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第六讲 三角函数的图象与性质
真题展示
2022 新高考一卷第六题
记函数 的最小正周期为 ．若 ，且 的图像关
于点 ， 中心对称，则
A．1 B． C． D．3
【解析】
【解法一】(取值试验)函数 的最小正周期为 ，
则 ，由 ，得 ， ，
的图像关于点 ， 中心对称， ，
且 ，则 ， ．
， ，取 ，可得 ．
，则 ．故选： ．
【解法二】(解不等式)：仿法一得 2<ω<3 及 ，k∈Z，则 2< <3，解
得 ，又k∈Z，∴k=4，下同法一。
【试题评价】本题考查 型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与
运算求解能力，是中档题．
试题亮点 三角函数是一类重要的函数，三角函数的周期性是其基本性质，三角
函数的周期性决定了该函数的很多其他性质.刻画三角函数周期性的是频率ao.理
解频率a对三角函数的各种几何性质和代数性质的影响，是考查和评价考生的
基本要求.试题亮点如下：（1）试题巧妙地设计了正弦型三角函数图像的中心对称性，反过来要求考生经
过分析与综合，判断正弦型函数频率的取值或最小正周期的取值，这是对考生
全面掌握三角函数性质及其研究方法的一次很好的检验.
（2）在试题的求解过程中，要求考生熟练掌握基本三角函数（y=sinx）的性质，
及其与复合函数（y=sin（wx+q））的性质之间的关系，有利于指导教师在高中
数学教学中整体把握三角函数的教学.
（3）数学正向问题的解决主要依靠形式逻辑推理思维，其解决路径是清晰的、
确定的；而数学反向问题的解决需要建立在辩证逻辑思维的基础上，其解决路
经需要分析与综合判断．辩证逻辑思维是考生未来进入高等学校学习，进一步
开展科学研究需要运用的主要的思维方式.因此，试题有利于考查考生未来的学
习潜能，有利于检测考生的辩证逻辑思维能力，对高中数学教学具有引导作用.
知识要点整理
一、正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
(0,0)，， (π ， 0) ， (0,1)，，(π，－1)，
关键五点
， (2π ， 0) ，(2π，1)
正(余)弦曲
正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线
线二、正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正
π
周期
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
对称性 对称中心(k∈Z)
三、 函数的周期性
1．函数的周期性
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个 非零常数 T ，使得对每一个
x∈D都有 x＋T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数．非零常数
T 叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做
f(x)的最小正周期．
四、 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正
2π 2π
周期
奇偶性 奇函数 偶函数
五、正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义
R R
域
值域 [ － 1,1 ] [ － 1,1 ]
在每一个闭区间(k∈Z)上都 在每一个闭区间[2kπ－π，
单调 单调递增， 2kπ](k∈Z)上都单调递增，
性 在每一个闭区间(k∈Z)上都 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋
单调递减 π] (k∈Z)上都单调递减
x＝＋2kπ(k∈Z)时，y ＝ x＝ 2 k π (k∈Z)时，y ＝1；
max max
最值 1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时， x＝ 2 k π ＋ π (k∈Z)时，y ＝－
min
y ＝－1 1
min
三年真题一、单选题
1．已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为
， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单
位长度得到，④不正确．
故选：A．
2．函数 在区间 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
3．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C【详解】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
4．在 中， ．P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
5．设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
6．如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ，故排除B;设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
7．将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
8．记函数 的最小正周期为T．若 ，且 的图象关于点
中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A
9．函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可
判断最大值.
【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
10．函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【详解】由题， ，所以 的最小正周期为，最大值为 .
故选：C．
11．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
12．已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于 ，所以命题 为真命题；
由于 在 上为增函数， ，所以 ，所以命题 为真命题；
所以 为真命题， 、 、 为假命题.故选：A．
13．下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
二、多选题
14．已知函数 的图像关于点 中心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【详解】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由
，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．故选：AD．
三、填空题
15．记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，
则 的最小值为____________．
【答案】
【详解】解： 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
16．已知函数 的部分图像如图所示，则 _______________.【答案】
【详解】由题意可得： ，
当 时， ，
令 可得： ，
据此有： .
故答案为： .
【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是
求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x，
0
则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
17．已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________．
【答案】2
【详解】由图可知 ，即 ，所以 ；由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得 的最
小正整数为2.
故答案为：2.
四、解答题
18．设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ；（2） .【详解】（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
19．小明同学用“五点法”作某个正弦型函数 在一个周期内的图象时，
列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数 ， ， 的值；（2）该函数在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1） ， ， ；（2）最大值是3，最小值是 .
【详解】（1）由表可知 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，即 ，
因为函数图象过点 ，则 ，即 ，
所以 ， ，解得 ， ，
又因为 ，所以 .
（2）由（1）可知 .
因为 ，所以 ，
因此，当 时，即 时， ，
当 时，即 时， .
所以该函数在区间 上的最大值是3，最小值是 .
20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I） ；（II）
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理由 ，得 ，即 .
结合余弦定 ，
∴ ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
∵ 为锐角三角形，∴ ，
∴ ，
所以 ，
又B为 的一个内角，故 .
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由 ，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故 .
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为 ，并利用余弦定理整理得 ，
即 .
结合 ，得 .
由临界状态（不妨取 ）可知 .
而 为锐角三角形，所以 .由余弦定理得 ，
，代入化简得
故 的取值范围是 .
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由 可得： ， ，
则 ， .
即 的取值范围是 .
三年模拟
1．函数 的图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】结合图像，易得 ，则 ，
所以由 得 ，所以 ，又 ，所以 ，则 ，
又因为 落在 上，所以 ，即 ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以当且仅当 时， 满足要求，
所以 ，
因为将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
所以 .
故选：A.
2．下列四个函数中，在区间 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】对A，因为 在 上递增，所以 在 上单调递减，故A错误；
对B， 在 上单调递减，故B错误；
对C， 在 上单调递增，故C正确；
对D，由C知， 在 上单调递减，故D错误.
故答案为：C
3．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】易知函数 为偶函数，所以其图象关于y轴对称，排除A，B项；又当 时，
，排除C选项.
故选：D．
4．已知函数 ，函数 的图象由 图象向右平移 个单位得到，则下列关于函数的图象说法正确的是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线 对称 D．关于点 对称
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，且 ，所以函数是非奇
非偶函数，故A，B项错误；
因为 ，既不是 的最大值也不是最小值，所以 不是 的对称
轴，故C项错误；
因为 ，所以 是 的一个对称中心，故D项正确.
故选：D.
5．对于函数 ，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域是 ；
（2）当且仅当 时，该函数取最大值 ；
（3）该函数的最小正周期为 ；
（4）当且仅当 时， ；
其中所有正确命题个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以， ，
对于（3），
，所以，函数 为周期函数，
作出函数 的图象（图中实线）如下图所示：
结合图形可知，函数 的最小正周期为 ，（3）对；
对于（1），由图可知，函数 的值域为 ，（1）错；
对于（2），由图可知，当且仅当 或 时，函数 取得最大值 ，（2）错；
对于（4），由图可知，当且仅当 时， ，（4）对.
故选：B.
6．对于函数 ，给出下列五个命题：
（1）该函数的值域是 ；
（2）当且仅当 或 时，该函数取最大值1；
（3）该函数的最小正周期为2π；
（4）当且仅当 时， ；（5）当且仅当 时，函数 单调递增；
其中所有正确命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】函数 的图象如下图所示：
对于（1），由图象可知，该函数的值域是 ，所以（1）错误；
对于（2），当 时， ；当 时， ；此外再无其他等于1的值，
所以当且仅当 或 时，该函数取最大值1.即（2）正确.
对于（3），观察图像可知，该函数的最小正周期为2π，故（3）正确；
对于（4），由图可知，当且仅当 时， ，所以（4）正确；
对于（5），根据图像可知，当 时，函数 也是单调递增的，故（5）错误；
因此，正确的命题有（2）（3）（4）共3个.
故选：C.
7．已知 ， ，则函数 的一个对称中心为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意 ，
所以 即 ，
因为 ，所以 ，两边同乘 得
，
解得 或 （ ， 舍去），所以 ，
所以 的对称中心的横坐标为 ，解得 ，
当 时B符合题意，其余选项无解.
故选：B
8．函数 在 上的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数 的定义域为 ，，
所以，函数 为偶函数，排除CD选项，
且当 时， ， ，则 ，排除B选项.
故选：A.
9．设 ，若向量 、 、 满足 ，且 ，则满足条件的k的取值可以是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
得 ，又 ，所以 ，
所以k的取值可以是2.
故选：B.
10．已知函数 ，下列说法中，正确的是（ ）
A．函数 不是周期函数
B．点 是函数 图象的一个对称中心
C．函数 的增区间为D．函数 的最大值为
【答案】C
【详解】对于A， ，
故函数 是周期函数，A错；
对于B，
，
所以，点 不是函数 图象的一个对称中心，B错；
对于C，由 ，
可得 ，解得 ，
所以，函数 的增区间为 ，C对；
对于D，由 可得 ，解得 ，
所以，函数 的单调递减区间为 .
由A知，函数 为周期函数，且 为函数 的一个周期，
不妨考虑函数 在区间 上的最大值，
由题意知，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以， ，D错.
故选：C.
