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专题 12 正多边形和圆（综合题）
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易错点拨
知识点01：正多边形的概念
是正多边形．
细节剖析:
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1) 相等；(2) 相等；
缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点02：正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1) 叫做这个正多边形的中心．(2) 叫做正多边形的半径．
(3) 叫做正多边形的中心角．
(4) 叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
细节剖析:
要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点03：正多边形的性质
1.正多边形都只有一个 ，圆有无数个内接 .
2.正ｎ边形的 把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是 ，对称轴的条数与它的 相同，每条对称轴都通过正n边
形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形 。它们 都等于相似比，面积的比等
于
5.任何正多边形都有一个 和一个 ，这两个圆是
细节剖析:
（1） 是圆的内接正多边形；（2） 是圆的外切正多边形.
知识点04：正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等
分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所
对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B
为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
细节剖析:
画正n边形的方法：（1）将一个圆 ，（2）顺次连结
易错题专训
一．选择题
1．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
2．（2022•游仙区校级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交
于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
3．（2022•太原一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中 3个正五边形的位
置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
4．（2022•安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最
大不能超过（ ）
A．11.125mm B．22.25mm C． mm D． mm
5．（2022•固安县模拟）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不
动，将上面一张纸片六边形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸片面积
与折线A'﹣B'﹣C扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：2 D．2：1
二．填空题
6．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，
若∠EGF＝30°，则n＝ ．
7．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等
边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个
正六边形的周长为 厘米．8．（2022•陈仓区二模）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A落在正方形
BEFG内，则∠ABG的度数为 ．
9．（2022•沙湾区模拟）已知图标（如图）是由圆的六个等分点连接而成，若圆的半径为 1，则阴影部分
的面积等于 ．
10．（2022•雁塔区校级模拟）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则 的值为 ．
11．（2022•河北二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围
成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮的周长为 ；若n个全等的
正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，
则该图形外轮廓的周长是 ．12．（2021秋•西湖区校级月考）如图，⊙O的内接正六边形，点M，N分别为AF，BC边的中点，直线MN
与⊙O交于点PQ，若AB＝1，则PQ＝ ．
13．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝ AB＝2，
∠GCH＝60°，则线段EH长 ．
14．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并
延长交圆于点E，则DE的长为 ．三．解答题
15．（2021秋•咸宁月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．
（1）求证：AO＝CD；
（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．
16．（2021•云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为 上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为 的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
17．（2019秋•长乐区期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，过O点作边AD的垂线交 于E点，连接BE，
求∠ABE的度数．18．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．
求正方形ABCD的边长和边心距．
19．（2022•包河区校级二模）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，
且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于点G，连接DG，交BC于点H．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）求证：DH＝CE．20．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连结AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n
的值．
