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专题 12 正多边形和圆（综合题）
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易错点拨
知识点01：正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
细节剖析:
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱
形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点02：正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
细节剖析:
要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点03：正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当
边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相
似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
细节剖析:
（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切
正多边形.
知识点04：正多边形的画法
1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等
分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所
对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B
为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
细节剖析:画正n边形的方法：（1）将一个圆 n 等份 ，（2）顺次连结 各等分点 .
易错题专训
一．选择题
1．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
【易错思路引导】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°，根
据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．
【规范解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，OG⊥CD，
∴∠COG＝30°，
∵⊙O的周长等于6π，
∴OC＝3，
∴OG＝3cos30°＝ ，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
2．（2022•游仙区校级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交
于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
【易错思路引导】根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定与性质可得
∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的内角和定理可得答案．
【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BCD＝ ＝120°，AB＝BC＝CD，
∵M，N分别为边CD，BC的中点，
∴BN＝CM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠BNP＝∠CMB，
∵∠CBM＝∠PBN，
∴∠BPN＝∠BCD＝120°，
∴∠APM＝120°，
故选：B．
【考察注意点】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到
∠BNP＝∠CMB是解决此题的关键．
3．（2022•太原一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中 3个正五边形的位
置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【易错思路引导】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．
【规范解答】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为： ＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．
故选：D．
【考察注意点】本题主要考查圆的基本性质，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
4．（2022•安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最
大不能超过（ ）
A．11.125mm B．22.25mm C． mm D． mm
【易错思路引导】根据正方形性质得到△AOD为等腰直角三角形，根据正方形和圆的关系得到AC的长度，
根据等腰直角三角形的性质求出AD的长度．
【规范解答】解：如图所示，
∵AC＝BD＝22.25mm，
∴AO＝OD＝ ＝ mm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴AD＝ AO＝ mm．
故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，掌握正多边形
和圆的关系，得到△AOD为等腰直角三角形是解题的关键．
5．（2022•固安县模拟）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不
动，将上面一张纸片六边形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸片面积
与折线A'﹣B'﹣C扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：2 D．2：1
【易错思路引导】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．
【规范解答】解：正六边形的面积＝6× ×（2a）2＝6 a2，
阴影部分的面积＝a•2 a＝2 a2，
∴空白部分与阴影部分面积之比是＝6 a2：2 a2＝3：1，
故选：A．
【考察注意点】本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题
6．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，
若∠EGF＝30°，则n＝ 1 8 ．【易错思路引导】连接CE，用n表示出正n边形的中心角，根据三角形的外角性质列出方程，解方程求
出n．
【规范解答】解：连接CE，
正n边形的中心角的度数为： ，
则∠ECF＝ × ，∠AEC＝ ，
∵∠EGF＝30°，
∴∠ECF+∠AEC＝30°，
∴ × + ＝30°，
解得：n＝18，
故答案为：18．
【考察注意点】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式、三角形的外角性质是
解题的关键．
7．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等
边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个
正六边形的周长为 5 4 厘米．【易错思路引导】根据对称性和周长公式进行解答即可．
【规范解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝ AB＝9（厘米），
∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），
故答案为：54．
【考察注意点】本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定
是解决问题的前提．
8．（2022•陈仓区二模）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A落在正方形
BEFG内，则∠ABG的度数为 54° ．
【易错思路引导】根据正五边形的性质可求出角A的度数，再根据等腰三角形以及三角形的内角和可求
出∠ABE，再根据正方形的性质求出∠ABG即可．
【规范解答】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠BAE＝ ＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝36°，又∵四边形BEFG是正方形，
∴∠EBG＝90°，
∴∠ABG＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54°．
【考察注意点】本题考查正五边形，正方形以及等腰三角形，掌握正五边形、正方形、等腰三角形的性
质是正确计算的前提．
9．（2022•沙湾区模拟）已知图标（如图）是由圆的六个等分点连接而成，若圆的半径为 1，则阴影部分
的面积等于 ．
【易错思路引导】根据题意得到图中阴影部分的面积＝S +3S ，代入数据即可得到结论．
△ABC △ADE
【规范解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F．
∵如图是由圆的六等分点连接而成，
∴△ABC与△ADE是等边三角形，
∵圆的半径为1，
∴AH＝ ，BC＝AB＝ ，
∴AE＝ ，AF＝ ，
∴图中阴影部分的面积＝S +3S ＝ × × + × × ×3＝ ，
△ABC △ADE
故答案为： ．
【考察注意点】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，熟记正多边形与圆的性质是解题的关键．
10．（2022•雁塔区校级模拟）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则 的值为 2 ．【易错思路引导】根据正六边形的性质可得∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，从而利用等腰三角形
的性质可得∠CBD＝∠BCA＝30°，进而求出∠ABM＝90°，BM＝CM，然后在Rt△ABM中，进行计算即可
解答．
【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，
∴BM＝CM，
在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，
∴AM＝2BM，
∴AM＝2CM，
∴ ＝2，
故答案为：2．
【考察注意点】本题考查了等腰三角形的判定，正多边形和圆，多边形的内角与外角，含 30度角的直
角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
11．（2022•河北二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围
成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮的周长为 2 0 ；若n个全等的正
多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则
该图形外轮廓的周长是 2 7 ．【易错思路引导】根据拼图，由“外围”的边长进行计算即可．
【规范解答】解：由拼图可知，每个正八边形有5条边在“外围”，因此周长为5×4＝20，
若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，可知这个正
多边形为正十二边形，
如图，则“外围”的周长为（12﹣3）×3＝27，
故答案为：20，27．
【考察注意点】本题考查正多边形与圆，理解“外围”的意义是正确解答的前提，得出外围正多边形的
边数是解决问题的关键．
12．（2021秋•西湖区校级月考）如图，⊙O的内接正六边形，点M，N分别为AF，BC边的中点，直线MN
与⊙O交于点PQ，若AB＝1，则PQ＝ ．
【易错思路引导】如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．利用勾股定理求出PK，再利用垂径定理，可得结论．
【规范解答】解：如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，CF∥AB，CF经过圆心O，
∵CN＝BN，AM＝MF，
∴MN∥AB∥CF，
∴OK＝JK，
∵OA＝OB＝AB＝1，
∴OJ＝ ，
∴OK＝ ，
∵AB∥PQ，OJ⊥AB，
∴OK⊥PQ，
∴PK＝QK＝ ＝ ＝ ，
∴PQ＝2PK＝ ．
故答案为： ．
【考察注意点】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，垂径定理，梯形的中位线定理等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
13．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝ AB＝2，
∠GCH＝60°，则线段EH长 ．【易错思路引导】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据
六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG∽△HDC，对应边成比例即可解决
问题．
【规范解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，
∴四边形ABPN是平行四边形，
∴PN＝AB＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，
∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，
∴△ANG是等边三角形，
∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，
∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，
∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，
∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠PCG＝∠DHC，
∵∠CPG＝∠D，
∴△CPG∽△HDC，
∴ ＝ ，
∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，∴DH＝ ，
∴EH＝ED﹣DH＝6﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判
定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
14．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并
延长交圆于点E，则DE的长为 ．
【易错思路引导】连接CE，作出EF⊥CD，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，再根据勾股定理
即可得出结论．
【规范解答】解：连接CE，作EF⊥PF．
∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，
∴△APD∽△CPE，
∴ ＝ ，
∵P为边CD的中点
∴PD＝PC＝ ，PA＝ ＝ ，
＝ ，∴PE＝ ，
∵FE∥AD
∴△APD∽△EPF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴PF＝ ，
∴EF＝ ＝1，
∴DE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【考察注意点】本题考查的是正多边形的圆及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出
相似三角形是解答此题的关键．
三．解答题
15．（2021秋•咸宁月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．
（1）求证：AO＝CD；
（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．
【易错思路引导】（1））根据正五边形的性质可知AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，
AE∥BD，所以∠ABO＝72°，∠BAO＝ （180°﹣108°）＝36°，因此∠AOB＝180°﹣72°﹣36°
＝72°＝∠ABO，推出AB＝AO，则CD＝AO；
（2）根据圆周角定理求出∠BDE、∠E的度数，进而证明DF∥AE；证明AF∥DE，AE＝DE，即可解决问题．
【规范解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，
∴∠ABO＝72°，∠BAO＝ （180°﹣108°）＝36°，
∴∠AOB＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，
∴AB＝AO，
∴CD＝AO；
（2）四边形AODE是菱形；理由如下：
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠BDE＝ ＝72°，∠E＝ ×360°＝108°，
∴∠BDE+∠E＝180°，DO∥AE；
同理可证：AO∥DE，而AE＝DE，
∴四边形AODE是菱形．
【考察注意点】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是：深入分析、大胆猜
测、合情推理、科学论证．
16．（2021•云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为 上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为 的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【易错思路引导】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；
（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．
【规范解答】解：（1）连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴ ；
（2）连接PO，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为BC的中点，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴n＝360÷45＝8．
【考察注意点】此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，正确掌握正方形的性质
是解题关键．
17．（2019秋•长乐区期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，过O点作边AD的垂线交 于E点，连接BE，
求∠ABE的度数．
【易错思路引导】求出圆内接正方形的中心角度数∠AOD，再根据垂径定理求出∠AOE，由圆周角定理得
出答案．
【规范解答】解：如图，连接OA、OD，
∵四边形ABCD是圆内接正方形，
∴∠AOD＝ ＝90°，
∵OE⊥AD，
∴ ＝ ，
∴∠AOE＝ ∠AOD＝ ×90°＝45°，∴∠ABE＝ ∠AOE＝ ×45°＝22.5°．
【考察注意点】本题考查正多边形和圆，圆周角定理以及垂径定理，求出圆内接正方形的中心角度数是
解决问题的关键．
18．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．
求正方形ABCD的边长和边心距．
【易错思路引导】过点O作OE⊥BC，垂足为E．解直角三角形求出BC，OE即可．
【规范解答】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E．
∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形，
∴∠BOC＝ ＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，
∴BE＝OE．
在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得
OE＝BE＝ ，
∴BC＝2BE＝ ．
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为 ，边心距为 ．
【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造
直角三角形解决问题．19．（2022•包河区校级二模）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，
且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于点G，连接DG，交BC于点H．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）求证：DH＝CE．
【易错思路引导】（1）证明CF∥BE，BF∥EC可得结论；
（2）证明△DCH≌△CBE（ASA），可得结论．
【规范解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DF，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵∠F＝∠BEC，
∴∠F＝∠DCE，
∴BF∥CE，
∴四边形BECF是平行四边形；
（2）∵BF∥EC，
∴∠CBF＝∠BCE，
∵∠CDH＝∠CBG，
∴∠CDH＝∠BCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCH＝∠CBE＝90°，
在△DCH和△CBE中，
，
∴△DCH≌△CBE（ASA），∴DH＝CE．
【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连结AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n
的值．
【易错思路引导】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；
（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；
（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．
【规范解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝ ＝108°，
即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，
理由：连接ON，NF，如图，
由题意可得：FN＝ON＝OF，
∴△FON是等边三角形，
∴∠NFA＝60°，
∴∠NMA＝60°，
同理可得：∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝60°，
∴△MAN是正三角形；
（3）连接OD，如图，
∵∠AMN＝60°，
∴∠AON＝120°，
∵∠AOD＝ ＝144°，
∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，
∵360°÷24°＝15，
∴n的值是15．
【考察注意点】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结
合的思想解答
