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2025二轮复习专项训练13
三角函数的图象与性质
[考情分析] 高考必考内容，重点考查三角函数的图象与性质及三角函数图象变换的正用、
逆用，多以选择题和填空题的形式考查，也在解答题中出现，难度中等．
【练前疑难讲解】
一、三角函数的图象及变换
图象变换
(先平移后伸缩)
y＝sin x―――――――――→
y＝sin(x＋φ) ――――――――――――→
y＝sin(ωx＋φ)―――――――――――→
y＝Asin(ωx＋φ)．
(先伸缩后平移)
y＝sin x――――――――――――→
y＝sin ωx――――――――→
y＝sin(ωx＋φ)―――――――――――→
y＝Asin(ωx＋φ)．
二、三角函数的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：五点法、特殊点法．
三、三角函数的性质
三角函数的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移
学科网（北京）股份有限公司个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·云南曲靖·一模）函数 （其中 ， ， ）的部
分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数 的最小正周期是
C．函数 的图象关于直线 对称
D．将函数 的图象向左平移 个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称
4．（2023·广东肇庆·二模）函数 的部分图像如图
所示， ，则下列选项中正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 的最小正周期为
B． 是奇函数
C． 的单调递增区间为
D． ，其中 为 的导函数
三、填空题
5．（2023·内蒙古包头·一模）记函数 的最小正周期为
T．若 为 的极小值点，则 的最小值为 ．
6．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，若
且 ，则 的取值范围为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C A AC AD
1．C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部
分大致图像，考虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为
，所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关
系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
2．A
【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形
式，再求 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单
调区间内即可，注意要先把 化为正数．
3．AC
【分析】利用图象求出函数 的解析式，代值计算可判断A选项；利用正弦型函数的周
期性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判
断D选项.
【详解】由图可知， ，
函数 的最小正周期 满足 ，则 ， ，B错；
所以， ，
学科网（北京）股份有限公司，可得 ，
因为 ，所以， ，则 ，可得 ，
所以， ，则 ，A对；
，
所以，函数 的图象关于直线 对称，C对；
将函数 的图象向左平移 个单位长度以后，
得到函数 的图象，所得函数为非奇非偶函数，D错.
故选：AC.
4．AD
【分析】根据题意可求得函数的周期，即可判断A，进而可求得 ，再根据待定系数法可
求得 ，再根据三角函数的奇偶性可判断B，根据余弦函数的单调性即可判断C，求导计
算即可判断D.
【详解】解：由题意可得 ，所以 ，故A正确；
则 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
所以 ，
则 为偶函数，故B错误；
令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，故C错误；
，
则 ，故D正确.
故选：AD.
5．14
【分析】首先表示出 ，根据 求出 ，再根据 为函数的极小值点，即可
求出 的取值，从而得解；
【详解】解： 因为 所以最小正周期 ，
又 所以 ，即 ；
又 为 的极小值点，所以 ，解得 ，因为
，所以当 时 ；
学科网（北京）股份有限公司故答案为：14
6．
【分析】根据 用余弦定理得到 ，再结合正弦定理化简得
，从而可得 ，则 化为 ，利
用对勾函数单调性求解范围即可.
【详解】由余弦定理得 ，将 代入，则 ，
故 ，又由正弦定理得 ，且
，
整理得 ，因为 ，故 或 （舍去），
得 ，于是 ，
由于 ，则 ，而函数 在 上单调递增，
所以 ，即 .
故答案为：
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 ．若
在区间 内没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司2．（2024·北京·高考真题）设函数 .已知 ， ，且
的最小值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·山西·一模）定义在 上的函数 满足在区间
内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．将 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称
C． 图象的一个对称中心为
D． 在区间 上单调递增
4．（2023·四川乐山·二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并
不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的
函数解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在长方形 中， ， ，从 上的一
学科网（北京）股份有限公司点 发出的一束光沿着与 夹角为 的方向射到 上的 点后，依次反射到 、
上的 、 点，最后回到 点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川·模拟预测）函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·新疆·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难
入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研
究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标
中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
9．（2023·河南新乡·二模）已知函数 在 上存在零点，
且在 上单调，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一下·河南·阶段练习）将函数 的图象向右平移 个
单位长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．7 B．5 C．9 D．11
二、多选题
11．（2021·河北沧州·二模）若关于 的方程 在区间 上有
且只有一个解，则 的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1
12．（2023·湖南郴州·一模）已知函数 向左平移 个单位长度，
学科网（北京）股份有限公司得到函数 的图像，若 是偶函数，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．点 是 图像的一个对称中心
C． 在 的值域为
D．函数 在 上单调递增
13．（2023·山西临汾·一模）已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的图象关于点 中心对称
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减
D．将 的图象向左平移 个单位，可以得到 的图象
14．（2024·广西·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度，
再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，得到函数 的图象，
则关于 的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．偶函数
C．在 上单调递减 D．关于 中心对称
学科网（北京）股份有限公司15．（2021·福建·模拟预测）如图所示，函数 ， 的部分图象
与坐标轴分别交于点 ， ， ，且 的面积为 ，以下结论正确的是（ ）
A．点 的纵坐标为
B． 是 的一个单调递增区间
C．对任意 ，点 都是 图象的对称中心
D． 的图象可由 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，
再把得到的图象向左平移 个单位得到
16．（23-24高三上·重庆·期末）下列函数中，其图象关于点 对称的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
17．（2023·北京海淀·一模）已知函数 ．若 在区间
上单调递减，则 的一个取值可以为 ．
18．（22-23高三下·上海松江·阶段练习）已知函数 ，则函数
学科网（北京）股份有限公司的最小正周期是 ．
19．（2022·上海静安·一模）函数 ，当y取最大值时，x的取值
集合是 ．
20．（2023·上海虹口·一模）设函数 （其中 , ）,若函数
图象的对称轴 与其对称中心的最小距离为 ,则 ．
21．（2023·四川达州·一模）已知函数 ，则 的值为
.
22．（2022·江西·模拟预测）函数 的最大值为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C C A D C D
题号 11 12 13 14 15 16
答案 AC BC AC BCD BC BCD
1．D
【分析】利用三角恒等变换公式以及正弦函数的图象性质求解.
【详解】 ,
若 ，因为 ，所以 ，
因为 在区间 内没有零点，
所以 ，解得 ；
若 ，因为 ，所以 ，
因为 在区间 内没有零点，
所以 ，解得 ；
学科网（北京）股份有限公司综上， ，
故选:D.
2．B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知： 为 的最小值点， 为 的最大值点，
则 ，即 ，
且 ，所以 .
故选：B.
3．D
【分析】根据题意可求出 的值，从而可得到 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【详解】依题可知 ，于是 ，于是 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
对于A，由 ，则 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B，将 的图象向右平移 个单位长度后得 ，
则 ，所以 不关于原点对称，故B错误；
对于C，由 ，所以 不是 图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，由 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，故D
正确．
故选：D．
学科网（北京）股份有限公司4．A
【分析】由图像可知，该函数为奇函数，根据奇偶函数的定义，得出A，B为奇函数，再根
据函数图像中 ，判断出A对，B错；由图像得 ，判断出C，D错误，即可
得出答案．
【详解】对于A，函数 ，
因为 ，所以函数为奇函数，
又 ，故A正确；
对于B，函数 ，
因为 ，所以函数为奇函数，
又 ，故B错误；
对于C，函数 ，
因为 ，故C错误；
对于D，函数 ，
，故D错误，
故选：A．
5．C
【分析】记 ，设 ，由几何关系用 逐个三角形推出
，再由 中 ， ，
最终求出结果.
学科网（北京）股份有限公司【详解】记 ，根据对称性得到， ，
设 ， ，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
， ，得 ．
故选：C
6．C
【分析】
借助正切函数的二倍角公式可得 ，结合函数定义域及正切型函数的周期性计
算即可得.
【详解】 ， ，
又 ，可得 ，
即 ，且 、 ，故 .
故选：C.
7．A
【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除C、D，再由特殊值排除B，即可判断.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， ，
则 ，
所以 为偶函数，函数图象关于 轴对称，故排除C、D；
又 ，由于 ，所以 ，故排除B；
故选：A
8．D
【分析】由定义域判断A；利用特殊函数值： 、 的符号判断B、C；利用奇偶性
定义及区间单调性判断D.
【详解】A：函数的定义域为 ，不符合；
B：由 ，不符合；
C：由 ，不符合；
D： 且定义域为 ， 为偶函数，
在 上 单调递增， 上 单调递减，
结合偶函数的对称性知： 上递减， 上递增，符合.
故选：D
9．C
【分析】根据函数的零点和单调性求出 ，从而可得 根据函
数在 上单调，即可求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
因为 在 上存在零点，所以 ，解得 ．
又 在 上单调，所以 ，即 ，
解得 ，则 ，
则 则 解得 ．
故选：C.
10．D
【分析】求出 ，根据 可得ω，从而可求其最小值.
【详解】 ，
， ，
由题可知， ， ，解得 ， ，
又 ， 当 时， 取得最小值11．
故选：D．
11．AC
【分析】整理换元之后，原问题转化为 在区间 上有且只有一个解，即
的图象和直线 只有1个交点. 作出简图，数形结合可得结果.
【详解】 整理可得 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，因为 ，则 .
所以 在区间 上有且只有一个解，即 的图象和直线 只有
1个交点.
由图可知， 或 ，解得 或 .
故选：AC.
12．BC
【分析】
A选项，根据 为偶函数及 ，得到 ，进而得到A错误；B选项，计算出
，B正确；C选项，由 得到 ，从而结合图象求出值域；
D选项，由 得到 ，结合图象得到答案.
【详解】由题意得 ， ，
解得 ，
因为 ，所以只有当 ， 满足题意，
A选项， ，故最小正周期 ，A错误；
学科网（北京）股份有限公司B选项， ，故 ，
故点 是 图像的一个对称中心，B正确；
C选项， ，则 ，故 ，C正确；
D选项， ，则 ，由于 在 上不单调，
故 在 上不单调递增，D错误.
故选：BC
13．AC
【分析】用余弦函数的图像与性质，采用整体代入的思想对选项逐一判断即可.
【详解】由 可知， 解得 ，所以函数的对称中
心为 ， 故A选项正确；
令 解得 ，所以函数的对称轴为 ， ，故B选项错误；
令 ，解得 ，所以函数的单调递减区间为
，故C选项正确；
将 的图象向左平移 个单位得 ，故D选项错
误；
故选：AC
学科网（北京）股份有限公司14．BCD
【分析】A选项，根据辅助角公式，平移和伸缩变换得到 ，从而得到
的最小正周期；B选项，由函数奇偶性定义得到B正确；C选项，由 得
到 ，由整体法得到函数的单调性；D选项， ，
故D正确.
【详解】A选项， ，
的图象向右平移 个单位长度得到
，
再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，得到 ，
所以 的最小正周期为 ，A错误；
B选项， 的定义域为R，且 ，
故 是偶函数，B正确；
C选项，由 得 ，
由于 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，C正确；
D选项， ， ，所以D选项正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：BCD.
15．BC
【分析】首先求出函数的周期，再根据 的面积，求出 的纵坐标，即可求出函数解
析式，再根据正切函数的性质一一判断即可；
【详解】解：因为 ，所以最小正周期 ，即 ，又 的
面积为 ，所以 ，所以 ，即 的纵坐标为 ，
故A错误；
因为 ，所以 ，所以 ，因为
所以 ，所以 ，令 ， ，解得
， ，所以函数的单调递增区间为 ， ，
故B正确；
令 ， ，解得 ， ，所以函数的对称中心为 ，
，故C正确；
将 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，得到 ，再将函数向左
平移 个单位，得到 ，故D错误；
故选：BC
16．BCD
【分析】利用三角函数的性质，把 代入验证即可判断得解.
【详解】对于A，当 时， ，A不是；
对于B，当 时， ，B是；
学科网（北京）股份有限公司对于C，当 时， ，C是；
对于D，当 时， ，正切值不存在，D是.
故选：BCD
17． （不唯一）
【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】由 ，
因为 在区间 上单调递减，且 ，
所以有 ，
因此 的一个取值可以为 ，
故答案为：
18．
【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期.
【详解】 ，故
，
故答案为： ．
19． ．
【分析】把 作为一个整体，结合二次函数性质求解．
【详解】 ，又 ，
所以 时， ，此时 ．
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
20．
【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于 的
等式,再根据 的范围即可得到解析式.
【详解】解:由题知,因为 对称轴与对称中心的最小距离为 ,
所以 ,即 ,
所以 ,此时 ,
因为对称轴为 ,
故有: ,
即 ,
因为 ,
所以 ,
故 .
故答案为:
21．
【分析】根据题意，由函数解析式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数 ，
则
.
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
22． /
【分析】分子分母同时除以 ，然后使用基本不等式可得.
【详解】解：∵ ，∴ ，由题意得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 的最大值为 ．
故答案为：
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·一模）已知函数 的部分图象如图所示，其中
.在已知 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北·模拟预测）已知函数 （ ）在 上有三个
零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
3．（2023·江苏南通·二模）记函数 的最小正周期为T．若
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知函数 的最小正周期为
，则 在区间 上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2023·江西赣州·一模）已知函数 的最小正周期为 ，
，且 的图像关于点 中心对称，若将 的图像向右平移
个单位长度后图像关于 轴对称，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川绵阳·二模）已知直线 的方程为 ， ，则直线 的倾
斜角范围是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
7．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 在区间 上单调递增
C． 图象的一个对称中心为 D． 的最小正周期为π
8．（2023·河北唐山·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的一个
周期为2，则（ ）
A．1为 的周期 B． 的图象关于点 对称
C． D． 的图象关于直线 对称
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
学科网（北京）股份有限公司D．将 的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在 上单调递增
10．（2023·河北衡水·一模）已知 ，周期
是 的对称中心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2023·全国·三模）已知函数 的定义域均为 ， 为偶函数，
，且当 时， ，则（ ）
A． 的图象关于点对称
B．
C．
D．方程 在区间 上的所有实根之和为144
12．（2024·江苏·模拟预测）设函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 在 上单调递增
C． 的最小值为 D． 在 上有 个零点
13．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）将函数 的图象向左平移 个单
位得到函数 ，则下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 的周期为 B． 的一条对称轴为
C． 是奇函数 D． 在区间 上单调递增
14．（2023·山东威海·一模）已知函数 的部分图像如图
所示，则（ ）
A． B．
C． 在 上单调递增 D．若 为偶函数，则
15．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）下列函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单
调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
16．（2023·陕西宝鸡·二模）如图是函数 的部分图像，则
的单调递增区间为 ．
学科网（北京）股份有限公司17．（2024·湖北·二模）已知函数 满足 恒成立，
且在区间 上无最小值，则 ．
18．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数 （ ， ）在区间
内单调，在区间 内不单调，则ω的值为 ．
19．（2024·北京·三模）已知函数 ，若 是偶函数，
则 ；若圆面 恰好覆盖 图象的最高点或最低点共3个，则 的
取值范围是 .
20．（2021·甘肃兰州·模拟预测）函数 ， 的值域是
．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B B C C C D
题号 11 12 13 14 15
答案 AC ABC AD AC BD
1．B
【分析】根据函数图象可知， 是函数 的两个零点，即可得 ，利用已知
学科网（北京）股份有限公司条件即可确定 的值.
【详解】根据图象可知，函数 的图象是由 向右平移 个单位得到的；
由图可知 ，利用整体代换可得 ，
所以 ，若 为已知，则可求得 .
故选：B
2．A
【分析】由条件结合零点的定义可得 在 上有三个根，结合正弦函数
性质列不等式可求 的取值范围.
【详解】令 ，
则 ，
当 时，则 ，
因为函数 在 上有三个零点，
所以 ，
，
∴
故选：A.
3．C
【分析】由最小正周期 可得 ，再由 即可得
学科网（北京）股份有限公司15
，即可求得ω=
.
4
【详解】根据最小正周期 ，可得 ，解得 ；
又 ，即 是函数 的一条对称轴，
所以 ，解得 .
15
又 ，当 时，ω= .
4
故选：C
4．C
【分析】由周期公式求得 ，结合换元法即可求得最大值.
【详解】由题意 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，
所以 在区间 上的最大值为 ，当且仅当 时等号成立.
故选：C.
5．B
【分析】根据周期范围得出 范围，根据对称中心得出 的值，并结合 范围得出 的值，
即可得出 的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出 ，即可根据图像
关于 轴对称，得出 ，再根据 的范围得出实数 的最小值.
【详解】 ， ，且 ，
，即 ，
学科网（北京）股份有限公司的图像关于点 中心对称，
，且 ，即 ，解得 ，
，
取 ， ，
，
将 的图像向右平移 个单位长度后得到 的
图像，
的图像关于 轴对称，
，解得 ，
，
的最小值，令 ，得 ，
故选：B.
6．B
【分析】计算 ，再考虑 和 两种情况，得到倾斜角范
围.
【详解】 ，则 ，
设直线 的倾斜角为 ，故 ，
所以当 时，直线 的倾斜角 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时，直线 的倾斜角 ；
综上所述：直线 的倾斜角
故选：B
7．C
【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，
即函数的定义域不关于原点对称，所以 不是奇函数，故A错误；
当 时， ，此时 无意义，故 在区间 上单调递增不正确，
故B错误；
当 时， ，正切函数无意义，故 为函数的一个对称中心，故C正确；
因为 ，故 是函数的一个
周期，故D错误.
故选：C
8．C
【分析】举例判断A，B，D错误，再由条件结合奇函数的性质和周期函数的性质列关系式
论证C正确.
【详解】因为 为定义域为 奇函数，周期为 ，
故函数 满足条件，
学科网（北京）股份有限公司令 可得， ，
函数 的最小正周期为4，对称中心为 ， ，
函数 没有对称轴，
A错误，B错误，D错误；
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
取 可得， ，
因为 的一个周期为2，
所以 ，
取 可得， ，
由 可得，函数 为周期为4的函数，
所以 ，C正确；
故选：C.
9．C
【分析】由图象求出 的表达式后逐一验证选项即可.
【详解】由函数图象可知，最小正周期为 ，所以 ，
将点 代入 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，故 ，故A错误；
所以 ，故B错误；
令 ，则 ，所以 ， ，解得
， ，
所以不等式 的解集为 ，故C正确；
将 的图象向右平移 个单位长度后，得到 的图
象，令 ， ，
解得 ， ，
令 得 ，因为 ，故D错误.
故选：C.
10．D
【分析】根据条件 ，列出方程即可求得 ，然后根据对称中心以及周期范围求
出 ，即可得到 的解析式，从而得到结果.
【详解】因为 ，
由 可得 ，且 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 是 的对称中心，故
解得
且 ，即
所以，当 时，
即 ，
所以
故选:D
11．AC
【分析】利用对称性证明选项A正确；利用函数的周期得到 ，即可判断选项
B；利用周期性证明 ，即可判断选项C；在同一坐标系内作出 与
在 上的大致图象，利用周期性和等差数列求解，即可判断选项D.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，即 ，
又 ，
可得 ，
故 的图象关于点 对称，故A正确；
，
故 是以4为周期的周期函数，
根据题意， ，
故 ，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司，其中 ，
故 ，故C正确；
是周期函数，最小正周期是8，由 得其对称轴为 ，显
然 与 的图象有公共的对称轴 ，
方程 的实根是 与 的图象的公共点的横坐标，
在同一坐标系内作出 与 在 上的大致图象，如图，
可知 ，所以 ，
由图易知 在 上的三个零点之和构成首项为4，公差为24的等差
数列，
故 在区间 上的所有实根之和为 ，故D错误．
故选：AC
【点睛】方法点睛：零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；
（2）图象法（作出函数 的图象分析判断）；（3）方程+图象法（令 得到
，分析两函数 图象即得解）.要根据已知灵活选择方法求解.
12．ABC
【分析】对A：利用奇偶性定义，即可判断；对B：根据复合函数单调性的判断方法，判断
学科网（北京）股份有限公司即可；对C：令 ，利用换元法即可求得结果；对D：先求 在 上的零点，
结合其奇偶性即可判断.
【详解】对A： 的定义域为 ，又 ，故 为偶
函数，A正确；
对B：令 ，显然 是关于 的单调增函数；
此时 ，其对称轴为 ，故 是关于 的单调增函数；
根据复合函数单调性可知， 在 单调递增，故B正确；
对C：由A可知， 为偶函数，故 在 上的最小值即为其在 上的最小值；
令 ，，则 ，
故 的最小值也即 的最小值；
又 ，当 时， 取得最小值为 ；
故 的最小值为 ，C正确；
对D：由A可知， 为偶函数，故只需先判断 在 上的零点个数；
当 ，令 ，即 ，
解得 或 ，故可得 ， 或 ，有 个零点；
故 在 有 个零点，D错误.
故选：ABC.
13．AD
【分析】求出 ，A. 的最小正周期为 ，所以该选项正确；B. 函数
学科网（北京）股份有限公司图象的对称轴是 ，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误；
D. 求出 在区间 上单调递增，所以该选项正确.
【详解】解：将函数 的图象向左平移 个单位得到函数
.
A. 的最小正周期为 ，所以该选项正确；
B. 令 ，函数图象的对称轴不可能是 ，所以该选项
错误；
C. 由于 ，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；
D. 令 ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，所以该选项正确.
故选：AD
14．AC
【分析】借助图像分别计算A=1， ， ，得 ，进而结合三角函
数的奇偶性、单调性对选项逐一分析即可.
【详解】由图像可知A=1, ,则 ，则 ，
故 ，且过点 ，则 ，
，因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司故 ，故A 正确，B错误；
，令 ，
在 时单调递增，
则 在 上单调递增，故C正确；
为偶函数，则 ，
即 ，故D错误；
故选：AC.
15．BD
【分析】根据 的最小正周期可判断A；根据 ，确定 ，结合
正弦函数单调性可判断B；根据 时， ，结合余弦函数单调性可判断
C；数形结合，结合正切型函数图像和性质可判断D.
【详解】对于选项A，函数 的最小正周期为 ，故选项A错误：
对于选项B，函数 的最小正周期为 ，
当 ， ，
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，B正确；
对于C，函数 最小正周期为 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，因为 在 上单调道减，
所以 在 上单调递减，故选项C错误
对于选项D，作出函数 的大致图像如图：
函数 的最小正周期为 ，且在区间 上单调递增，故选项D正确
故选：BD
16． ，
【分析】运用三角函数的周期公式及五点法求得 、 的值，结合同增异减求得其单调递
增区间.
【详解】由图知， ，解得： ，
所以 ，解得： ，
①当 时， ，
则 ， ，解得： ， ，
又因为 ，
所以 无解，故舍去；
②当 时， ，
则 ， ，解得： ， ，
又因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
综述： 且 ，
所以 ，
， ，
解得： ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .
故答案为： ， .
17． /
【分析】首先由条件确定 是函数的最大值，再结合函数的周期的范围，联立后即可
求解.
【详解】由题意可知， 是函数的最大值，
则 ， ，得 ，
且在区间 上无最小值，所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
18．2
【分析】由函数的单调性列不等式组，解出ω的范围，即可得到答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意得 ，即 ．
因为当 时， ，
所以 ( )，则 ，( )，解得：
( ).
令k＝0，则1≤ω≤2，而 ，故 ，又ω∈Z，所以ω＝2，经检验，ω＝2符合题
意．
故答案为：2
19．
【分析】根据偶函数的对称性分析可知 ，即可得结果；结合对称性可知圆
面在y轴右侧仅覆盖1个 图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.
【详解】因为 是偶函数，则 ，
且 ，所以 ；
可得 ，设 的最小正周期为 ，
因为 和 均关于y轴对称，
可知圆面在y轴右侧仅覆盖 图象的1个最低点，
学科网（北京）股份有限公司对于 ，令 ，解得x=1（不妨只考虑y轴右侧，舍负）；
可得 ，解得 ，
且 ，则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： ； .
20．
【分析】求出 的范围，利用二次函数的性质得出值域.
【详解】 ，
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司
