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专题 01 三角函数的图象与综合应用
【命题规律】
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式
考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式
考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，
如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解
三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：齐次化模型
核心考点二：辅助角与最值问题
核心考点三：整体代换与二次函数模型
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
核心考点五： 的取值与范围问题
核心考点六：三角函数的综合性质
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，
且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A2．（2022·全国·高考真题（理））设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
3．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取 ，排除A,B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
4．（2022·全国·高考真题（文））将函数 的图像向左平移 个单位长度后
得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
5．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数 的图像关于点 中
心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【解析】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调
递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，
由 ，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．
6．（2022·全国·高考真题（理））记函数 的最小正周期为T，若
， 为 的零点，则 的最小值为____________．
【答案】
【解析】因为 ，（ ， ）所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
【方法技巧与总结】
1、三角函数图象的变换
（1）将 的图象变换为 的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对 作的变换；
（3）伸缩变换
①沿 轴伸缩时，横坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（纵坐标 不变）；
②沿 轴伸缩时，纵坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（横坐标 不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；的单调递增区间是 ．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合 ， ，
， 的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为 的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于 或 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中
心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为奇函数，则有 ．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间
的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 个周期列不等式（组）求解.
【核心考点】
核心考点一：齐次化模型
【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
（二次隐型齐次化）
或者
这种类型题，分子分母同除以 （一次显型）或者 （二次隐型），构造成 的代数式，
这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【典型例题】例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C.
例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则
,故选:D．
例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为 ，则
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，又倾斜角为
所以
则
.
故选：C.
例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ， ，
所以
．故选: C．
核心考点二：辅助角与最值问题
【规律方法】第一类：一次辅助角: = ．（其中 ）
第二类：二次辅助角
【典型例题】
例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数 ，当 时，
取得最大值，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，（其中 ，
）
当 时， 取得最大值，此时 ，得到 ，
.
故选：A.
例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若 ，则函数
的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，当 时，有 ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， .
即函数 的值域为 .
故选：A
例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若 ，则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
故 的值域为 ，
故选：A.
例8．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，若 ，则 的最
小值是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】函数 ，
，
，
因为 ，则
所以 ，
因为 ，
所以 ， 一个为 的最大值，一个为最小值，
则 ，或
解得 ，或
所以 （i），或 （ii）
对于（i），当 时， 的最小值是 ，
对于（ii），当 时， 的最小值是 ，
综上， 的最小值是 ，
故选：D
例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x的方程 有实数解，则
最小值是______．
【答案】
【解析】 ，
因为关于x的方程 有实数解，
所以 ，即 ，
则点 的轨迹为以原点为圆心，半径大于等于 的同心圆，设点 的轨迹方程为 ，
表示点 到点 距离的平方，
因为 ，
所以点 在圆 内，
点 到圆 上的点的最小值为 ，
所以 最小值时 .
故答案为： .
例10．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值为___________.
【答案】
【解析】 ，
设 ，可得 ，可得 ，
其中 ， ，
因为 ，所以， ，解得 .
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最小值为____.
【答案】
【解析】因为 ，所以令 ，
解得 ，
所以
.因为 ，所以 的最小值为 .
核心考点三：整体代换与二次函数模型
【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，
就是 ， 与 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是 与 之间
的关系，第三类则是 与 之间的关系.
【典型例题】
例12．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值为___________．
【答案】 .
【解析】 ，
， 当 时， ，
故函数 的最小值为 ．
例13．（2022·全国·高考真题（文））函数 的最大值为________.
【答案】
【解析】 =
= = ，因为 ，所以当 时，y取最大值，最大时
为 .
【考点】二倍角公式和二次函数的性质.
例14．（2022·全国·高考真题（理））函数 的最大值是_________.
【答案】
【解析】令 ，则 ，
由 两边平方得
则 ，
配方得 ，当 时取最大值
故答案为
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的最大值为
___________.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
，
，
∴ 时， ，即 ．
故答案为： ．
例16．（2022·全国·高三专题练习）若 是三角形的最小内角，则函数 的最小值
是
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为 是三角形的最小内角，所以 ，
设 ， 则 ，
原式 ，在 上递减， ，
故选B.
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
【规律方法】
关于 和 ，如图， 将 图像中 轴上方部分保留， 轴下方部分沿
着 轴翻上去后得到，故 是最小正周期为 的函数，同理 是最小正周期为 的函数； 是将 图像中 轴右边的部分留下，左边的删除，再将 轴右边图像作对称至左边
故 不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【典型例题】
例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小值为
C． D． 在 上有解
【答案】D
【解析】 ，
是以 为周期的函数，
当 时， ，
则 ，
，
∴函数 的最小正周期为 ，函数 的最小值为1，故AB错误，
由 ，故C错误；
由 ，∴ 在 上有解，故D正确.
故选：D.
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，给出下述四个结论:
① 是偶函数; ② 在 上为减函数;
③ 在 上为增函数; ④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是（ ）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①，易得 的定义域为 ，关于原点对称，
因为
，所以 是偶函数，故正确；
对于②和③，因为 ，
，
且 ，所以 在 不是减函数，在 也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当 时，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
当 时，
，
因为 ，
所以 ，所以 ；
当 时， ；
当 时，
，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以，综上所述，当 时， 的最大值为 ，由于 为偶函数，所以当 时， 的最大值
也为 ，故 的最大值为 ，故④正确；
故选：D例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数 ，以下结论正确
的是（ ）
A． 是 的一个周期 B．函数在 单调递减
C．函数 的值域为 D．函数 在 内有6个零点
【答案】C
【解析】因为 ，所以A错误；
当 ， ，其中 ，
不妨令 为锐角，所以 ，所以 ，因为 ，所以B错误；
因为 是函数 的一个周期，可取一个周期 上研究值域，当 ，
， ，所以
，即 ；因为 关于 对称，所以当 时 ，
故函数 在 上的值域为 ，故C正确；
因为函数 为偶函数，所以在区间 上零点个数可通过区间 上零点个数，由 ，
在 图像知由2个零点，所以在区间 上零点个数为4个，所以D错误．
故选:C.
例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数 ，则
（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为
C． 在 上单调递减 D． 在 上有4个零点
【答案】BD
【解析】 ；
当 时，
，
当 时，
，作出函数 的图象，
如图所示，观察可知，函数 的最小正周期为 ，故A错误；
函数 的最大值为 ，故B正确；函数 在 上先减再增再减，故C错误；
与x轴在 上有4个交点，故D正确.
故选:BD．
例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数 的最大值为
______.
【答案】
【解析】因为 的定义域为 ，
所以 为偶函数，
当 时，
， ，
所以当 时，函数取得最大值 ，
综上可知函数的最大值 ，
故答案为：
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
① 在 上的最小值是1；② 的最小正周期是 ；
③直线 是 图象的对称轴；
④直线 与 的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
【答案】①③④
【解析】对于①，当 时，
且 ，则当 时，函数 取最小值，即 ，故①正确；
对于②，∵ ， ， ，则：
故函数 的最小正周期不是 ，②错误；
对于③，若k为奇数，则
；
若k为偶数，则 .
由上可知，当 时， ，
所以，直线 是 图象的对称轴，③正确；
对于④，因为∵ ，
所以 为函数的周期.
当 时， ；
当 时， .
综上可知， .
当 时， ， ，即函数 与 在 上的图象无交点：
当 时， ， ，所以，函数 与 在 上的图象也无交点.作出函数与函数 在 上的图象如下图所示：
由图像可知，直线 与 的图象恰有2个公共点，故④正确.
故答案为：①③④.
例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上递增；
③ 在 上有4个零点；
④ 的最大值为2.
其中所有正确结论的编号__________.
【答案】①④
【解析】 定义域为R， ，故 是偶函数，①正确；
在 上单调递减， 在 上单调递减，故 在区间
上递减，②错误；
当 时， ，当 或 时， ，结合函数 是偶函数，故 时，
，故 在 上有3个零点，③错误；
， ，则 ，且存在 时， ，综上：
的最大值为2，④正确.
故答案为：①④
例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数 ，下述四个结论正确结
论的编号是__________.
① 是偶函数； ② 的最小正周期为 ；
③ 的最小值为0； ④ 在 上有3个零点.【答案】①②③
【解析】对①，因为函数 的定义域为 ，
，
所以 是偶函数，故①正确；
对②，因为 ，最小正周期为 ，
的最小正周期为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，故②正确；
对③，
.
因为 ，当 时， 取得最小值为 ，故③正确.
对④，令 ，即 ，
解得 或 （舍去）.
当 时， ，解得 或 ，
所以 在 上有 个零点.故④错误.
故选：①②③
核心考点五： 的取值与范围问题
【规律方法】1、 在 区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{
b a a
⇒¿| − |≤ ¿ ≥ ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ≤aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
同理， 在区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{
b a a
⇒¿| − |< ¿ > ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ
