文档内容
☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 6 讲 三角函数
单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余
弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识
相结合．
三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、
周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下．
题型一、三角恒等变换
考点1.同角之间的关系、诱导公式
1．已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点 P（2，1），则
α
π
tan(2α+ )=（ ）
4
1 1
A．﹣7 B．− C． D．7
7 7
2．已知sin +cos ＝1，cos +sin ＝0，则sin（ + ）＝ ．
α3 β α β α β
3．若tan = ，则cos2 +2sin2 ＝（ ）
4
α α α
64 48 16
A． B． C．1 D．
25 25 25
π 3 π
4．已知 是第四象限角，且sin（ + ）= ，则tan（ − ）＝ ．
4 5 4
θ θ θ
考点2.两角和与差角公式、二倍角公式、辅助角公式
sinα+2cosα
→ → → →
1．已知向量 （1，sin ）， （2，cos ），且 ∥ ，计算： ＝ ．
a= b= a b
cosα−3sinα
α α
2 2
2．已知sinx﹣siny=− ，cosx﹣cosy= 且x，y为锐角，则tan（x﹣y）＝ ．
3 3π π
3．已知sin +sin（ + ）＝1，则sin（ + ）＝（ ）
3 6
θ θ θ
1 √3 2 √2
A． B． C． D．
2 3 3 2
π 2 π
4．已知 （ ， ），并且sin +2cos = ，则tan（ + ）＝（ ）
2 5 4
α∈ π α α α
17 31 1
A．− B．− C．− D．﹣7
31 17 7
π β √3 α 1
5．若α，β∈(0， )，cos(α− )= ，sin( −β)=− ，则cos（ + ）的值等于（ ）
2 2 2 2 2
α β
√3 1 1 √3
A．− B．− C． D．
2 2 2 2
1 1
6．已知tan（ ﹣ ）= ，tanβ=− ，且 ， （0， ），则2 ﹣ ＝（ ）
2 7
α β α β∈ π α β
π π 5π
A． B． ，
4 4 4
3π π 5π 3π
C．− D． ， ，−
4 4 4 4
π
7．已知α∈(0， )，2sin2 ﹣cos2 ＝1，则cos ＝（ ）
2
α α α
1 √5 3 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
α
8．若 （0， ），且sin ﹣2cos ＝2，则tan 等于（ ）
2
α∈ π α α
1 1
A．3 B．2 C． D．
2 3
考点3.三角恒等变换综合
1．若sin ＝3sin（2 ﹣ ），则2tan（ ﹣ ）+tan 的值为 ．
β α β α β4 α π 3π
2．已知2+5cos2 ＝cos ，cos（{2 + }）= ， （0， ）， （ ，2 ），则cos 的值为（ ）
5 2 2
α α α β α∈ β∈ π β
4 44 44 4
A．− B． C．− D．
5 125 125 5
3．若 ，则（ ）A． B．
C． D．
4．若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．已 ，且 则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知角 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
题型二、三角函数的图像
考点1.伸缩变换
π
1．要得到函数y＝3sin（2x+ ）的图象，只需要将函数y＝3cos2x的图象（ ）
3
π
A．向右平行移动 个单位
12
π
B．向左平行移动 个单位
12
π
C．向右平行移动 个单位
6
π
D．向左平行移动 个单位
6
2π
2．已知曲线C ：y＝cosx，C ：y＝sin（2x+ ），则下面结论正确的是（ ）
1 2
3π
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
6
到曲线C
2
π
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得
1
12
到曲线C
2
1 π
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
1
2 6
曲线C
2
1 π
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到
1
2 12
曲线C
2
3．已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0，| |＜ ）是奇函数，且f（x）的最小正周期为 ，将
y＝f（x）的图象上所有ω点的φ横坐标伸长ω到原来的φ2倍π（纵坐标不变），所得图象对应的函数π为 g
π 3π
（x）．若g（ ）=√2，则f（ ）＝（ ）
4 8
A．﹣2 B．−√2 C．√2 D．2
π π
4．函数y＝cos（2x+ ）（﹣ ≤ ＜ ）的图象向右平移 个单位后，与函数y＝sin（2x+ ）的图象重合，
2 3
φ π φ π
则 ＝ ．
φ π π
5．若y＝|3sin（ x+ ）+2|的图象向右平移 个单位后与自身重合，且y＝tan x的一个对称中心为（
12 6
ω ω
π
，0），则 的最小正值为 ．
48
ω
π
6．将函数f（x）＝3sin2x的图象向右平移 （0＜ ＜ ）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f
2
φ φ
π
（x ）﹣g（x ）|＝6的x ，x ，有|x ﹣x | = ，则 ＝（ ）
1 2 1 2 1 2 min
6
φ
5π π π π
A． B． C． D．
12 3 4 6
考点2.求解析式
π 5π
1．图是函数y＝Asin（ x+ ）（x R）在区间[− ， ]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y
6 6
ω φ ∈＝sinx（x R）的图象上所有的点（ ）
∈
π 1
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
3 2
π
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3
π 1
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
6 2
π
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6
π
2．已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）（其中A， ， 为常数，且A＞0， ＞0，|φ|＜ ）的部分图象如
2
ω φ ω φ ω
3 π
图所示，若f(α)= ，则sin(2α+ )的值为（ ）
2 6
3 1 1 1
A．− B．− C． D．
4 8 8 3
π π
3．已知函数f(x)=Asin( x+ϕ)，x∈R，A＞0，0＜ϕ＜ ．y＝f（x）的部分图象如图所示，
3 2
2π
P，Q分别为该图象的最高点和最低点，PR垂直x轴于点R，R的坐标为（1，0），若∠PRQ= ，则f
3
（0）＝（ ）1 √3 √3 √2
A． B． C． D．
2 2 4 4
π
4．已知函数f（x）＝Atan（ x+ ）（ ＞0，| |＜ ）的部分图象如图所示，下列关于函数 g（x）＝
2
ω φ ω φ
Acos（ x+ ）（x R）的表述正确的是（ ）
ω φ ∈
π
A．函数g（x）的图象关于点（ ，0）对称
4
π 3π
B．函数g（x）在[− ， ]递减
8 8
π
C．函数g（x）的图象关于直线x= 对称
8
π
D．函数h（x）＝cos2x的图象上所有点向左平移 个单位得到函数g（x）的图象
4
题型三、三角函数的最值、取值范围
1 π π
1．函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x− ）的最大值为（ ）
5 3 6
6 3 1
A． B．1 C． D．
5 5 5
2．已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
π π π π π
3．已知函数f（x）＝2sin2（ +x）−√3cos2x，x [ ， ]．若不等式|f（x）﹣m|＜2在x [ ， ]上恒成
4 4 2 4 2
∈ ∈
立，则实数m的取值范围为 ．4．已知函数 ，下列说法错误的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是周期为π的函数
C． 在区间 上单调递减 D． 的最大值为
题型四、三角函数的性质
考点1.三角函数的单调性
π
1．函数y=sin(−2x+ )的单调递减区间为 ．
3
π π
2．已知 ＞0，函数 f（x）＝sin（ x+ ）在区间（ ， ）上单调递减，则实数 的取值范围是
4 2
ω ω π ω
（ ）
1 5 1 3 1
A．[ ， ] B．[ ， ] C．(0， ] D．（0，2]
2 4 2 4 2
ωx ωx π 2π
3．已知函数f（x）＝4sin •cos （ ＞0）在区间[− ， ]上是增函数，且在区间[0， ]上恰好取
2 2 2 3
ω π
得一次最大值，则 的取值范围为（ ）
ω 3 1 3
A．（0，1] B．（0， ] C．[ ， ] D．[1，+∞）
4 2 4
考点2.三角函数的奇偶性
1．已知f（x）＝sin（x+ ）+cos（x+ ）为奇函数，则 的一个取值是（ ）
π φ π φ π φ π
A． B．− C． D．−
2 2 4 4
π
2．已知f（x）＝3sin2x+acos2x，其中a为常数．f（x）的图象关于直线x= 对称，则f（x）在以下区间上
6
是单调函数的是（ ）
3 1 7 1 1 1 1
A．[− ，− ] B．[− ，− ] C．[− ， ] D．[0， ]
5 6 12 3 6 3 2
π π π π π π π
3．已知函数f（x）＝sin x+cos x（ ＞0），x R，若函数f（x）在区间（﹣ ， ）内单调递增，且函数
y＝f（x）的图象关于直ω线x＝ω 对ω称，则 的∈值为 ． ω ω
ω ω
考点3.三角函数的周期性与对称性π π π
1．已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）在（ ， ）上有最大值，但没有最小值，则 的取值范围
4 12 3
ω ω ω
是
π
2．已知函数f（x）＝2sin（ x+ ）（ ＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则 的取值范围为
4
ω ω ω
（ ）
19π 27π 9π 13π 17π 25π
A．[ ， ） B．[ ， ） C．[ ， ） D．[4 ，6 ）
4 4 2 2 4 4
π π
π π
3．设函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A， ， 是常数，A＞0， ＞0）若f（x）在区间[ ， ]上具有单调
6 2
ω φ ω φ ω
π 2π π
性，且f（ ）＝f（ ）＝﹣f（ ），则f（x）的最小正周期为 ．
2 3 6
π π π
4．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤ )，x=− 为 y＝f（x）图象的对称轴，x= 为 f
2 4 4
π π
（x）的零点，且f（x）在区间( ， )上单调，则 的最大值为（ ）
12 6
ω
A．13 B．12 C．9 D．5
π π π
5．已知函数f（x）＝sin（ x+ ），其中 ＞0，| |≤ ，− 为f（x）的零点：且f（x）≤|f（ ）|恒
2 4 4
ω φ ω φ
π π
成立，f（x）在区间（− ， ）上有最小值无最大值，则 的最大值是（ ）
12 24
ω
A．11 B．13 C．15 D．17
π
6．已知 ＞0，函数f（x）＝acos2 x﹣4cos x+3a，若对任意给定的a [﹣1，1]，总存在x ，x [0， ]
1 2
2
ω ω ω ∈ ∈
（x ≠x ），使得f（x ）＝f（x ）＝0，则 的最小值为（ ）
1 2 1 2
A．2 B．4 ω C．5 D．6
题型五、三角函数的零点
1 π
1．已知函数f（x）=√3sin xcos x+cos2 x− ，（ ＞0，x R），若函数f（x）在区间（ ，π）内没有
2 2
ω ω ω ω ∈
零点，则 的取值范围（ ）
ω5 5 5 11
A．（0， ] B．（0， ]∪[ ， ]
12 12 6 125 5 11
C．（0， ] D．（0， ]∪[ ，1）
8 6 12
π π √3 π
2．已知函数f（x）＝2sin（ x− ）sin（ x+ ）（ ＞0），若函数g（x）＝f（x）+ 在[0， ]上有
6 3 2 2
ω ω ω
且只有三个零点，则 的取值范围为（ ）
11 ω 11 7 10 7 10
A．[2， ） B．（2， ） C．[ ， ） D．（ ， ）
3 3 3 3 3 3
π π π
3．函数f（x）＝2sin（2x+ ），g（x）＝mcos（2x− ）﹣2m+3＞0，m＞0，对任意x [0， ]，存在
1
3 6 4
∈
π
x [0， ]，使得g（x ）＝f（x ）成立，则实数m的取值范围是 ．
2 1 2
4
∈
4．设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．函数 的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
3．在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．设 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
6．将函数 （ ）的图象向左平移 个单位长度，得到偶函数 的图象，则
（ ）
A． B． C． D．
7．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若直线 是
图象的一条对称轴，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．8．已知函数 ，若 在区间 上的值域是 ，则a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数 在 上存在最值，且在 上单调，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线 与函数 的图象的三个相邻的交点为A，B，
C，且 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
11．将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像，再将 的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 （ ）倍，得到函数 的图像，且 在区间 上恰有两个
极值点、两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．若函数 的最小正周期为π，则 在 上不单调
B．若函数 的最小正周期为π，则直线 是函数 图象的一条对称轴
C．若函数 在 上恰有3个极值点，则
D．若函数 在 上单调，则
13．将函数 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，若 在 上有两个不同的零点 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 ，若函数 的最小正周期为 ，且
对任意的 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
15．已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 的值域为
D．将函数 的图象向右平移 个单位，所得函数为
16．函数 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是
（ ）
A．
B． 的图象向右平移 个单位长度后得到的新函数是偶函数
C． 的图象向右平移 个单位长度后得到的新函数是奇函数
D．若方程 在 上有且只有6个根，则17．已知函数 ，则（ ）
A． 为偶函数
B． 是 的一个单调递增区间
C．
D．当 时，
18．已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于直线 轴对称
B． 的图象关于点 中心对称
C． 的所有零点为
D． 是以 为周期的函数
19．已知函数 ， ， ， ，它们的最小正周期均为 ，
的一个零点为 ，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 的图象关于点 对称
C． 和 在 上均单调递增
D．将 图象向左平移 个单位长度可以得到 的图象20．已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则（ ）
A． 是奇函数
B． ，
C．若 在区间 上有且仅有 条对称轴，则
D．若 在区间 上单调递减，则 或
三、填空题
21．已知函数 ， ，且 ，都有 ，若函数 在
上有且只有一个零点，则 的最大值为 .
22．若 ，则 ．
23．已知函数 （ ）的图象与 的图象的两相邻公共点间的距离为 ，将
的图象向左平移 （ ）个单位长度得到 的图象，则 的最小值为
.
24．已知函数 在 上是增函数，且 ，则 的取值的集
合为 .
25．已知函数 在区间 上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：
① 的值可能是3； ② 的最小正周期可能是 ；③ 在区间 上单调递减； ④ 图象的对称轴可能是 .
其中所有正确结论的序号是 .
