文档内容
考点 07 函数的单调性与最值（2 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
【知识点】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x，x∈I
1 2
当x0(<0)或(x －x)[f(x)－f(x)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增
1 2 1 2 1 2 1 2
(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．【核心题型】
题型一 确定函数的单调性
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
命题点1 函数单调性的判断
【例题1】（2023·浙江·二模）下列函数在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·北京西城·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的
是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·陕西西安·二模）下列函数中，既是奇函数又在 上单调递减的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024·北京门头沟·一模）下列函数中， 既是奇函数又在 上单调递增的
是（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 利用定义证明函数的单调性【例题2】（2023·上海奉贤·一模）函数 在定义域 上是（ ）
A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数
C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数
【变式1】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，若
对于任意两个实数 ，不等式 恒成立，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·浙江台州·二模）已知函数 同时满足性质:① ;②当
时, ,则函数 可能为( )
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·山东·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 函数单调性的应用
(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义
域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式
(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
命题点1 比较函数值的大小【例题3】（2024·北京西城·一模）设 ，其中 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·云南贵州·二模）已知 ，则 的大关系
为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高三上·北京顺义·期末）已知 在 上单调递减，且 ，则下
列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024·四川攀枝花·二模）已知函数 对 都有 ，
若函数 的图象关于直线 对称，且对 ，当 时，都有
，给出如下结论：① 是偶函数；② ;③ 是最
小正周期为4的周期函数；④ ．其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
命题点2 求函数的最值
【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在 上的最小值为 ，最
大值为 ，且在等差数列 中， ，则 （ ）
A．17 B．18 C．20 D．24【变式1】（2023·全国·模拟预测）已知点 在直线 上，若 ，则
下列选项正确的是（ ）
A． 有最大值 ，最小值4 B． 有最大值 ，没有最小值
C． 没有最大值，但有最小值4 D． 没有最大值也没有最小值
【变式2】（2024·贵州·模拟预测）已知函数 ，则 的最大值是 .
【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)若 为正实数，且 ，求 的最小值.
命题点3 解函数不等式
【例题5】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在 上的函数
，满足不等式 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，
也是定义在 上的奇函数，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．【变式2】（2024·北京延庆·一模）已知函数 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·青海·一模）已知函数 ，则不等式
的解集为 ．
命题点4 求参数的取值范围
【例题6】（2024·湖南邵阳·二模）已知 ，若 恒
成立，则实数 的取值范围是 .
【变式1】（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知 ，且 ，函数
在 上单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·陕西商洛·一模）已知函数 是定义在 上的增函
数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【课后强化】
基础保分练一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则使得 成立的正实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林·二模）已知函数 ，则关于 的不等式
解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西西安·二模）已知函数 .若 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为R，对任意实数x，y都有
，当 时， ，且 ，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·湖北·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）A． ， B．
C． 的最小值为 ，最大值为4 D． 的最小值为12
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 对任意 恒有 ，且
当 时， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的图象关于 轴对称
B． 在 上单调递增
C． 的解集为
D．若 对 恒成立，则实数 的取值范围为
三、填空题
7．（2024·山东淄博·一模）设方程 ， 的根分别为p，q，函数
，令 则a，b，c的大小关系为
.
8．（2024·安徽淮北·一模）记不超过 的最大整数为 .若函数 既有最
大值也有最小值，则实数 的值可以是 （写出满足条件的一个 的值即可）.
四、解答题
9．（2023·山东·模拟预测）若函数 在 上是增函数，且 ，求 的
取值范围．10．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 时， 恒成立，求 的最小值．
11．（2023·河南南阳·模拟预测）定义在正实数集上的函数 满足下列条件：
①存在常数 ，使得 ；②对任意实数 ，当 时，恒有 ．
(1)求证：对于任意正实数 、 ， ；
(2)证明： 在 上是单调减函数；
(3)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
12．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知函数 ．(1)若a＝0，求函数 的最值；
(2)若a＝1，函数 在 上的最大值在区间 内，求整数m的值．
综合提升练
一、单选题
1．（2024·北京平谷·模拟预测）下列函数中，在区间 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·安徽·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，函数 满足
，且 ， 在 单调递减，则（ ）
A． 在 单调递减 B． 在 单调递减
C． 在 单调递减 D． 在 单调递减
3．（2024·甘肃·一模）已知函数 ，则
（ ）A． B．
C． D．
4．（2024·湖南常德·三模）已知奇函数 是定义域为R的连续函数，且在区间
上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在R上单调递增
B．函数 在 上单调递增
C．函数 在R上单调递增
D．函数 在 上单调递增
5．（2024·陕西·模拟预测）函数 满足 ，且 ，
则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川绵阳·三模）设函数 为 与 中较大的数，若存在 使
得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
8．（2024·四川·模拟预测）已知函数 ，若对 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知函数 ，则（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．函数 是奇函数
C．函数 与 的图象关于原点对称
D．
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·甘肃陇南·一模）已知 ，关于x的不等式 的解集为
，则（ ）
A． B．C． D．
三、填空题
12．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数 ，其中 是
的导函数，则 ； 的解集为 ．
13．（2024·湖南·二模）已知 ，若
，则实数 的取值范围是 ，
14．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 在区间 有2 个零点和4
个极值点，则a的取值范围是 .
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)在平面直角坐标系xOy中画出函数 的图象，并根据图象直接写出函数 的最大
值；
(2)解不等式 ．16．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，
且 .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，证明：
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，且 ．
(1)求 的取值范围；
(2)求关于 的不等式 的解集．
18．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求证： ；
(3)若 且 ，求证： ．19．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 的定义域为区间 值域为区间
，若 则称 是 的缩域函数.
(1)若 是区间 的缩域函数，求a的取值范围；
(2)设 为正数，且 若 是区间 的缩域函数，证明：
（i）当 时， 在 单调递减;
（ii）
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数 在 上单调递减，则t的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·辽宁丹东·二模）设函数 由关系式 确定，函数
，则（ ）A． 为增函数 B． 为奇函数
C． 值域为 D．函数 没有正零点
3．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）若函数 在区间
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 对任意 恒有 ，且
当 时， ．若存在 ，使得 成立，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·江苏·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称
C．不等式 无解 D． 的最大值为
6．（2023·河南·三模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在定义域上是增函数
B． 的值域为
C．D．若 ， ， ，则
三、填空题
7．（2024·河北·模拟预测）若 ，则 的大小关系为
（用“<”号连接）．
8．（2024·重庆·模拟预测）已知对 ， ， ，当 时，都有
，则实数 的取值范围是 .
四、解答题
9．（2024·福建龙岩·一模）已知函数 是大于0的常数，记曲线 在
点 处的切线为 在 轴上的截距为 .
(1)若函数 ，求 的单调区间；
(2)当 时，求 的取值范围.
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 在 上的最小值 ，并判断方程 的实数根个数．11．（2023·四川自贡·一模）函数 的最小值为m.
(1)判断m与2的大小，并说明理由；
(2)求函数 的最大值.
12．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 的一个极值点大于0，求 的取值范围；
(2)若 在 上单调递增，求 的值．
