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第 1 讲 三角函数的图象与性质
[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图
象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以
选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．
考点一 三角函数的运算
核心提炼
1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
例1 (1)(2022·菏泽检测)已知角α的终边经过点(－1,2)，则cos 2α等于( )
A．－ B．－
C．－ D.
答案 B
解析 因为角α的终边经过点(－1,2)，
所以sin α＝＝，
cos α＝＝－，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－.
(2)已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝______.
答案
解析 sincos
＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.
∵0<α<，∴0<sin α<cos α.
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝，cos α＝.
二级结论 (1)若α∈，则sin α<α<tan α.(2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，
sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α知一可求二．
跟踪演练1 (1)(2022·山西联考)若sin 10°＝asin 100°，则sin 20°等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 C
解析 由题可知a>0，
sin 10°＝asin 100°＝asin(90°＋10°)＝acos 10°，
又因为sin210°＋cos210°＝1，
解得sin 10°＝，cos 10°＝，
所以sin 20°＝2sin 10°cos 10°
＝2··＝.
(2)已知2cos＝cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________.
答案 －
解析 ∵2cos＝cos(α－π)，
∴2sin α＝－cos α，
∴tan α＝－，
∴sin 2α＋cos 2α＝
＝＝－.
考点二 三角函数的图象与解析式
核心提炼
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤例2 (1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案 B
解析 依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩
大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝sin――――――――――――――→y＝sin的图象―――――――――――――→
y＝sin的图象．
(2)(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的部分图象如图所示，则f(x)等于( )
A．2sin
B．2sin
C．2cos
D．2cos
答案 BC
解析 根据图象，可得A＝2，设f(x)的最小正周期为T，
则T＝－＝，
解得T＝π，所以ω＝＝2.
将最低点的坐标代入
f(x)＝2sin(2x＋φ)中，
得2sin＝－2，
则＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
解得φ＝2kπ－(k∈Z)，
所以f(x)＝2sin(k∈Z)．
令k＝0，则f(x)＝2sin
＝2sin＝－2cos
＝2cos.
规律方法 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为m，则M＝A＋
B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势
还是下降趋势．
跟踪演练2 (1)(2022·安康模拟)已知函数f(x)＝Atan(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度
后与原图象重合，则实数ω的最小值是( )
A. B. C. D．8
答案 A
解析 由题可知，是该函数周期的整数倍，
即＝×k，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，
又ω>0，故其最小值为.
(2)(2022·黄山模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了
得到y＝f(x)的图象，需将函数g(x)＝Acos ωx的图象至少向右平移( )
A.个单位长度 B.个单位长度
C.个单位长度 D.个单位长度
答案 A
解析 由图象可知A＝2，f(x)的最小正周期
T＝2×＝，解得ω＝2，
∴f ＝2sin＝2，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又－π<φ<0，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＝2sin.
∵g(x)＝2cos 2x＝2sin
＝2sin，
∴将g(x)的图象至少向右平移＋＝个单位长度可得f(x)的图象．考点三 三角函数的性质
核心提炼
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋
2kπ(k∈Z)可得单调递减区间．
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴．
(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝
Asin(ωx＋φ)为偶函数．
例3 (1)(2022·赣州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离为2π，若f(x)在
(－m，m)上单调递增，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为f(x)＝sin(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离2π，
则T＝2π，即T＝4π，则ω＝＝，
则f(x)＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，
得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)在上单调递增，
由(－m，m)⊆得0<m≤，
所以m的取值范围是.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象
关于点中心对称，则f 等于( )
A．1 B. C. D．3
答案 A
解析 因为<T<π，所以<<π，
解得2<ω<3.
因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，
所以b＝2，且sin＋b＝2，
即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，
又2<ω<3，所以<ω＋<，
所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f(x)＝sin＋2，
所以f ＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A.
规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正
弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据 y＝sin x的性质求出
f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝
sin t的性质判断各选项．
跟踪演练3 (1)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中
心对称，则( )
A．f(x)在区间上单调递减
B．f(x)在区间上有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
答案 AD
解析 因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－＋
kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ＝，
所以f(x)＝sin.
对于A，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故A正确；
对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上只有一个极值点，故B不正确；
对于C，因为f ＝sin＝sin 3π＝0，所以x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确；
对于D，因为f′(x)＝2cos，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，
则由2cos＝－1，得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z)．
当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝，
则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0；
当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－，
方程－＝－kπ－(k∈Z)无解．
综上所述，直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，故D正确．
(2)(2022·广州联考)若函数y＝tan在上单调递减，且在上的最大值为，则ω＝________.
答案 －
解析 因为函数y＝tan在上单调递减，
所以ω<0，≥，则－≤ω<0，
又因为函数在上的最大值为，
所以－ω＋＝＋kπ，k∈Z，
即ω＝－－3k，k∈Z，所以ω＝－.专题强化练
一、单项选择题
1．(2022·日照模拟)已知角θ的终边经过点P，则角θ可以为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵角θ的终边经过点P，
∴θ是第四象限角，且cos θ＝，sin θ＝－，
则θ＝＋2kπ，k∈Z，
结合选项知角θ可以为.
2．(2022·惠州模拟)已知tan α＝2，π<α<，则cos α－sin α等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 由tan α＝＝2，
且sin2α＋cos2α＝1，π<α<，
得sin α＝－，cos α＝－，
所以cos α－sin α＝－－＝.
3.(2022·济宁模拟)如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹角为θ，则(sin θ
＋cos θ)(sin θ－cos θ)等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 时针指向9时，分针指向12，当分针转到指向9时，旋转了圆周的，因此时针旋转了
1个小时的，所以θ＝×＝，
所以(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝sin2θ－cos2θ
＝－cos 2θ＝－cos ＝－.
4．(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C
关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A. B.
C. D.答案 C
解析 记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z)．因为ω＞0，所以ω ＝.故选C.
min
5.(2022·福州质检)已知函数f(x)＝sin(ωx－φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(
)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 D
解析 由图象可知，函数y＝f(x)的最小正周期T满足＝－＝1，∴T＝2，ω＝＝π，
∴f(x)＝sin(πx－φ)，由f ＝sin＝0，
得－φ＝kπ，得φ＝－kπ，k∈Z，
∵－<φ<，∴φ＝，
∴f(x)＝sin，
由2kπ－≤πx－≤2kπ＋，k∈Z，
得2k－≤x≤2k＋，k∈Z，
因此，函数y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
6．(2022·云南师大附中模拟)已知函数f(x)＝sin x＋acos x(a>0)的最大值为2，若方程f(x)＝b
在区间内有三个实数根x，x，x，且x<x<x，则x＋2x＋x 等于( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A. B. C．4π D.
答案 A
解析 f(x)＝sin x＋acos x＝sin(x＋φ)，
由题知＝2，且a>0，解得a＝，
于是f(x)＝2sin.
方程f(x)＝b在区间内的实数根，即为在区间内y＝f(x)的图象与直线y＝b的交点的横坐标，
如图所示，由f(x)图象的对称性可知，＝，＝，
即x＋x＝，x＋x＝，
1 2 2 3
所以x＋2x＋x＝(x＋x)＋(x＋x)＝.
1 2 3 1 2 2 3
7.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长
度的“会圆术”．如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，
CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝
60°时，s等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意知，△OAB是等边三角形，
所以AB＝OA＝2.
连接OC(图略)，因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，OC＝＝.
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
所以CD＝OD－OC＝2－，
所以s＝AB＋＝2＋＝.
8．(2022·潍坊模拟)设函数y＝sin在区间上的最大值为g(t)，最小值为g(t)，则g(t)－g(t)的
1 2 1 2
最小值为( )
A．1 B.
C. D.
答案 D
解析 因为函数y＝sin的最小正周期为T＝＝π，
所以区间的区间长度是该函数的最小正周期的，
因为函数y＝sin在区间上的最大值为g(t)，最小值为g(t)，
1 2
所以当区间关于它的图象的对称轴对称，即对称轴为＝t＋时，g(t)－g(t)取得最小值，且此
1 2
时函数y＝sin在上有最值±1，
不妨设y在上有最大值g(t)＝1，
1
则有sin＝1，
所以sin＝1，即2t＋＝＋2kπ，k∈Z，
得t＝kπ－，k∈Z，
所以g(t)＝sin
2
＝sin
＝sin＝，
所以g(t)－g(t)的最小值为.
1 2
二、多项选择题
9．(2022·武汉质检)函数f(x)＝sin在下列区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
答案 BC
解析 f(x)＝－sin，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
当k＝0时，有x∈；
当k＝－1时，有x∈，
只有B，C符合．
10．(2022·山东联考)已知曲线C ：y＝cos 2x，C ：y＝－sin，则下面结论正确的是( )
1 2
A．把曲线C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
1
单位长度，得到曲线C
2
B．把曲线C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
1
单位长度，得到曲线C
2
C．把曲线C 向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵
1
坐标不变，得到曲线C
2
D．把曲线C 向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵
1
坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，得到曲线C
2
答案 ACD
解析 对于选项A，把曲线C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到
1
的曲线向右平移个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为
y＝cos＝cos
＝－sin，故A正确；
对于选项B，把曲线C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
1
向右平移个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为
y＝cos＝cos≠－sin，故B错误；
对于选项C，把曲线C 向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来
1
的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数解析式为
y＝cos＝cos
＝－sin，故C正确；
对于选项D，把曲线C 向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来
1
的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，所得曲线对应的函数解析
式为
y＝cos＝cos
＝－sin，故D正确．
11．(2022·衡水模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)满足f ＝f ，且f ＝0，则下列说法正确的有(
)
A．ω＝2
B．φ＝
C．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
D．点是f(x)图象的一个对称中心
答案 ACD
解析 由f ＝f
可知直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，故C选项正确；
又f ＝0，所以是函数f(x)的图象的一个对称中心，
所以－＝＋(k∈Z)，
即T＝(k∈Z)，
又因为T＝，
所以ω＝4k＋2(k∈Z)，
因为0<ω<4，所以当k＝0时，ω＝2符合，故A选项正确；
所以×2＋φ＝kπ(k∈Z)，
所以φ＝kπ－(k∈Z)，
因为|φ|<，所以当k＝2时，φ＝－符合条件，故B选项错误；
从而f(x)＝cos，
f ＝cos＝cos ＝0，故点是f(x)图象的一个对称中心，故D选项正确．
12．(2022·德州联考)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我
们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝|cos
x|＋|sin x|，则下列结论不正确的是( )
A．f(x)是偶函数B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)的最小值为1
答案 BC
解析 因为x∈R，f(－x)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，A正确；
f(x)显然是周期函数，
因为f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＋|sin(x＋π)|
＝|cos x|＋|sin x|＝f(x)，B错误；
因为当x∈时，
f(x)＝|cos x|＋|sin x|
＝cos x＋sin x＝2sin，
所以f(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减，C错误；
因为当x∈时，
f(x)＝|cos x|＋|sin x|
＝－cos x＋sin x＝2sin，
所以f(x)＝
当x∈时，设t＝x＋，
则t∈，
所以sin t∈，所以f(x)∈[1,2]，
同理，当x∈时，f(x)∈[1,2]，
由B中解答知，π是f(x)的周期，所以f(x)的最小值为1，D正确．
三、填空题
13．(2022·黄山模拟)已知tan＝，则sin x＝________.
答案
解析 由tan＝，
得＝，
即＝，即cos2x＝sin x，
整理得sin2x＋sin x－1＝0，而－1≤sin x≤1，
解得sin x＝.
14．(2022·石家庄模拟)已知角α的终边经过点P(8,3cos α)．则sin α＝________.
答案
解析 ∵|OP|＝＝，∴sin α＝，
cos α＝，
∴sin α·＝3cos α，
即sin2α(64＋9cos2α)＝9cos2α，
∴sin2α[64＋9(1－sin2α)]＝9(1－sin2α)，
即9sin4α－82sin2α＋9＝0，
解得sin2α＝9(舍去)或sin2α＝，
∵cos α>0 ∴sin α>0，
∴sin α＝.
15．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为
f(x)的零点，则ω的最小值为________．
答案 3
解析 因为T＝，f ＝，
所以cos＝，即cos φ＝.
又0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝cos.
因为x＝为f(x)的零点，
所以ω＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得ω＝9k＋3(k∈Z)．
又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值，
且最小值为3.
16．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件>0的最
小正整数x为________．
答案 2
解析 由题图可知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝
2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，
则2×＋φ＝，得φ＝－，
所以f(x)＝2cos，
所以f ＝2cos
＝2cos＝2cos ＝1，f ＝2cos＝2cos ＝0，
所以>0，
即[f(x)－1]·f(x)>0，
可得f(x)>1或f(x)<0，
所以cos>或cos<0.
当x＝1时，2x－＝2－∈，
cos∈，不符合题意；
当x＝2时，2x－＝4－∈，
cos<0，符合题意．
所以满足题意的最小正整数x为2.
