
所示，则（ ）
A． B．
C． 在 上单调递增 D．若 为偶函数，则
15．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）下列函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单
调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
16．（2023·陕西宝鸡·二模）如图是函数 的部分图像，则
的单调递增区间为 ．
学科网（北京）股份有限公司17．（2024·湖北·二模）已知函数 满足 恒成立，
且在区间 上无最小值，则 ．
18．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数 （ ， ）在区间
内单调，在区间 内不单调，则ω的值为 ．
19．（2024·北京·三模）已知函数 ，若 是偶函数，
则 ；若圆面 恰好覆盖 图象的最高点或最低点共3个，则 的
取值范围是 .
20．（2021·甘肃兰州·模拟预测）函数 ， 的值域是
．
学科网（北京）股份有限公司
