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考点 07 三角函数的图像与性质（核心考点讲与练）
一、同角三角函数基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： si n 2α ＋ co s 2α ＝ 1.
(2)商数关系： ＝ ta n__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α － si n__α － si n__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α － co s__α cos__α － co s__α sin__α － si n__α
正切 tan α tan__α － ta n__α － ta n__α
函数名改变，符号看象
口诀 函数名不变，符号看象限
限
二、三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)， ， (2π ， 0) .
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，， (π ，－ 1 )，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x ≠ k π ＋ }
值域 [ － 1 ， 1 ] [ － 1 ， 1 ] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [ 2k π － π ， 2k π ]
递减区间 [ 2k π ， 2k π ＋ π ] 无
对称中心 (k π ， 0 )
对称轴方程 x ＝ k π ＋ x ＝ k π 无三、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
A T＝ f＝＝ ω x ＋ φ φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
4．三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变
电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型 f(x)＝Asin(ωx＋
φ)＋k中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.
1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性
列不等式求解.
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
2.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，B＝ .
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝ .
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高
点或最低点代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与
x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝ ；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)
为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝ ；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝
2π.
3．识别函数图象的方法技巧
函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
4.(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.
(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.
三角函数图象性质
1.（多选题）（2021湖北省新高考高三下2月质检）已知函数 在 上是减函数，
则下列表述正确的是（ ）A.
B. 的单调递减区间为 ，
C.a的最大值是 ，
D. 的最小正周期为
【答案】BCD
【分析】由于函数 在 上是减函数，从而可得 ，进
而可求出 取值范围，函数的周期和最值，从而可判断ACD，再利用余弦函数的性质求出单调区间，可判
断B
【详解】解：∵函数 在 上是减函数， ，
∴ ，∴ ，
故 的最小值为 ，a的最大值是 ， 的最小正周期为 ，故A错，C、D正确；
在 ， ，函数 单调递减，所以B
正确
故选：BCD.
2. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 导函数为
B. 函数 的图象关于直线 对称C. 函数 在区间 上是增函数
D. 函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到
【答案】C
【分析】利用复合函数的求导法则判定选项A错误，利用 不是函数的最值判定选项B错误，利用
得到 ，进而判定选项C正确，利用图象平移判定选项D错误.
【详解】对于A：因为 ，
所以 ，
即选项A错误；
对于B：因为 ，
所以函数 的图象不关于直线 对称，
即选项B错误；
对于C：当 时， ，
故 在 上是增函数，
即选项C正确；
对于D：因为 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到，
即选项D错误.
故选：C.
根据三角函数图象求解析式
1.（2022年安徽省亳州市第一中学高三上学期9月检测）已知函数
的部分图象如图所示，点 ，则
将函数 图象向左平移 个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍､纵坐标不变，得到的图象对应的
函数解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】首先根据三角函数的图象求得各个参数，由振幅求得 ，由定点坐标代入函数解析式求得
，所以 ，再通过平移伸缩变化，即可得解.
【详解】因为函数 的部分图象经过点 ， ，所以
解得 ，所以 .
将函数 的图象，
然后横坐标变为原来的2倍､纵坐标不变，
得到 的图象.
故选：C.
2 （2020广东省潮州市高三第二次模拟）函数 的部分图象如图所示．
则函数 的单调递增区间为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，然后根据正弦函数的单调性列不
等式求解即可.
【详解】根据函数 的部分图象，
可得： ，
解得： ，
由于点 在函数图象上，可得： ，
可得： ， ，
解得： ， ，
由于： ，
可得： ，即 ，
令 ， 解得： ， ，
可得：则函数 的单调递增区间为： ， ．
故选C．
三角函数图象判断
1.（2020江西省靖安中学高三上学期第二次月考）已知函数 ，则函数 的部分图象
可以为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值 可判断AC，从而得解
【详解】因为 的定义域为 ，且
，
所以 为奇函数，
故BD错误；
当 时，令 ，易得 ，
解得 ，
故易知 的图象在 轴右侧的第一个交点为 ，
又 ，故C错误，A正确；
故选：A
2. . （2022广东省深圳市普通中学高三上学期质量评估）函数 在 上的图象大致为
（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【分析】由奇偶性可排除BC，由 时， 可排除D，由此得到结果.
【详解】 ， 为偶函数，图象关于 轴对称，可排除
BC；
当 时， ，可排除D，知A正确.
故选：A.
三角函数图象变换
1.（2021浙江省金华十校高三模拟）已知奇函数 的图象由函数 的图象向左平
移 个单位后得到，则m可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】逐项验证 是否等于 可得答案.
【详解】当 时，函数 的图象向左平移 个单位后得到
，故A正确；当 时，函数 的图象向左平移 个单位后得到
，故B 错误；
当 时，函数 的图象向左平移 个单位后得到
，故C错误；
当 时，函数 的图象向左平移 个单位后得到
，故D 错误；
故选：A.
2. （2020安徽省合肥市高三第三次教学质量检测）为了得到函数 的图像，只需将函数
的图像
A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位
C. 横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位
D. 横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位
【答案】A
【分析】由条件利用 的图像变换规律，得到结论．
【详解】把函数 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数，再将函数 的图像上所有点向右平移 个单位得到函数 ．
故选A
1. （2021年全国高考乙卷）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简 ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题， ，所以 的最小正
周期为 ，最大值为 .
故选：C．
2. （2021年全国高考乙卷）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到
，即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析
表达式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到
的图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.3. （2021年全国新高考Ⅰ卷）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
4. （2021年全国高考甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________．【答案】2
【分析】先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可得最
小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得
的最小正整数为2.
故答案为：2.
一、单选题
1．（2022·福建·模拟预测）已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：B
2．（2022·辽宁锦州·一模）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用诱导公式得到 ，再将弦化切，代入求解.
【详解】 ，从而故选：B
3．（2022·江西九江·二模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义域、奇偶性与函数值的正负即可得到结果
【详解】函数 在 处无定义，排除选项A
函数 的图像关于原点对称，故 为奇函数，排除选项B
当 时， ， ，故 ，排除选项C
故选：D.
4．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数 的最小正周期为
， 将其图象沿 轴向右平移 个单位， 所得函数为奇函数， 则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式，结合余弦型函数图象的变换性质进行求解即可.
【详解】因为该函数的最小正周期为 ， ，所以 ，即 ，
将该函数图象沿 轴向右平移 个单位得到函数的解析式为 ，
因为函数 为奇函数，
所以有 ，
因为 ，所以当 时，实数 有最小值 ，
故选：C
5．（2022·浙江·模拟预测）已知E，F分别是矩形ABCD边AD，BC的中点，沿EF将矩形ABCD翻折成大
小为 的二面角．在动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中，记二面角 的大小为 ，则
（ ）
A．当 时，sin 先增大后减小
B．当 时，sin 先减小后增大
C．当 时，sin 先增大后减小
D．当 时，sin 先减小后增大
【答案】C
【分析】根据二面角的定义通过作辅助线, 找到二面角的平面角，在 △ 中表示出 的值，利用
的值的变化来判断 的变化即可.
【详解】当 时，由已知条件得 平面 ,
过点 作 ,垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵ 平面 ，∴ , ∴ 平面 ,
又∵ 平面 ，∴ , ∴ 平面 , ∴ ,
则 为二面角 的平面角，
在 △ 中， , 动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中, 不断减小，则 不断增大，即 不断增大，则 、 错误；
当 时，由已知条件得 平面 ,
过点 作 ,垂足 在 的延长线上，过点 作 ,垂足在 延长线上，
∵ 平面 ，∴ , ∴ 平面 ,
又∵ 平面 ，∴ , ∴ 平面 , ∴ ,
则 为二面角 的平面角的补角 ，即 ，
在 △ 中， , 如下图所示，动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中, 先变小后
增大，则 先变大后变小， 先变大后变小，
，则 也是先变大，后变小, 则 正确， 错误；
故选： .6．（2022·四川达州·二模（理））设 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 值域为 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D．
【答案】B
【分析】由题可得 ，进而 ，可判断A，利用三角函数的性质可判断
B，利用导函数可判断C，由题可得 ，可判断D.
【详解】∵ ，
由 ，可得 ，
∴ ，即 或 ，
∴函数的值域为 ，故A错误；
∵ ，
当 时， 单调递增， 单调递减， 单调递增，故 在 上单调递增，故B正确；
∵ ， ，
令 ，则 ，
由 ，可得 ， ，根据正弦函数在 上单调递增，可知在 上存在唯一的
实数 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 在 上有增有减，故C错误；
由 ，可得
，故D错误.
故选：B.
7．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A.利用指数函数的性质判断；B.利用正切函数的性质判断；C.利用正弦函数的性质判断；D.利用
函数的图象判断.
【详解】A. ，不是奇函数，故错误；B. 在 上递增，但在定义域 上不单调，故错误；
C. 在 上递增，但在定义域R上不单调，故错误；
D. ，其图象如图所示：
由图象知：定义域上既是奇函数又是增函数，故正确，
故选：D
8．（2022·山西长治·模拟预测（理））若函数 满足 ，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据周期函数的定义，结合特例法进行判断求解即可.
【详解】因为 ，
所以函数的周期为 .
A：因为 ，
所以 ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意；
B：因为 ，所以 ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意；
C：该函数的最小正周期为： ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意；
D：该函数的最小正周期为： ，因此本选项符合题意，
故选：D
9．（2022·天津·一模）已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】根据图象与 轴的交点纵坐标与振幅的关系，结合所处的区间的单调性，以及后续的单调递增区
间上的零点，列出方程组求解即得.
【详解】由函数图象与 轴的交点纵坐标为1，等于振幅2的一半，且此交点处于函数的单调减区间上，
同时在同一周期内的后续单调区间上的零点的横坐标为 ,并结合 ， ，可知 ，解得 ， ,
故选：A
10．（2022·新疆·模拟预测（理））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，
数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用
函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标 中抽象出一个函数的图象如图，其对
应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由定义域判断A；利用特殊函数值： 、 的符号判断B、C；利用奇偶性定义及区间单调
性判断D.
【详解】A：函数的定义域为 ，不符合；
B：由 ，不符合；
C：由 ，不符合；D： 且定义域为 ， 为偶函数，
在 上 单调递增， 上 单调递减，
结合偶函数的对称性知： 上递减， 上递增，符合.
故选：D
11．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））己知函数 在区间 上单调，
且满足 .有下列结论：
① ；
②若 ，则函数 的最小正周期为 ；
③关于x的方程 在区间 上最多有5个不相等的实数根；
④若函数 在区间 上恰有5个零点，则 的取值范围为 .
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】对于①：利用对称性直接求得；
对于②：直接求出函数的最小正周期，即可判断；
对于③：先判断出周期 ，直接解出 在区间 上最多有3个不相等的实数
根，即可判断.
对于④：由题意分析 ,建立关于 的不等式组，求出 的取值范围.【详解】函数 满足 .
对于①：因为 ,所以 .故①正确；
对于②：由于 ,所以函数 的一条对称轴方程为 .又 为一个对称中
心，由正弦图像和性质可知，所以函数的最小正周期为 .故②错误；
对于③：函数 在区间 上单调，且满足 ，可得： ，
所以周期 .周期越大， 的根的个数越少.
当 时, ,所以 在区间 上有3个不相等的实数根： ， 或 .
故③错误.
对于④：函数 在区间 上恰有5个零点,所以 ,
所以 ，解得： .且满足 ，即 ,即
，故 .故④正确.
故选：B
12．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 在 上的最小值为 D．直线 平是 的一条对称轴
【答案】D
【分析】根据三角函数的图象变换，可判定A错误；利用函数的图象与性质，可判定B，C错误；根据
，可判定D正确.
【详解】由题意，函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度，
可得 ，故A错误；
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以B，C错误；
因为 ，故直线 为 的一条对称轴，故D正确.
故选:D.
13．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览
车中心 到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若 是从距地面42米时开始计
算时间时的初始位置，以观览车的圆心 为坐标原点，过点 的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
设从点 运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），
则h是关于t的函数.当 时关于 的图象，下列说法正确的是（ ）A．对称中心为
B．对称中心为
C．对称轴为
D．对称轴为
【答案】B
【分析】先由题意得到 ，进而得到 后，以 为始边， 为终边的角 ，从而得到
点P的纵坐标为 ，即P距地面的高度函数求解.
【详解】解：由题意得 ，
而 是以 为始边， 为终边的角，
由OP在 内转过的角为 ，
可知以 为始边， 为终边的角为 ，
则点P的纵坐标为 ，所以P距地面的高度为 ，
令 ，得 ，
所以对称中心为 ，
令 ，得 ，
所以对称轴为 ，
故选：B
14．（2022·河南·模拟预测（理））密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1
密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一
条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表
示为12－50，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意中给的定义可知该扇形的圆心角为 ，结合扇形的面积公式计算即可.
【详解】依题意，该扇形的圆心角为 ．
又 ，故所求扇形的面积为
．
故选：A.
二、多选题
15．（2022·河北·模拟预测）已知角 的终边经过点 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD【分析】根据同终边角的正弦和余弦可知 ，然后解出方程并判
断 ，逐项代入即可.
【详解】解：由题意得：
如图所示：
，即
，即
解得： （舍去）或
，故A正确；
，故D正确；
，故B正确；，故C错误；
故选：ABD
16．（2022·重庆八中模拟预测）下列函数的图像中，与曲线 有完全相同的对称中心的是
( )
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的图像，求出各个函数的对称中心，比较即可得出答案．
【详解】设k∈Z，
对于 ，由 ；
对于A：由 ；
对于B：由 ；
对于C：由 ；
对于D：由 ；
则B和D的函数与题设函数有完全相同的对称中心．
故选：BD．
17．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC【分析】将 变为 结合指数函数的性质，判断A;构造函数 ，求
导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断
C，结合余弦函数的单调性，判断D.
【详解】由题意， ，得 ，
， ，∴ ，∴ ，A对；
，令 ，即有 ，
令 ，
在 上递减，在 上递增，
因为 ，∴ ，
作出函数 以及 大致图象如图：
则 ，∴ ，结合图象则 ，
∴ ，∴ ，B对；
结合以上分析以及图象可得 ，∴ ，
且 ，∴ ，C对；
由C的分析可知， ，
在区间 上，函数 不是单调函数，即 不成立，即 不成立，故
D错误；
故选：ABC．
【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三
角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.
18．（2022·湖北·一模）已知函数 ，则( )
A． 的图象关于 对称 B． 的最小正周期为
C． 的最小值为1 D． 的最大值为
【答案】ACD
【分析】A：验证 与 是否相等即可；
B：验证 与 相等，从而可知 为f(x)的一个周期，再验证f(x)在(0， )的单调性即可判断 为
最小正周期；
C、D：由B选项即求f(x)最大值和最小值.
【详解】 ，故选项A正确；
∵ ，
故 为 的一个周期.
当 时， ，此时 ，
令 ，得 ，故 .
∵当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，故 的最小正周期为 ，选项B错误；
由上可知 在 上的最小值为 ，最大值为 ，由 的周期性可知，选
项CD均正确.
故选：ACD.
三、解答题
19．（2022·浙江宁波·二模）已知 .
(1)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数 在 的取值范围.
【答案】(1)最小正周期 ，单调递增区间为 ，
(2)
【分析】（1）将 化为只含一个三角函数形式，根据正弦函数的性质即可求得答
案；（2）将 展开化简为 ，结合 ，求出 的范围，即可求
得答案.
(1) ，所以
；
因为 ， ，
所以 ， ，
函数 的单调递增区间为 ， ；
(2)
，
因为 ，所以 ， ，
因此函数 在 的取值范围为 .
20．（2022·天津三中一模）已知 ．
(1)若 ，求 使函数 为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，求满足 ， 的 的集合．
【答案】(1) (2)【分析】（1）由恒等变换得 ，进而根据奇偶性求解即可；
（2）由题知 ，再根据 得 或 或 或 ，进而解得答案.
(1)解：
，
因为函数 为偶函数，
所以 ，即 ，
因为 ，所以
(2)解：在（1）成立的条件下， ，
所以由 得 ，
因为 ，所以 ，
所以 或 或 或 ，
所以 或 或 或 ，
所以，满足题意的 的集合为
21．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再根据余弦定理可求出 ，进而求出 的大小；
（2）依题意可化简 ，根据 的范围求出 的取值范围即可.
(1)因为 ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
(2)由（1）知
.
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
22．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数 .(1)求函数 的最小正周期及其对称中心；
(2)求函数 在 上的值域.
【答案】(1)周期 ，对称中心为 (2)
【分析】（1）利用二倍角公式将 的表达式化简，即可求得函数的最小正周期，结合余弦函
数的对称中心可求得函数 的对称中心；
（2）将函数 的表达式展开，并化简，根据 的范围，结合正弦函数的
性质可确定答案.
(1)函数 ，所以最小正周期 ；
令 ，解得 ，
所以对称中心为 ；
(2)函数
，
因为 ，所以 ，
故 ，故 .
23．（2022·山东枣庄·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
求：
(1) ；
(2) 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；
（2）由正弦定理及正弦的两角差将问题转化为求 的范围，再利用2倍角公式化为
即可求解.
(1)因为 ，
所以 ,
因为 ，
，
因为 .
(2)由正弦定理，
，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
