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专题 01 三角函数的图象与综合应用
【命题规律】
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式
考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式
考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，
如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解
三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：齐次化模型
核心考点二：辅助角与最值问题
核心考点三：整体代换与二次函数模型
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
核心考点五： 的取值与范围问题
核心考点六：三角函数的综合性质
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，
且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A2．（2022·全国·高考真题（理））设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
3．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取 ，排除A,B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
4．（2022·全国·高考真题（文））将函数 的图像向左平移 个单位长度后
得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
5．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数 的图像关于点 中
心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【解析】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调
递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，
由 ，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．
6．（2022·全国·高考真题（理））记函数 的最小正周期为T，若
， 为 的零点，则 的最小值为____________．
【答案】
【解析】因为 ，（ ， ）所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
【方法技巧与总结】
1、三角函数图象的变换
（1）将 的图象变换为 的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对 作的变换；
（3）伸缩变换
①沿 轴伸缩时，横坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（纵坐标 不变）；
②沿 轴伸缩时，纵坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（横坐标 不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；的单调递增区间是 ．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合 ， ，
， 的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为 的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于 或 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中
心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为奇函数，则有 ．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间
的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 个周期列不等式（组）求解.
【核心考点】
核心考点一：齐次化模型
【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
（二次隐型齐次化）
或者
这种类型题，分子分母同除以 （一次显型）或者 （二次隐型），构造成 的代数式，
这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【典型例题】例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C.
例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则
,故选:D．
例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为 ，则
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，又倾斜角为
所以
则
.
故选：C.
例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ， ，
所以
．故选: C．
核心考点二：辅助角与最值问题
【规律方法】第一类：一次辅助角: = ．（其中 ）
第二类：二次辅助角
【典型例题】
例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数 ，当 时，
取得最大值，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，（其中 ，
）
当 时， 取得最大值，此时 ，得到 ，
.
故选：A.
例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若 ，则函数
的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，当 时，有 ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， .
即函数 的值域为 .
故选：A
例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若 ，则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
故 的值域为 ，
故选：A.
例8．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，若 ，则 的最
小值是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】函数 ，
，
，
因为 ，则
所以 ，
因为 ，
所以 ， 一个为 的最大值，一个为最小值，
则 ，或
解得 ，或
所以 （i），或 （ii）
对于（i），当 时， 的最小值是 ，
对于（ii），当 时， 的最小值是 ，
综上， 的最小值是 ，
故选：D
例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x的方程 有实数解，则
最小值是______．
【答案】
【解析】 ，
因为关于x的方程 有实数解，
所以 ，即 ，
则点 的轨迹为以原点为圆心，半径大于等于 的同心圆，设点 的轨迹方程为 ，
表示点 到点 距离的平方，
因为 ，
所以点 在圆 内，
点 到圆 上的点的最小值为 ，
所以 最小值时 .
故答案为： .
例10．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值为___________.
【答案】
【解析】 ，
设 ，可得 ，可得 ，
其中 ， ，
因为 ，所以， ，解得 .
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最小值为____.
【答案】
【解析】因为 ，所以令 ，
解得 ，
所以
.因为 ，所以 的最小值为 .
核心考点三：整体代换与二次函数模型
【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，
就是 ， 与 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是 与 之间
的关系，第三类则是 与 之间的关系.
【典型例题】
例12．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值为___________．
【答案】 .
【解析】 ，
， 当 时， ，
故函数 的最小值为 ．
例13．（2022·全国·高考真题（文））函数 的最大值为________.
【答案】
【解析】 =
= = ，因为 ，所以当 时，y取最大值，最大时
为 .
【考点】二倍角公式和二次函数的性质.
例14．（2022·全国·高考真题（理））函数 的最大值是_________.
【答案】
【解析】令 ，则 ，
由 两边平方得
则 ，
配方得 ，当 时取最大值
故答案为
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的最大值为
___________.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
，
，
∴ 时， ，即 ．
故答案为： ．
例16．（2022·全国·高三专题练习）若 是三角形的最小内角，则函数 的最小值
是
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为 是三角形的最小内角，所以 ，
设 ， 则 ，
原式 ，在 上递减， ，
故选B.
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
【规律方法】
关于 和 ，如图， 将 图像中 轴上方部分保留， 轴下方部分沿
着 轴翻上去后得到，故 是最小正周期为 的函数，同理 是最小正周期为 的函数； 是将 图像中 轴右边的部分留下，左边的删除，再将 轴右边图像作对称至左边
故 不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【典型例题】
例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小值为
C． D． 在 上有解
【答案】D
【解析】 ，
是以 为周期的函数，
当 时， ，
则 ，
，
∴函数 的最小正周期为 ，函数 的最小值为1，故AB错误，
由 ，故C错误；
由 ，∴ 在 上有解，故D正确.
故选：D.
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，给出下述四个结论:
① 是偶函数; ② 在 上为减函数;
③ 在 上为增函数; ④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是（ ）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①，易得 的定义域为 ，关于原点对称，
因为
，所以 是偶函数，故正确；
对于②和③，因为 ，
，
且 ，所以 在 不是减函数，在 也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当 时，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
当 时，
，
因为 ，
所以 ，所以 ；
当 时， ；
当 时，
，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以，综上所述，当 时， 的最大值为 ，由于 为偶函数，所以当 时， 的最大值
也为 ，故 的最大值为 ，故④正确；
故选：D例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数 ，以下结论正确
的是（ ）
A． 是 的一个周期 B．函数在 单调递减
C．函数 的值域为 D．函数 在 内有6个零点
【答案】C
【解析】因为 ，所以A错误；
当 ， ，其中 ，
不妨令 为锐角，所以 ，所以 ，因为 ，所以B错误；
因为 是函数 的一个周期，可取一个周期 上研究值域，当 ，
， ，所以
，即 ；因为 关于 对称，所以当 时 ，
故函数 在 上的值域为 ，故C正确；
因为函数 为偶函数，所以在区间 上零点个数可通过区间 上零点个数，由 ，
在 图像知由2个零点，所以在区间 上零点个数为4个，所以D错误．
故选:C.
例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数 ，则
（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为
C． 在 上单调递减 D． 在 上有4个零点
【答案】BD
【解析】 ；
当 时，
，
当 时，
，作出函数 的图象，
如图所示，观察可知，函数 的最小正周期为 ，故A错误；
函数 的最大值为 ，故B正确；函数 在 上先减再增再减，故C错误；
与x轴在 上有4个交点，故D正确.
故选:BD．
例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数 的最大值为
______.
【答案】
【解析】因为 的定义域为 ，
所以 为偶函数，
当 时，
， ，
所以当 时，函数取得最大值 ，
综上可知函数的最大值 ，
故答案为：
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
① 在 上的最小值是1；② 的最小正周期是 ；
③直线 是 图象的对称轴；
④直线 与 的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
【答案】①③④
【解析】对于①，当 时，
且 ，则当 时，函数 取最小值，即 ，故①正确；
对于②，∵ ， ， ，则：
故函数 的最小正周期不是 ，②错误；
对于③，若k为奇数，则
；
若k为偶数，则 .
由上可知，当 时， ，
所以，直线 是 图象的对称轴，③正确；
对于④，因为∵ ，
所以 为函数的周期.
当 时， ；
当 时， .
综上可知， .
当 时， ， ，即函数 与 在 上的图象无交点：
当 时， ， ，所以，函数 与 在 上的图象也无交点.作出函数与函数 在 上的图象如下图所示：
由图像可知，直线 与 的图象恰有2个公共点，故④正确.
故答案为：①③④.
例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上递增；
③ 在 上有4个零点；
④ 的最大值为2.
其中所有正确结论的编号__________.
【答案】①④
【解析】 定义域为R， ，故 是偶函数，①正确；
在 上单调递减， 在 上单调递减，故 在区间
上递减，②错误；
当 时， ，当 或 时， ，结合函数 是偶函数，故 时，
，故 在 上有3个零点，③错误；
， ，则 ，且存在 时， ，综上：
的最大值为2，④正确.
故答案为：①④
例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数 ，下述四个结论正确结
论的编号是__________.
① 是偶函数； ② 的最小正周期为 ；
③ 的最小值为0； ④ 在 上有3个零点.【答案】①②③
【解析】对①，因为函数 的定义域为 ，
，
所以 是偶函数，故①正确；
对②，因为 ，最小正周期为 ，
的最小正周期为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，故②正确；
对③，
.
因为 ，当 时， 取得最小值为 ，故③正确.
对④，令 ，即 ，
解得 或 （舍去）.
当 时， ，解得 或 ，
所以 在 上有 个零点.故④错误.
故选：①②③
核心考点五： 的取值与范围问题
【规律方法】1、 在 区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{
b a a
⇒¿| − |≤ ¿ ≥ ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ≤aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
同理， 在区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{
b a a
⇒¿| − |< ¿ > ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ<aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
在区间 内有 个零点
2、{T b a 2T {kπ aω ϕ π kπ
⇒¿ <| − |≤ ¿ ≤ + < + ¿¿¿
在区间 内有 个零点
同理
T 3T
{
⇒¿ ≤|b−a|< ¿ {kπ<aω+ϕ≤π+kπ¿¿¿
2 2
3、 在区间 内有 个零点
同理 在区间 内有 个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，则
．
5、已知单调区间 ，则 .
【典型例题】
例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 ， 为 的
一个零点， 为 图象的一条对称轴，且 在 内不单调，则 的最小值为______.【答案】
【解析】 是 的一个零点， ；
是 的一条对称轴， ；
由 得： ，
， ， ；
， ；
当 时， ，当 时， ，
在 内单调，不合题意；
当 时， ，当 时， ，
， 在 内不单调，符合题意；
的最小值为 .
故答案为： .
例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内既没有最大值 ，也没有
最小值 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】当 且 时， ，
因为函数 在区间 内既没有最大值 ，也没有最小值 ，
则 ，其中 ，
所以， ，解得 ，由 ，可得 ，
因为 且 ，当 时， ；当 时， ；当 时， .综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数 （其中 为常数，且 ）有且
仅有3个零点，则 的最小值是_________．
【答案】2
【解析】因为函数 为偶函数，且有且仅有3个零点，
所以必有一个零点为 ，
所以 ，得 ，
所以函数 的图象与直线 在 上有且仅有3个交点，
因为函数 的最小正周期 ，所以 ，
即 ，得 ，
所以 的最小值是2.
故答案为：2
例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数 ，若 在 内
单调且有一个零点，则 的最大值是______________．
【答案】
【解析】 在 内单调,则最小正周期 ， ， , ,所以 ,
时， ，
由 得 ， ，
而 在 内恰有一个零点且单调（因为单调有零点则只能有一个零点），
所以 且 ，解得 ，
所以 的最大值是 ．
故答案为： ．
例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数 在 上为增函数，则 的最大值为________.
【答案】
【解析】 在 上单调递增，由正弦函数在某区间单调时，区间长度不超过半个周期，即
，结合 ，故 ，∵ ，设 ， ，则 关于 单调递
增，故 ，而 ， ，故 最大可能
取值区间是 ，根据复合函数的单调性， 关于 单调递增，故只需求 关于 单调递增区间即
可，根据正弦函数的单调性， 在 上单调递增，故需满足
，显然此时 只可取 ，则 ，解得 ，又
，∴ ，则 的最大值是 .
故答案为： .
例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 的最小正周期为 ，
的一个极值点为 .若 ，则 的最大值是_____.
【答案】
【解析】因为函数 ，则
且 的一个极值点为 ，则
即
得
又因为 ，且
则所以当 时，
故答案为:
例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数
( )的图象向左平移 个单位长度,得到曲线 .若 关于 轴
对称,则 的最小值是______．
【答案】
【解析】
设曲线 所对应的函数为 ,则
,
的图像关于 轴对称,
, ,
解得: ,
,
的最小值是 .
故答案为: .
例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数 的最小正周期为 ，
若 ， 为 的零点，则 的最小值为_______．
【答案】
【解析】由题意可知 ，所以， ，因为 ，则 ，所以， ，
由题意可知 ，则 ，
所以， ， ，故 的最小值为 .
故答案为： .
例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数 ，若 是 图象
的一个对称中心， 在区间 上有最大值点无最小值点，且 ，记满足条件的
的取值集合为 ，则 ______.
【答案】
【解析】设函数 的最小正周期为 ，由题得 ，则 ，
又由 在区间 上有最大值无最小值，满足 ，则 ，
当 时，则 ，
即 ，所以 ，
又 ，故 ，所以 ，
又 ，所以满足条件的 的取值集合 .
故答案为： .
例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数 ，若 ，且
在 上有最大值，没有最小值，则 的最大值为______．
【答案】17
【解析】由 ，且 在 上有最大值，没有最小值，可得 ， 所以
.
由 在 上有最大值，没有最小值，可得 ，解得 ，又
，当 时， ，则 的最大值为17，,故答案为：17
例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数 ，其中 ．且
，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】由题意，函数 ，
因为 ，可得 或 ，
因为 ，要使得 取得最小值，
且 ，所以函数 关于 对称，
可得 ，所以 ，
若 时，可得 ，其中 ，
所以 ，其中 ，所以 ，其中 ，
因为 ，当 时，可得 ；
若 时，可得 ，其中 ，
所以 ，其中 ，所以 ，其中 ，
因为 ，当 时，可得 .
故答案为： .
例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知 ，
，且 在区间 上有最小值，无最大值，则 ______.
【答案】
【解析】依题意，当 时，y有最小值，即 ，则 ，所以 .
因为 在区间 上有最小值，无最大值，所以 ，
即 ，令 ，得 .
故答案为：
例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数 ，若 在区间
内没有零点，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由于 在区间 内没有零点，故有 ，
同时需满足 解得 ,
显然 和 时符合条件，所以 的取值范围为 ．
故选：AB
核心考点六：三角函数的综合性质
【典型例题】
例38．（多选题）（2022·山东德州·高三期中）已知函数 同时
满足下列三个条件：
①该函数的最大值为 ；
②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为 ；
③该函数图象关于 对称.
那么下列说法正确的是（ ）
A． 的值可唯一确定
B．函数 是奇函数C．当 时，函数 取得最小值
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】AC
【解析】由题可知： ， ,即
∴
又∵该函数图象关于 对称
∴ ，即
又∵
∴当 时，
∴
A选项：此时 的值可唯一确定，A正确；
B选项：
当 时，
∴此时函数 不是奇函数，故B错误；
C选项： ，
此时函数 取得最小值，故C正确；
D选项：已知 ，
∴
∴ 在函数 在区间 上单调递减，故D错误.
故选：AC.
例39．（多选题）（2022·湖北襄阳·高三期中）函数 的图象向左平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则下列结论正确的有（ ）A．直线 是 图象的一条对称轴
B． 在 上单调递增
C．若 在 上恰有4个零点，则
D． 在 上的最大值为
【答案】AC
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象.
对于A，当 时， ，故直线 是 图象的一条对称轴，故A正确.
对于B，由 ，得 ，则 在 上不单调，故B错误；
对于C，由 ，得 ，因为 在 上恰有4个零点，所以 ，
解得 ，故C正确.
对于D，由 ，得 ，则 在 的最大值为 ，故D错误.
故选：AC.
例40．（多选题）（2022·江苏南通·高三期中）已知函数 ， 的定义域均为R，它们的导函数分
别为 ， ．若 是奇函数， ， 与 图象的交点为 ，
，…， ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于直线 对称 D．
【答案】BC
【解析】因为 为奇函数，所以函数 的图象关于点 对称，故选项A错误；
因为函数 的图象关于点 对称，则 ，对其两边取导数：
则有 ，所以 的图象关于直线 对称，故选项 正确；
令 ，解得： ，所以 的图象关于直线 对称，故选项C正确；
又因为 ，所以 为常数 ，则 的图象关于 对称，
例如：当 时，令 ，
则图象有三个交点 ，
其中 和 关于 对称，且 ，
此时 ， ，
故 ，所以此时 不成立，故选项D错误；
故选：BC.
例41．（多选题）（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数 的部分
图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B． 在区间 单调递减
C． 在区间 上有且仅有2个零点
D．将 的图象向右平移 个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
【答案】BC
【解析】由图象可知， ，所以 ， .
又 在 处有最大值，且 ，
则有 ，且有 .则 ，又 ，所以 .
所以， ， .
所以， .
则， ，A项不正确；
当 时， ， 在 上单调递减，则 在区间 单调递减，
B项满足；
当 时， ， 在 内有两个零点，则 在区间 上
有且仅有2个零点，C项正确；
将 的图象向右平移 个单位长度后，得到 为一
个偶函数，D项不正确.
故选：BC.
例42．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知函数 ，且对任
意 均有 在 上单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 的最小正周期为
C．若 的根为 ，2， ， ，则
D．若 在 上恒成立，则 的最大值为
【答案】ACD
【解析】由题可知 有对称中心 ，对称轴 ，又在 上单调递减，
∴函数的最小正周期为 ，故B错误；
，又 ， ，
∴ ，所以 为偶函数，故A正确；
作出函数 的大致图象，
由图可知， 在 上有4个根，
且 ，故C正确；
由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
的最大值为 ，故D正确.
故选：ACD．
例43．（多选题）（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数
的部分图象如图（1）所示，函数
的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）A．函数 的周期为
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上有4个零点
D．将函数 的图像向左平移 可使其图像与 图像重合
【答案】BCD
【解析】由图象（1）可得 ， ，故 ，
故 ，而 ，
故 ，而 ，故 ，故 ，
由图（2）可得 ， ，故 ，
故 ，而 ，
故 ，而 ，故 ，故 ，
对于A， 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B， ，
故函数 的图象关于直线 对称，故B正确；对于C， 即为 ，
故 或 ， ，
故 或 ， .
令 ，故 ；
令 ，故 ；
故 在区间 上有4个零点，故C正确.
对于D，函数 的图像向左平移 ，
其图象对应的解析式为：
.
故D正确，
故选：BCD.
例44．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数 图像上所有的点向右
平移 个单位长度，得到函数 的图像，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为π
B． 图像的一个对称中心为
C． 的单调递增区间为
D． 的图像与函数 的图像重合
【答案】ABD
【解析】由题 .
对于A选项， ，故A正确.
对于B选项，令 ，解得 ，其中 .得 图像的对称中心为 ，其中 .当 时，得 图像的一个对称中心为 ，
故B正确.
对于选项C，令 ，其中 .
解得 ，其中 ，得 的单调递增区间为 ，其中 ，故C错误.
对于D选项，由 ， 有
，故D正确.
故选：ABD
例45．（多选题）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知 ，则下列说法错误的是
（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 为奇函数
C．函数 在 上的值域为
D．函数 在区间 上的零点个数为8
【答案】ABC
【解析】
，
对A选项，其最小正周期 ，故A错误，
对B选项，令 ， ，故其不是奇函数，故B错误，
对C选项， ，则 ，
故 ，故C错误，对D选项， ，显然其在 零点为 ，共8
个零点，故D正确.
故选：ABC.
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）函数 某相邻两支图象与
坐标轴分别交于点 ， ，则方程 所有解的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数 的最小正周期为 ，
因为 ，所以由题意可知 ，
又因为 ，
又因为 ，所以 ，即 ，因此 ，
由
，或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
故选：B2．（2022·北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数 则（ ）
A． 是奇函数 B．函数 的最小正周期为
C．曲线 关于 对称 D．
【答案】D
【解析】因为 ，
对于A， ， ，即 ，所以 不是奇函数，
故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，即 在 处取不到最值，故 不关于 对称，故C错误；
对于D， ， ，则 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：D.
3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数 （ ， ），其
图象相邻两条对称轴的距离为 ，且对任意 ，都有 ，则在下列区间中， 为单调
递减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：由 的图象可知，相邻两条对称轴的距离为周期的一半，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，（ ）
又∵对任意 ，都有 ，
∴当 时， 取最小值，∴ ，（ ），∴ ，（ ）
∵ ，∴
∴ ，
令 ，（ ），
得 ，（ ），
∴ 的单调递减区间为 （ ），
令 ， 的一个单调递减区间为 ，
对于A，区间 内， 上单调递减，其余部分单调递增，故A不正确；
对于B，区间 内， 上单调递减，其余部分单调递增，故B不正确；
对于C，区间 ，因此区间 上单调递减，故C正确；
对于D，由区间 上单调递减可知，区间 上单调递增，故D不正确.
方法二：
∵对任意 ，都有 ，∴当 时， 取最小值，
又∵ 图象相邻两条对称轴的距离为 ，
∴当 时， 取最大值，
∴ 的一个单调递减区间为 ，
对照选项中的区间可以判断， 在区间 上是单调递减函数.
故选：C.
4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为 的函数 ，其值
域为 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
由 可得 ，
，则 ，由题意可得 ，解得 .
故选：D.
5．（2022·江苏南通·高三期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，切化弦得 ，∴ ，
由 且 ，解得 ， ，∴ ，
∴ .
故选：B
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））设函数 ，已知 在 有且仅有5个
零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（ ）
① 在 有且仅有3个极大值点
② 在 有且仅有2个极小值点
③ 在 单调递增
④ 的取值范围是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解析】当 时， ，在 有且仅有5个零点，
，
，故④正确；
由 ，知 时，
令 时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当 时， ，
若 在 单调递增，
则 ，即 ，
，故③不正确．
故选：A.
7．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数 的命题，
正确的有（ ）个
（1）它的最小正周期是
（2） 是它的一个对称中心
（3） 是它的一条对称轴
（4）它在 上的值域为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
，所以 ，故（1）错误；
令 ，解得 ，当 时， ，
故 是函数的一个对称中心，故（2）错误；
令 ，解得 ，当 时， ，所以 是函数的一条对称轴，
故（3）正确；
当 时， ， ，
，故（4）正确.
故选：C
8．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知函数 （其中 ），
恒成立，且 在区间 上单调，给出下列命题① 是偶函数；
② ；③ 是奇数；④ 的最大值为3；其中正确的命题有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【解析】∵ ， ，
∴ ， ，
故 ， ， ，
由 ，则 ，
故 ， ， ，
当 时， ， ，
∵ 在区间 上单调，
故 ，故 ，即 ，，故 ，故 ，
综上所述： 或 ，故③④正确；
或 ，故 或 ， ， 不可能为偶函数，①错误；由题可知 是
函数的一条对称轴，故 成立，②正确.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数 ，曲线 关于点
中心对称，则（ ）
A．将该函数向左平移 个单位得到一个奇函数
B． 在 上单调递增
C． 在 上只有一个极值点
D．曲线 关于直线 对称
【答案】BC
【解析】因为函数 关于点 中心对称，
所以 ， ，
所以 ，而 ，所以 ，
，
对于A，将该函数向左平移 个单位得到 ，因为 ，
，所以 为偶函数，故A错误；
对于B， 因为 ，所以 ，
因为 在 在上单调递增，所以 在 上单调递增，
故B正确；对于C， 由 得 的单调递增区间为 ，
由 得 的单调递减区间为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以在 处有一个极值点，故C正确；
对于D， 曲线 ，
时 ，故D错误.
故选：BC.
10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 是 的对称轴
B．点 是 的对称中心
C． 在区间 上单调递减
D． 的图象向右平移 个单位得 的图象
【答案】BCD
【解析】因为 ，
所以直线 不是 的对称轴，故A错误；
因为 ，
所以点 是 的对称中心，故B正确；
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，故C正确；的图象向右平移 个单位得
的图象，故D正确；
故选：BCD
11．（2022·山东青岛·高三期中）已知函数 ，则
（ ）
A． 的最大值为2 B． 是 的图象的一条对称轴
C． 在 上单调递减 D． 的图象关于 对称
【答案】AB
【解析】
即
A.明显 的最大值为2，当 ，即 时取最大值，A正确;
B.当 时， ，故 是 的图象的一条对称轴，B正确；
Ｃ.当 时， ，函数 在 上单调递增， 在 上单调递
增，C错误；
D.当 时， ， 的图象不关于 对称，D错误.
故选：AB.
12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）设 （其中 为正整数， ），且
的一条对称轴为 ；若当 时，函数 在 单调递增且在 不单调，则下列
结论正确的是（ ）
A．B． 的一个对称中心为
C．函数 向右平移 个单位后图象关于 轴对称
D．将 的图象的横坐标变为原来的一半，得到 的图象，则 的单调递增区间为
【答案】ACD
【解析】当 时，函数 在 单调递增且在 不单调,故 的周期 满足
,
由于 为正整数，所以 ，故A正确，
由于 是 的对称轴，所以 ,解得 ，由于 ，所以取
则 ，故 ，所以 ，故B错误，
向右平移 个单位后得到 ，为偶函数，为C正确，
将 的图象的横坐标变为原来的一半，得到 ，令 ,解
得
则 的单调递增区间为 ，故D正确，
故选：ACD
三、填空题
13．（2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知函数
的相邻对称轴之间的距离为 ，且 图象经过点 ，则下列
说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）
A．该函数解析式为 ；
B．函数 的一个对称中心为C．函数 的定义域为
D．将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，且函数 的图象关于原点
对称，则 的最小值为 .
【答案】ABC
【解析】因为相邻对称轴之间的距离为 ，所以函数的最小正周期为 ，
所以 .所以 .
因为 图象经过点 ，所以 ,
所以
因为 .所以 . 所以A正确；
令 ，所以 ，
所以函数 的对称中心为 .
当 时，对称中心为 所以B正确；
，令 ，
所以 ，
解之得函数 的定义域为 ，
所以C正确；
将函数 的图象向右平移 个单位，得到 是奇函数，
所以 因为 的最小值为 .
所以D不正确.
故答案为：ABC
14．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））正割（Secant，sec）是三角函数的一种，正割的数学符
号为sec，出自英文secant．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即 ．若函数 ，则下列结论正确的有__
①函数 的图像关于直线 对称；
②函数 图像在 处的切线与 轴平行，且与 轴的距离为 ；
③函数 在区间 上单调递增；
④ 为奇函数，且 有最大值，无最小值．
【答案】②③
【解析】对于①，由题知 ， ，
显然 ，故函数 的图像不关于直线 对称，故①错误；
对于②， ， ，
所以 ， ，
所以，函数 图像在 处的切线方程为 ，
所以，函数 图像在 处的切线与 轴平行，且与 轴的距离为 ，故正确；
对于③，因为
，
令 ，则 恒成立，
所以， 在 上单调递增，
因为 ，
所以， 时， ； 时， ，
因为函数 的定义域为
所以，当 时， ， ，
所以，函数 在区间 上单调递增，故正确；
对于④，函数的定义域为 ， ，故函数 为奇函数；
由③知，当 和 时，函数 为增函数，
所以，当 从 趋近于 时，函数值 趋近于 ，故函数 无最大值，
当 从 趋近于 时，函数值 趋近于 ，故函数 无最小值，故④错误.
所以，正确的结论有：②③
故答案为：②③
15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若 ，则
______．
【答案】
【解析】 ，则 ，则 ，
.
故答案为： .
16．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程 在
上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【解析】当 时， ，故 为偶函数，
当 时， ， 图象可由 向右平移 个单位得到.根据偶
函数图象关于 轴对称画出 在 上的图象如图所示，要想保证方程 在 上有三个不同的实根，则 ，
故答案为：
四、解答题
17．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数 在区间 内有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
【解析】（1）由 得，
，
故最小正周期为 ，
由 ，解得 ， ，
故 的单调递增区间为 ， ；
（2）令 ，则 ，
故问题转化为 在区间 内有两个不同的根，
令 ，且 ，则问题等价于 在 有两个根，
画出函数 的图象，
由 的图象可知：当 时，有两个根，
故实数k的取值范围为 ．
18．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知函数 ，且_____．从以下 三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题： 过点 函数 图
象与直线 的两个相邻交点之间的距离为 函数 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为
．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)设函数 ，则是否存在实数 ，使得对于任意 ，存在 ，
成立 若存在，求实数 的取值范围 若不存在，请说明理由．
【解析】（1）选①，依题意， ，
，即 ，则 ，
即有 ，而 ，则 ，
则有 ，由 得： ，
所以函数 的单调递增区间是 .
选②，依题意， ，显然 ，
因函数 图象与直线 的两个相邻交点之间的距离为 ，因此函数 的周期 ，有
，
则有 ，由 得： ，
所以函数 的单调递增区间是 .
选③，依题意， ，
因函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，因此函数 的周期 ，有 ，
则有 ，由 得： ，
所以函数 的单调递增区间是 .
（2）由（1）知， ，由 得： ，，因此 ，
由 得： ， ，因此 ，从而
，
由 得： ，假定存在实数 ，使得对 ， ，
成立，
即存在实数 ，使得对 ， ， 成立，则 ，
于是得 ，解得 ，因此存在实数 ，使得对 ， ，
成立，
所以实数 的取值范围是 .
19．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 在区间（0，π）上恰有2个零点 ，求 的值．
【解析】（1）∵
；
∴令 ，解得： ，
∴ 的单调递增区间为 ．
（2）∵ 在区间（0，π）上恰有2个零点 ，∴ ，在（0，π）有两个根
由（1）知，当 时，函数 图像的对称轴为 ，
所以 ，则
所以 ，
又 ，故 ．20．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数 的部分图
象如图所示.
(1)求 的解析式及对称中心；
(2)先将 的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 倍，得到函数 图象，再将 图象右平移
个单位后得到 的图象，求函数 在 上的单调减区间.
【解析】（1）由函数图象知， ，最小正周期 ，
所以 ，
所以 ，
将点 代入 中，有 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ,
所以 ,
令 , ，则 ，
即 的对称中心为 ．
（2）先将 的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 倍，得到函数 图象，
即 ，再将 图象右平移 个单位后得到 的图象，
即 ，令 ， ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
即函数 在 上的单调减区间为 .
21．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(2)将 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象．若 图象的一个对
称中心为 ，求 的最小值．
【解析】（1）根据表中已知数据，得 ，则 ， ．
数据补全如下表：
0
x
0 5 0 0
且函数表达式为 ．
（2）由（1）知 ，
得 ．
因为函数 图象的对称中心为 ．
令 ，解得 ．由于函数 的图象关于点 中心对称，令 ，
解得 ．由 可知，当 时， 取得最小值 ．
22．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知函数 的部分图像如
下图所示.
(1)直接写出 的解析式；
(2)若对任意 ，存在 ，满足 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由图象可知 ，解得 ，
则 ，
所以 ，
又函数图象经过点 ，则 ，
解得 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
当 时， 取最大值为 ，
当 时， 取最小值为 ，
所以 ， ，由对任意 ，存在 ，满足 ，
设 的取值范围为 ，则 ，即 ，
又函数 ，
令 ， ，解得 ， ，
令 ，解得 ， ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递
减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
又 ， ， ，
所以 .
