专题09三角函数与三角恒等变换（讲）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题 09 三角函数与三角恒等变换（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得： , 即： ， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以即 故选：C. 2.（2022·全国·高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ， 又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ， 所以 ，所以 ， ， 所以 . 故选：A 3．（2021·浙江·高考真题）设函数 . （1）求函数 的最小正周期； （2）求函数 在 上的最大值.【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由辅助角公式得 ， 则 ， 所以该函数的最小正周期 ; （2）由题意， ， 由 可得 ， 所以当 即 时，函数取最大值 . 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、 奇偶性、周期性、对称性及最值，常与三角恒等变换交汇命题. 2 .三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为工具，研究三角函数的最值、范围问题. 3.三角函数、三角恒等变换等，考查方式有两种，即独立考查与综合考查，主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下． （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 三角恒等变换 【核心知识】 1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 3．两角和与差的三角函数公式 （1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C ：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； (α－β) C ：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； (α＋β) S ：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； (α＋β) S ：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； (α－β) T ：tan(α＋β)＝； (α＋β) T ：tan(α－β)＝. (α－β) （2）变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；  sincos 2sin( ) 4 . （3）辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) . 4．二倍角公式 （1）二倍角的正弦、余弦、正切公式： S ：sin 2α＝2sin_αcos_α； 2α C ：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2αT ：tan 2α＝. 2α （2）变形公式： cos2α＝，sin2α＝ 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【典例分析】 典例1.（2021·全国·高考真题（文））若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函数的 基本关系即可求解. 【详解】 ， ， ， ，解得 ， ， . 故选：A. 典例2.（2022·浙江·高考真题）若 ，则 __________， _________． 【答案】 【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出 ， 接下来再求 ． 【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵ ，∴ ，即 ， 即 ，令 ， ， 则 ，∴ ，即 ， ∴ ， 则 . 故答案为： ； . [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 ∵ ，∴ ，即 ， 又 ，将 代入得 ，解得 ， 则 . 故答案为： ； . 典例3.（2020·浙江·高考真题）已知 ，则 ________； ______． 【答案】 【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得 ，根据两角差正切公式得 【详解】 ， ， 故答案为：【规律方法】 1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化． 考向二 三角函数的图象与解析式 【核心知识】 【典例分析】 典例4.（2022·全国·高考真题（文））将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲 线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值. 【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则 ， 解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .故选：C. 典例5. （2021·全国·高考真题（理））把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，即 得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式； 解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达式. 【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图 象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象， 根据已知得到了函数 的图象，所以 ， 令 ,则 , 所以 ,所以 ；解法二：由已知的函数 逆向变换， 第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象， 即为 的图象，所以 . 故选：B. 【规律方法】 y  Asinx 1.由 的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ． (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． (2)ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最 低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T． (3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 2.依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π． 在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范 围内． (4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程 组来求解φ． 3.利用图象变换求解析式： y sinx 0 0  y sinx 由 的图象向左 或向右 平移 个单位，得到函数 ，将图象上各点的横 1 y sinx 坐标变为原来的倍( 0 )，便得 ，将图象上各点的纵坐标变为原来的A倍( A0 )，便y  Asinx 得 . 考向三 三角函数的性质 【核心知识】 y  Asinx 函数 的图象与性质      3 2k ，2k 2k ，2k     y sinx  2 2 (kZ)  2 2  (kZ) （1） 的递增区间是 ，递减区间是 . y  Asin(x) y  Acos(x) （2）对于 和 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.  xk kZ y  Asin（x) 的图象有无穷多条对称轴，可由方程 2 解出；它还有无穷多个对称 k xkkZ x kZ 中心，它们是图象与 x 轴的交点，可由 ，解得  ，即其对称中心为 k  ,0 kZ      ．  k (kZ) （3）若 y  Asin(x) 为偶函数，则有 2 ;若为奇函数则有 k(kZ) . 2 T  （4） f(x) Asin(x)的最小正周期都是 ||. 【典例分析】 典例6.（2022·全国·高考真题（理））函数 在区间 的图象大致为（ ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令 ， 则 ， 所以 为奇函数，排除BD； 又当 时， ，所以 ，排除C. 故选：A. 典例7. （2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数 ，且函数 的最小正周 期为 ，则下列关于函数 的说法， ① ； ②点 是 的一个对称中心； ③直线 是函数 的一条对称轴； ④函数 的单调递增区间是 . 其中正确的（ ）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解析】 由题得 ，所以 ，所以①正确； 函数 没有对称中心，对称轴方程为 ，故②不正确，③正确； 令 ，得 的单调递增区间是 ，故④正确. 【详解】 因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，所以①正确； 函数 没有对称中心，且对称轴方程为 ，所以当 时，对称轴方 程为 ，故②不正确，③正确； 令 ，解得 ，所以 的单调递增区间是 ，故④正确. 故选：D. 典例8.（2022·河北南宫中学高三阶段练习）已知函数 在 内恰有3个最值 点和4个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】数形结合，由第4个正零点小于等于1，第4个正最值点大于1可解. 【详解】 ， 因为 ，所以 ， 又因为函数 在 内恰有 个最值点和4个零点， 由图像得： ，解得： ， 所以实数 的取值范围是 . 故选：B 典例9.（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ） A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增 C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增 【答案】C 【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为 . 对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错； 对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对； 对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错. 故选：C. 典例10.【多选题】（2022·全国·高考真题）已知函数 的图像关于点 中心对 称，则（ ） A． 在区间 单调递减 B． 在区间 有两个极值点 C．直线 是曲线 的对称轴 D．直线 是曲线 的切线 【答案】AD 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得： ，所以 ， ， 即 ， 又 ，所以 时， ，故 ． 对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减； 对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由，解得 ，即 为函数的唯一极值点； 对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴； 对D，由 得： ， 解得 或 , 从而得： 或 , 所以函数 在点 处的切线斜率为 ， 切线方程为： 即 ． 故选：AD． 【疑难点睛】 已知三角函数的单调区间求参数取值范围的三种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列 不等式(组)求解． (3)周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 个周期列不等式(组)求解． 考向四 三角函数中的范围、最值问题 【核心知识】 (1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基 本不等式，二次函数等． (2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象． 典例11.（2022·天津·高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法： ① 的最小正周期为 ；② 在 上单调递增； ③当 时， 的取值范围为 ； ④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确； 令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为 ， ，所以 ，③不正确； 由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单位 长度得到，④不正确． 故选：A． 典例12.（2019·全国·高考真题（理））设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个 零点，下述四个结论： ① 在（ ）有且仅有3个极大值点 ② 在（ ）有且仅有2个极小值点 ③ 在（ ）单调递增 ④ 的取值范围是[ ) 其中所有正确结论的编号是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得 ，结合正弦函数的图像 分析得出答案． 【详解】当 时， ， ∵f（x）在 有且仅有5个零点， ∴ ， ∴ ，故④正确， 由 ，知 时， 令 时取得极大值，①正确； 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当 时， ， 若f（x）在 单调递增， 则 ，即 ， ∵ ，故③正确． 故选D． 典例13.（2022·全国·高考真题（理））设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ， 要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示： 则 ，解得 ，即 ． 故选：C． 典例14. （2022·全国·高考真题（理））记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为____________． 【答案】 【分析】首先表示出 ，根据 求出 ，再根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得解； 【详解】解： 因为 ，（ ， ）所以最小正周期 ，因为 ， 又 ，所以 ，即 ， 又 为 的零点，所以 ，解得 ， 因为 ，所以当 时 ； 故答案为： 典例15. （2022·北京·海淀实验中学高三阶段练习）用下面两个条件中的一个补全如下函数 ________________. 条件①： ；条件②： . (1)求 的值； (2)求函数 在区间 的最大值和最小值． 【答案】(1)选① ；选② ； (2)选①，最大值4，最小值2；选②，最大值 ，最小值 . 【分析】（1）利用函数解析式及特殊角三角函数值即得； （2）选①可得 ，利用余弦函数及二次函数的性质即得；选②可得 ，然后利用三角函数的性质即得. 【详解】（1）选①， ， 所以 ；选②， ， 所以 ； （2）选①， ， 由 ，可得 ， 所以当 ，即 时，函数 有最大值4， 当 ，即 时，函数 有最小值2； 选②， ， 由 ， 可得 ， 所以当 ，即 时，函数 有最大值 ， 当 ，即 时，函数 有最小值 . 典例16.（2022·湖北·高三阶段练习）将函数 的图象向左平移 个单位长 度后得到函数 的图象． (1)若 为奇函数，求 的值； (2)若 在 上单调，求 的取值范围． 【答案】(1) (2)【分析】（1）利用三角函数恒等变换结合平移变换得到 ，根据 为奇函数，求出 ，结合 求出 的值； （2）当 时， ，结合 ， 在 上单调，得 到不等式，求出 的取值范围. 【详解】（1）因为 ， 所以 ． 因为 为奇函数，所以 ， 即 ，又 ，所以 的值为 ； （2）因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 又 在 上单调， 所以 或 或 ， 所以 的取值范围是 ． 【规律方法】 1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个 给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域． 3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转 化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性． 4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不 等式反解出y． 综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解； (2)转化为关于sinx的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性．