文档内容
解密09讲： 三角函数图像与性质
【考点解密】
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
2．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相
(A>0，ω>0)，x≥0 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
3．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
4．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径【方法技巧】
1．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时
相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或
cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)
的有界性．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最
值)．
2．求三角函数周期的方法
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝；
对形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数， ．
形如y＝|Asin ωx|(或y＝|Acos ωx|)的函数的周期T＝.
(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．
3．三角函数周期性与奇偶性、对称性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公
式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 y＝Asin
ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．
(3)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋
kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx
＋φ＝＋kπ(k∈Z))，求x即可．
(4)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可．4．求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，
先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
5．(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平
移”．
(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．
(3)横向伸缩变换，只变ω，而φ不发生变化.
6．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间
上还是在下降区间上)，或把图象的最高点或最低点代入．
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
【核心题型】
题型一：整体代入法求三角函数的单调区间、对称轴和对称中心
1．（2023春·河北·高二统考学业考试）函数 的单调递增区间为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据辅助角公式,化简三角函数式,结合正弦函数的图像与性质,即可求得其单调递增区间.
【详解】由辅助角公式,化简三角函数式
可得
由正弦函数的图像与性质可知其单调递增区间满足
解得
即单调递增区间为 ,
故选：B
2．（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）函数 的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正切型函数的对称中心为 ，求解即可.
【详解】由 ，可得 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 为 图象的一个对称中心，
故选：D
3．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数 且 ，则函数 的图
象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出 的取值，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
又 ，令 ， ，解得 ， ，
所以函数的对称轴为 ， ， ，
故函数的一条对称轴为 .
故选：A
题型二：代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴和对称中心4．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）将函数 的图象向左平移 个单位长
度，得到函数 的图象，下列说法正确的是（ ）．
A． 为奇函数 B． 在 上单调递减
C． 在 上的值域为 D．点 是 图象的一个对称中心
【答案】D
【分析】由题意利用函数 的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可求解.
【详解】由题知，
，所以A错误；
因为 ， ， 在 上先增后减，所以B错误；
因为 ， ， ，所以C错误；
因为 ，所以点 是 图象的一个对称中心，所以D正确．
故选：D.
5．（2022秋·天津河西·高三天津市海河中学校考期末）已知函数 ，给出以下四个命题：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上的值域为 ；
③ 的图像关于点 中心对称；
④ 的图像关于直线 对称．其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题知 ，进而结合三角函数性质依次讨论各选项即可.
【详解】解：
，
所以 的最小正周期为 ，①正确；
当 ， ，
所以 ，即 ，故②错误；
当 时， ，故 的图像关于 对称，故③错误；
当 时， ，故 的图像关于 对称，故④正确.
故正确命题的个数是2个.
故选：B
6．（多选）（2022秋·山西晋中·高三校联考阶段练习）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 的图像关于 中心对称
C．函数 的对称轴方程为 ，
D．将 的图像向右平移 个单位长度后，可以得到 的图像
【答案】ACD【分析】根据函数的解析式分别应用对称轴,对称中心,单调性及平移逐个判断选项即可.
【详解】对于A: , ,所以函数 在 上单调递减,故A正确;
对于B:令 ,则 ,故函数 的对称中心为 ,故B错误;
对于C: 令 ,则 ,故函数 的对称轴为 ,故C正确;
对于D: 将 的图像向右平移 个单位长度可得 ,故D正确.
故选:ACD.
题型三：图像法求三角函数最值或值域
7．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知函数 ，则 的最
小值是_________.
【答案】
【分析】先将函数 转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数 的最大值和最小值，从
而得出结果．
【详解】解：由题意可得 ，
其中 ， ，且 ．
因为 ,
所以 .
所以 的最小值是 .
故答案为：
8．（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算 例如， ，则函数
的值域为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先阅读理解题意，可得 ，再作出函数 在一个周期内的图象，再由图像观察
值域即可.
【详解】根据题设中的新定义，得 ，
由 可得 ，所以 ，所以 ， ，即
， ，
由 可得 ，所以 ，所以 ， ，即
， ，
所以 ，
当 ， ， ，
当 ， 时， ，
所以函数 为周期函数，周期为 ，
作出函数 在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数 的值域为 ，
故选:D.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】最大值为 +1，最小值为0.
【分析】利用三角函数恒等变换转化为正弦型三角函数，根据自变量取值范围，利用正弦函数图象与性质求最值
即可得解.
【详解】因为 ，
当 时， .
由正弦函数 在 上的图象与性质知，
当 ，即 时，
取最大值 ；
当 ，即 时，
取最小值0.
综上， 在 上的最大值为 ，最小值为0.
题型四：换元法求三角函数最值或值域
10．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．3【答案】C
【分析】利用换元法，令 ，则原函数可化为 ，再根据二次函数的性质可求得其最大值
【详解】 ，
令 ，所以 ，则
，
所以 ，
所以原函数可化为 ， ，
对称轴为 ，
所以当 时， 取得最大值，
所以函数的最大值为 ，
即 的最大值为 ，
故选：C
11．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为________．
【答案】
【分析】令 ，函数化为 ，利用二次函数的性质即可求出.
【详解】由于 ，
令 ，则 ，
于是函数化为 ，而 ，
所以当 时，函数取最大值1，
当 时，函数取最小值 ，故值域为 .
故答案为： .
12．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝cos2x－sin x的值域是__________________
【答案】
【分析】将原函数转换成同名三角函数即可.
【详解】 ，
，当 时取最大值 ，
当 时，取最小值 ；
故答案为： .
题型五：利用三角函数单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数的值
13．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知函数 的两个相邻的对称中心的间距为 ，现
的图象向左平移 个单位后得到一个奇函数，则 的一个可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，进而求出 ，再利用给定变换及奇函数求出 作答.
【详解】由于函数 的两条相邻的对称轴的间距为 ，该函数的最小正周期为π，即有 ，
则 ，将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数 ，而函数 为奇函数，
则 ，当 时， ，D正确，不存在整数k使得选项A，B，C成立.
故选：D
14．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知 ，进而根据题意得 在 上单调递增，且
，进而得 或 ，再解不等式即可得答案.
【详解】解： ，
因为 ，所以
因为函数 在区间 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，且 ，即 .
因为 ，
所以，函数 在 上单调递增等价于 或 ，
所以，解不等式得 或 ，所以， 的取值范围是 .
故选：D
15．（多选）（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数
的最小正周期为 ，函数 图象关于直线 对称，且满足函数 在区间 上单调递减，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由周期为 ，可得 .根据对称轴 以及正弦函数的对称性可得 或 .分别将
或 代入 ，得出范围，根据正弦函数的单调性即可得出 的值.
【详解】由已知函数 的最小正周期为 ，可得 .
又函数 图象关于直线 对称，所以有 ，
所以 ，又 ，所以 或 .
当 时， ，由 可得 ，因为函数 在 上
单调递减，满足题意；
当 时， ，由 可得 ，因为函数 在 上单调递增，
不满足题意.
所以， .
故选：CD.
题型六：五点法求三角函数解析式16．（2020·全国·统考高考真题）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与
轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
17．（2022·山西运城·校联考模拟预测）设函数 （ ， ）的部分图象如图所示.若，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图像可求出函数的解析式 ，由已知结合诱导公式知 ，再利用
二倍角公式可求解.
【详解】由图可知， ，
， ，
， ，
， ， ，
又 ， ，
，故选：A
18．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示，
则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 为偶函数
C． 在区间 内的最小值为1
D． 的图象关于直线 对称
【答案】AC
【分析】由图知， 的最小正周期为 ，结论A正确；
求出 ，从而 不是偶函数，结论B错误；
因为 ， ，则 在区间 内的最小值为1，结论C正确；
因为 为 的零点，不是最值点，结论D错误.【详解】解：由图知， 的最小正周期为 ，结论A正确；
因为 ， ，则 ．因为 为 在 内的最小零点，则 ，得
，所以 ，从而 不是偶函数，结论B错误；
因为 ， ，结合图像可得 在区间 内的最小值为1，结
论C正确；
因为 ，则 为 的零点，不是最值点，结论D错误.
故选：AC．
题型七：三角函数图像的伸缩变换问题
19．（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移 个单位
长度即可得到函数 的图象．
故选：D.20．（2021·全国·统考高考真题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所
得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，即得
，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
21．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 处有最小值，为了得到
的图象，则只要将 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】C
【分析】由题意可得 ，结合 可得 的值，进而可得 的解析式，再由图
象的平移变换即可求解.
【详解】因为函数 在 处有最小值，
所以 ，可得： ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
将 的图象向左平移 个单位长度可得
，
故选：C.
【高考必刷】
一、单选题1．（2023春·安徽安庆·高一安徽省宿松中学校考开学考试）设函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C． 是偶函数
D． 在区间 上单调递增
【答案】C
【分析】对于A，求出函数的对称轴，可知不存在 使得对称轴为直线 ，A错误；
对于B，求出函数的对称中心，可知不存在 使其一个对称中心为 ，B错误；
对于C，由 求出 ，利用诱导公式，结合偶函数的定义，可得C正确；
对于D，当 时，求出整体 的范围，验证 不是单调递增，D错误.
【详解】由 解得 ，
所以函数 的对称轴为 ，
由 解得 ，故A错误；
由 解得 ，
所以函数 的对称中心为 ，由 解得 ，故B错误；
，而 ，
所以 是偶函数，C正确；
令 ，当 时，
即 ，
此时 在 不是单调递增函数，故D错误.
故选：C.
2．（2022·高一课时练习）函数 的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先利用诱导公式将函数化简为 ，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，令 ，解得
，故函数的单调递增区间为
故选：D.
3．（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数 的图像关于 对称，则
函数 的图像的一条对称轴是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由函数 的图像关于 对称，求出 ，再对 化简即可求出.
【详解】函数 变为 ，（令 ）.
因为函数 的图像关于 对称，所以 ,
解得： .
所以 .
所以函数 ，其中 ,
其对称轴方程 ,所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
当 时， 符合题意.
对照四个选项，D正确.
故选：D.
4．（2022秋·河南郑州·高三统考期末）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上
所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，则函数 图象的对称轴可能是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【答案】C【分析】利用辅助角公式将函数 化简，再根据平移变换和周期变换的特征求出函数 的解析式，再根据正
弦函数的对称性即可得出答案.
【详解】解：由题得 ，
将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，
令 ，得 ，
当 时，得函数 图象的一条对称轴为直线 ，
而 ，所以 都不是函数的对称轴.
故选：C.
5．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）函数 的最大值为2，且对任意的
， 恒成立， 在区间 上单调递增，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据函数的最值可得A＝2，根据 恒成立可得 ，由函数的单调性可得 ，进
而求得 ，求出函数解析式，即可求解.
【详解】因为 的最大值为2，所以A＝2，
因为 恒成立，所以当 时，函数 取得最大值，
则 ， ，所以 ， ．当 时， ，
因为 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 ，则 ．
所以 ，
故选：B．
6．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数 ，若 ， ，
的最小正周期 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得 ，解不等式求出 ，再由周期公式求出 ，最后由 可得答案.
【详解】 ， ，则 ， ，
∴ ，解得 ，因为 ，所以 ，
即 ， ，
， ， ，
即 ，又∴ .
故选：D.
7．（2023·甘肃·模拟预测）设函数 的部分图象如图所示，若
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像求出 ，由 得到 ，代入即可求解.
【详解】根据函数 的部分图象，可得：A=1;
因为 ， ，
结合五点法作图可得 ， ， ．
如果 ，且 ，结合 ，可得 ，
， ，
故选：C．
8．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，
将 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿 轴向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的一个单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A的值，由周期求出 的值，由五点法作图求出 的值，可得函数 的
解析式，结合图象的变换规则，可得出 的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求解.
【详解】根据函数 （ ， ， ）的部分图象，可得 ， ，∴
．结合五点法作图可得 ，∴ ， ．
将 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得 的图象．再把所得的图
象沿 轴向左平移 个单位长度，得到函数 的图象．令
，求得 ，可得函数 的单调递增区间为 ，
，令 ，可得一个增区间为 .故选：A.
9．（2020秋·北京·高三北京八中校考期中）已知 , ，直线 ＝ 和 ＝ 是函数
图象的两条相邻的对称轴，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于直线 ＝ 和 ＝ 是函数 图像的两条相邻的对称轴，所以可得 ，从而可
求出 ，又由直线 ＝ 为函数 图象的对称轴，可得 ，从而可求出 的值
【详解】解：因为直线 ＝ 和 ＝ 是函数 图像的两条相邻的对称轴，
所以 ，即
所以 ，解得 ，
所以 ，
因为直线 ＝ 为函数 图象的对称轴，
所以 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以
故选：A
【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用，属于基础题.
10．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）设函数 ，其中 ， ，
若 ， ，则 在 上的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据 的对称中心、零点求得 ，进而求得 ，结合三角函数单调区间的求法求得正确答案.
【详解】据题意可以得出直线 和点 分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以 ，
即 （ ），
所以 ；又由 得 ，
即 （ ），
，所以 ，所以 ；
由 得 的单调减区间为 （ ），
所以 在 上的单调减区间是 .
故选：C
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，点 和点 分别是函数 ( ，
， )图像上的最低点和最高点，若 、 两点间的距离为 ，则关于函数 的说法
正确的是（ ）A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递减 D．在区间 上单调递增
【答案】C
【分析】首先利用二倍角公式将 化简为 ，再由 ， 分别为 的图像上的最低点和
最高点得到 ，再由 ， 两点之间距离为 得 ，从而求得 的值，进而求得 的值，由题
可知 的最小正周期为 ，由此得到 的值，再由 经过点 及 的范围求得 的值，得到函数 的解
析式，进而判断函数 在区间的单调性.
【详解】
如图，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，设两垂线的交点为 ，
连接 ，可知 为直角三角形， ， ，
则 ，易知 ，解得 ， ，
∴ ， ，得 ， ，
∴ ，故 ，
由函数 的图像经过点 可得 ，则 ， ，又 ，则 ，∴ ，
∴ 的单调递增区间为 ，得 ( )，
的单调递减区间为 ，得 ( )，
∴当 时 在区间 上单调递减，故选C.
【点睛】已知 的部分图象求其解析式时， 比较容易看图得出，困难的是求待定
系数 和 ，常用如下两种方法：
(1)由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 ，则令
(或 )，即可求出 .
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和 ，若对 ，
的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
12．（2022秋·湖南怀化·高三校考开学考试）已知函数 的部分图象如图所示，
点 ， ，则下列说法中错误的是（ ）
A．直线 是图象的一条对称轴
B． 的图象可由 向左平移 个单位而得到
C．的最小正周期为
D．在区间 上单调递增【答案】B
【分析】根据五点作图法可得，然后利用正弦函数的性质，代入逐一进行检验即可.
【详解】由函数 部分图象，点 ， 故 ，由于点
在单调递增的区间上， 或 （舍去），
再根据五点法作图可得 ，求得 ，故 ．
对于A,令 ，求得 ，为最大值，故直线 是 图象的一条对称轴，故A正确；
对于B,把 向左平移 个单位，可得 的图象，故B错误；
对于C, 的最小正周期为 ，故C正确；
对于D， ， ，故 单调递增，故D对.
故选：B
13．（2021春·广东东莞·高三东莞市光明中学校考开学考试）函数 的图象如图所
示，为了得到 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度
B．向左平移 个单位长度C．向右平移 个单位长度
D．向左平移 个单位长度
【答案】A
【解析】首先根据函数 的图象得到 ，再根据三角函数的平移变换即可得到答案.
【详解】由题知： ，所以 ，解得 .
，
所以 ， ，解得 ， .
又因为 ，所以 ， .
因为 ，所以只需将 的图象向右平移 个单位长度.
故选：A
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其部分图象如图所示，则
下列关于 的结论错误的是（ ）．
A． 在区间 上单调递增
B． 的图象关于直线 对称C． 的图象关于点 对称
D． 的图象可由函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍得到
【答案】D
【分析】根据已知条件求得 的解析式，再结合三角函数的单调性、对称性、三角函数图象变换等知识确定结
论错误的选项.
【详解】由图可知 ，
，
， ，
由于 ，所以 ，
所以 .
A选项， ，所以 在区间 上单调递增，A选项正确.
B选项， ，B选项正确，
C选项， ，C选项正确.
D选项，函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍得到 ，所以D
选项错误.
故选：D
15．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在 上没有零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据图象变换求出 的解析式，利用周期缩小 的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数 的图象先向右平移 个单位长度，得到 的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 ，周期
，
因为函数 在 上没有零点，所以 ，得 ，得 ，得 ，
假设函数 在 上有零点，
令 ，得 ， ，得 ， ，
则 ，得 ， ，
又 ，所以 或 ，
又函数 在 上有零点，且 ，
所以 或 .
故选：A【点睛】关键点点睛：求出函数 的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.
16．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）若将函数 的图象向右平移 个单位长度后为奇函数，则
的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移公式得出平移后的函数为 ，由该函数为奇函数可得答案.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度后可得
由题意 为奇函数，则
所以 ，
对照分析答案，当 时，
故选：C
17．（2022·全国·高三专题练习）已知把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横
坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 ，若 ， ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简函数 ，然后根据图像的变换得函数 的解析式，通过判断得 ， 同时令 取得最大
值或最小值时， ，再结合函数 的图像，即可求得 的最大值.【详解】
．将图象向右平移至 个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 ，可得 ，
所以 ， ，
∴ ， 同时令 取得最大值或最小值时， ．当 ， 时， ，
根据函数的图象可知 的最大值为 个周期的长度，即
故选：C.
【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂
公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为 的形式.
18．（2021·全国·高三专题练习）把函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数 的图
象，若函数 是偶函数，则下列数中可能是 的值的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平移变换写出变换后函数解析式，再根据诱导公式得出结论．
【详解】由题意 ，它为偶函数，则 ， ，只有 时 满足．
故选：D．
19．（2022春·河南郑州·高三校联考阶段练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若对任意的 均有
成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数g(x)的解析式，对任意的 均有
，说明函数 在 时，取得最小值，得出 的表达式，从而得出正确答案.
【详解】将函数 的图象向右平移 个位长度，得到函数 的图象，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得函数 的图象，
所以 ．
由对任意的 均有 成立，所以 在 时取得最小值，
所以有 ， 而 ，
所以 的最小值为 ．
故选： .
20．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，则 （ ）
A． B．1 C．－1 D．
【答案】A
【分析】由图象得 的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数 的解析式，即可求 .
【详解】解：由图象可知 ，则 ．由 ，得 ．
则 ．
∵点 在函数图象上，∴ ，∴ ， ．
∵ ，∴ .
∴函数解析式为 ．
将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得 ．
故 ．
故选:A．
21．（2023·高三课时练习）已知函数 （ ）在区间 上有且仅有一个最大值和
一个最小值，则实数 的取值不可能是（ ）A． B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】化简函数 的解析式为 ，由 可计算出 的取值范围，根据题
意可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】函数 ，其中 ，
令 ，则 .
函数 在区间 上有且仅有一个最大值和一个最小值等价于函数 在区间 上
有且仅有一个最大值和一个最小值，
则 解得 所以 .
故选:D.
二、多选题
22．（2021·高一单元测试）已知函数 满足 ，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线 是 图象的一条对称轴
D．点 是 图象的一个对称中心
【答案】ACD【分析】由 可知直线 是函数 的图象的一条对称轴，又 ，所以
是函数 的图象的一个对称中心，则 ，即 ，可求得 的值，
根据余弦型函数的性质计算即可判断各选项.
【详解】由 可知直线 是函数 的图象的一条对称轴，故C选项正确；
又 ，所以 是函数 的图象的一个对称中心，
所以 ，即 ，又因为 ，所以
因为 ，所以当 时， 符合，故A选项正确；
所以 ，所以
因为
所以当 时， 符合条件，故B选项错误；
从而 ，
故点 是 图象的一个对称中心﹐故 选项正确.
故选：ACD.
23．（2022秋·辽宁大连·高三统考期末）将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 图象的一个对称中心为C． 的单调递减区间为
D． 的图象与函数 的图象重合
【答案】ABC
【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式可得 ；根据余弦型函数最小正周期可知A错误；
利用代入检验法可知B错误；根据余弦型函数单调区间的求法可知C正确；利用诱导公式化简 解析式可得
，知D错误.
【详解】由题意知： ；
对于A， 的最小正周期 ，A正确；
对于B，当 时， ，此时 ，
是 的一个对称中心，B正确；
对于C，令 ，解得： ，
即 ， 的单调递减区间为 ，C正确；
对于D， ，
与 图象不重合，D错误.
故选：ABC.
24．（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）设函数 ，若函数为偶函数，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据三角函数变换结合条件可得 ，进而 ，即得.
【详解】因为 ，
所以 ，又函数 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 的值可以是 ， .
故选：BC.
25．（2023春·全国·高三校联考开学考试）记函数 的最小正周期为 ，且
，函数 的图象关于点 对称，则（ ）
A． B．
C． D．当 取得最小值时，
【答案】BD
【分析】根据余弦函数的图像和性质可求出 ，进而可逐一判断每个选项的正误.
【详解】因为函数 的图象关于点 对称，
则 ，A错误；又 ，
，得 ，
， ，B正确；
，解得 ，
，
C错误；
当 取得最小值，即 时， ，
，D正确.
故选：BD.
26．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）若函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A．
B． 的图象与函数 的图象重合
C．
D．存在唯一的 ，使得
【答案】BC
【分析】由最小正周期求出 ，得到函数解析式，A选项，法一：计算出 ，，故 ；法二：将 代入计算出 ，即 不是函数的对称轴，
故 ，A错误；B选项，整体法利用诱导公式推导出B正确；C选项，计算出
得到C正确；D选项，整体法求出 ，结合函数单调性及函数取值范围得到
在 上， 有两解，D错误.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，则 ，
所以 .
对于A，法一： ，
， ，则A错误；
法二： 意味着 的图象关于直线 对称，将 代入 ，得
的图象关于点 对称，则A错误；
对于B， ，则B正确；
对于C， ，
，则C正确；对于D， ，当 ，即 时， ，
使得 ；
当 ，即 时， ，
使得 .
所以在 上， 有两解，则D错误.
故选：BC.
27．（2022秋·河北唐山·高三校考开学考试）已知函数 的最小正周期为 ，将 的
图象向左平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 单调递增
C． 的图象关于 对称 D． 在 上的最大值是1
【答案】AC
【分析】由周期求出 ，由图象变换求得 的解析式并化简，然后由正弦函数的性质判断各选项．
【详解】由题意 ， ，所以 ，
， ，
，A正确；
时， ， 递增， 递减，B错；
是最大值，C正确；时， ， 的最小值是 ， 的最大值是 ，D错；
故选：AC．
三、填空题
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象如图所示，则函数
的最大值为________．
【答案】
【分析】根据图象求得函数 的解析式，化简函数 的解析式，令
，可得 ，将函数转化为关于 的二次函数，利用二次函数的性质可求得该
函数的最大值.
【详解】由图象可得 ，
函数 的最小正周期为 ，所以 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，由于 ，所以 ， ，
所以 ，
因为
，
令 ，
则 ，可得 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时，函数 取最大值 ，
即 的最大值为 ，
故答案为： .
29．（2021·浙江·高三专题练习）已知函数 图象的一条对称轴为 ，则 ___________，
函数 在区间 上的值域为___________．
【答案】
【分析】（1）由题可得 ，由此即可解出 ；
（2）可得 ，即可由 求出值域.
【详解】因为函数 的对称轴为 ，
由辅助角公式可得 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 ．
所以 ．
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，故函数 在区间 上的值域为 ．
故答案为： ； .
【点睛】本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据对称轴结合辅助角公式得出 ，继而求出 .
30．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知函数 ，
为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点．若 ，则 的解析式为________．
【答案】
【分析】根据三角函数的图象，结合周期性、对称性分析运算.
【详解】因为B、C是该图象上相邻的最高点和最低点， ，所以由勾股定理可得 ．
又因为 ，则 ，解得 或 （舍去），
所以 ．
因为 为函数 图象的对称中心，则 ， ，
所以 ， ．又因为 ，所以 ．
故 .
故答案为： .
31．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数 ，
若 ， ，则 _________．
【答案】
【分析】由 ，可得 为偶函数，可得 ，再由 ，可得 ，进而可得
，再将 代入即得答案.
【详解】解：因为 ，所以 为偶函数，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：
32．（2022秋·山东东营·高三胜利一中校考期末）设函数 ，直线 为 图像
的对称轴， 为 的零点，且 的最小正周期大于 ，则 _________．
【答案】
【分析】利用正弦函数的图像和性质求解即可.
【详解】因为函数 的最小正周期 大于 ,
所以 ， ，
又因为直线 为 图像的对称轴， 为 的零点，且 ，
所以 ，解得 ，
将零点 代入 得 ，
所以 ， 解得 ， ，
又因为 ，所以当 时， .
故答案为：
33．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后的函数 的图像，若 为偶函数，则函数 在 上的值域为___________.
【答案】
【分析】根据三角函数的变换规则得到 的解析式，再根据 为偶函数求出 的值，即可求出 的解析
式，最后根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为 ，
将 的图像向右平移 个单位长度得到 ，
又 为偶函数，所以 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，所以 ，
则 .
故答案为：
34．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数 在 上单调递增，且在
上有最大值．则 的取值范围为__________．
【答案】
【分析】通过函数 在 上单调递增，求出 的范围，再根据在 上有最大值可得
，进而即得.
【详解】由 ，可得 ，又函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，又函数在 上有最大值，
所以 ，即 ，
综上， .
故答案为： .
35．（2023·高三课时练习）如图所示，函数 的部分图像与坐标轴分别交于点 、 、 ，则
的面积为______.
【答案】
【分析】先根据函数解析式求出点 ,再根据周期求出 ,利用面积公式求出面积即可.
【详解】在 中，令 ，得 ，故 ；
又函数 的最小正周期为 ，所以 ．
∴
故答案为:
四、解答题36．（2022秋·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）已知 ．
（1）求函数 的最小正周期及单凋递减区间；
（2）求函数 在区间 的值域．
【答案】（1）最小正周期是 ，单凋递减区间是 ；（2） .
【分析】先利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为 ，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】 ，
，
，
．
（1）函数 的最小正周期 ，
令 ，
解得 ，
所以函数的单凋递减区间是 ；
（2）因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以函数的值域是 ．
【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究
y＝sin t的性质．
37．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数
.
(1)求函数 的最小正周期及对称轴方程
(2)求 在 上的值域.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先利用倍角公式及辅助角公式变形化简，然后利用周期公式及正弦函数的性质求解即可；
（2）通过 的范围求出 的范围，进而可求出 的范围，则 在 上的值域可求.
【详解】（1）由已知
则函数 的最小正周期为 ，
令 ，得 ，
即函数 的对称轴方程为 ；（2）由（1） ，
，
，
，
，
即 在 上的值域为 .
38．（2022秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)当 时，求函数 的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)函数 的最大值为1，最小值为 .
【分析】（1）对函数变形得到 ，求出 的单调递减区间即可；
（2）先求出 ，利用正弦函数图象求解最值.
（1）
,令 ，
解得： ，
所以函数 的单调递增区间为
（2）
当 时， ，
所以当 ，即 时， 取得最大值，
，
当 ，即 时， 取得最小值，
，
所以函数 的最大值为1，最小值为 ．
39．（2022春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知函数 的一部分图象如图所示，
如果 ， ， ．
(1)求函数 的解析式；
(2)记 ， 求函数 的定义域；
(3)若对任意的 ， 不等式 恒成立， 求实数 的取值范围．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由图像可知 ，从而可求出 的值，由图象可知
，结合题意可求出 的值，从而可求出函数解析式，
（2）由题意得 ，解不等式可求出函数的定义域，
（3）由题意可得 ，则 ，所以将问题转化为 ，从而可求出实数 的取值范围．
【详解】(1)由图像可知
，
，
∴
(2)由（1) 知 , 要使函数 有意义,
有 , 故 ，即
解得
∴函数 的定义域为
(3)对 , 有
，即
若 对 恒成立,
即 的最小值大于 .
故 , 即 .
所以实数 的取值范围为
40．（2023·高三课时练习）函数 （ ， ）的部分图像如图所示，该图像与 轴交
于点 ，与 轴交于点 、 ， 为最高点，且 的面积为 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)根据三角形的面积得到周期，利用周期的计算公式可得： ，然后再利用图象过点 求出
，进而求出函数的解析式；
(2)根据正弦函数的图象和性质得到 时， ，然后将不等式等价转化为，解不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可知： 的面积 ，
所以周期 ，则 .
由 ，得 ，又 ，于是 ，
所以 .
（2）由 ，则 ，得 ，
即 .由 ，得 ，
即 在 上恒成立，
亦即 .
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
