专题03等式与不等式、基本不等式及一元二次不等式9种常见考法归类（全国通用）（学生版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2021-2025高考数学五年真题分类汇编

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2021-2025高考真题分类 等式与不等式、基本不等式及一元二次不等式 ~ ~ 2021-2025高考真题分类 等式与不等式、基本不等式及一元二次不等式1 一 由已知条件判断所给不等式是否正确 1 二 利用不等式求值或取值范围 1 三 由基本不等式比较大小 1 四 基本不等式求积的最大值 1 五 基本不等式求和的最小值 1 六 解不含参数的一元二次不等式 2 七 分式不等式 2 八 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 2 九 线性规划(拓展)(不做要求)2 参考答案 3 ~ ~ 一 由已知条件判断所给不等式是否正确 1. (2025·北京·高考真题)已知a>0,b>0，则 ( ) 1 1 1 1 1 2 A. a2+b2>2ab B. + ≥ C. a+b> ab D. + ≤ a b ab a b ab 2. (2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)若x，y满足x2+y2-xy=1，则 ( ) A. x+y≤1 B. x+y≥-2 C. x2+y2≤2 D. x2+y2≥1 二 利用不等式求值或取值范围 1. (2022·上海·高考真题)x-y≤0，x+y-1≥0，则z=x+2y的最小值是 . 三 由基本不等式比较大小 1. (2021·浙江·高考真题)已知α,β,γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三个值中， 1 大于 的个数的最大值是 ( ) 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. (2022·全国甲卷·高考真题)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则 ( ) A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a 四 基本不等式求积的最大值 x2 y2 1. (2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知F 1 ，F 2 是椭圆C： 9 + 4 =1的两个焦点，点M在C上，则MF 1  ⋅MF 2  的最大值为 ( ) A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 五 基本不等式求和的最小值 1. (2021·全国乙卷·高考真题)下列函数中最小值为4的是 ( ) A. y=x2+2x+4 B. y=sinx  4 + sinx  4 C. y=2x+22-x D. y=lnx+ lnx 数学试题 第 1 页 共 18 页2. (2021·上海·高考真题)已知函数fx  a =3x+ a>0 3x+1  的最小值为5，则a= . 1 1 3. (2025·上海·高考真题)设a,b>0,a+ =1，则b+ 的最小值为 ． b a 1 a 4. (2021·天津·高考真题)若a>0,b>0，则 + +b的最小值为 ． a b2 5. (2024·北京·高考真题)已知x 1 ,y 1  ，x 2 ,y 2  是函数y=2x的图象上两个不同的点，则 ( ) y +y x +x y +y x +x A. log 1 2 < 1 2 B. log 1 2 > 1 2 2 2 2 2 2 2 y +y y +y C. log 1 2 x +x 2 2 1 2 2 2 1 2  1   1      6. (2023·天津·高考真题)在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD= AB,CE= CD，记AB=a,AC=b， 2 2     1    用a,b表示AE= ；若BF= BC，则AE⋅AF的最大值为 ． 3 cosA 7. (2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 = 1+sinA sin2B ． 1+cos2B 2π (1)若C= ，求B； 3 a2+b2 (2)求 的最小值． c2 8. (2022·全国甲卷·高考真题)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当 AC 取得最小值时，BD= ． AB 1 9. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0, 2  的距离，记 动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 3． 六 解不含参数的一元二次不等式 1. (2024·上海·高考真题)已知x∈R,则不等式x2-2x-3<0的解集为 ． 2. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知集合M=-2,-1,0,1,2  ，N=xx2-x-6≥0  ，则M∩N= ( ) A. -2,-1,0,1  B. 0,1,2  C. -2  D. 2  3. (2021·上海·高考真题)已知集合A={x|x2-x-2≥0}，B={x|x>-1}，则 ( ) A. A⊆B B. ∁ A⊆∁ B C. A∩B=ϕ D. A∪B=R R R 4. (2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)记S 是公差不为0的等差数列a n n  的前n项和，若a =S ,a a =S ． 3 5 2 4 4 (1)求数列a n  的通项公式a ； n (2)求使S >a 成立的n的最小值． n n 七 分式不等式 x-1 1. (2025·上海·高考真题)不等式 <0的解集为 ． x-3 数学试题 第 2 页 共 18 页x-4 2. (2025·全国二卷·高考真题)不等式 ≥2的解集是 ( ) x-1 A. {x∣-2≤x≤1} B. {x∣x≤-2} C. {x∣-2≤x<1} D. {x∣x>1} 2x+5 3. (2021·上海·高考真题)不等式 <1的解集为 . x-2 八 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 1. (2025·天津·高考真题)若a,b∈R，对∀x∈[-2,2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则2a+b 的最小值为 九 线性规划(拓展)(不做要求) 4x-3y-3≥0  1. (2024·全国甲卷·高考真题)若x,y满足约束条件x-2y-2≤0 ，则z=x-5y的最小值为 ( ) 2x+6y-9≤0 1 5 7 A. B. 0 C. - D. - 2 2 2 3x-2y≤3  2. (2023·全国甲卷·高考真题)若x，y满足约束条件-2x+3y≤3，设z=3x+2y的最大值为 ． x+y≥1 x-3y≤-1  3. (2023·全国乙卷·高考真题)若x，y满足约束条件x+2y≤9 ，则z=2x-y的最大值为 . 3x+y≥7 x-2≥0,  4. (2022·浙江·高考真题)若实数x，y满足约束条件2x+y-7≤0,则z=3x+4y的最大值是 ( ) x-y-2≤0, A. 20 B. 18 C. 13 D. 6 x+y≥2,  5. (2022·全国乙卷·高考真题)若x，y满足约束条件x+2y≤4 ,则z=2x-y的最大值是 ( ) y≥0, A. -2 B. 4 C. 8 D. 12 x+1≥0  1 6. (2021·浙江·高考真题)若实数x，y满足约束条件x-y≤0 ，则z=x- y的最小值是 ( ) 2 2x+3y-1≤0 3 1 1 A. -2 B. - C. - D. 2 2 10 x+y≥4,  7. (2021·全国乙卷·高考真题)若x,y满足约束条件x-y≤2, 则z=3x+y的最小值为 ( ) y≤3, A. 18 B. 10 C. 6 D. 4 8. (2023·全国乙卷·高考真题)已知fx  =2x  +x-2  . (1)求不等式fx  ≤6-x的解集； f(x)≤y (2)在直角坐标系xOy中，求不等式组  所确定的平面区域的面积. x+y-6≤0 数学试题 第 3 页 共 18 页参考答案 1. C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【解析】对于A,当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误； 1 1 1 1 1 1 对于BD，取a= ,b= ，此时 + =2+4=6< =8= ， 2 4 a b 1 1 ab × 2 4 1 1 2 2 + =2+4=6> =4 2= ，故BD错误； a b 1 1 ab × 2 4 对于C，由基本不等式可得a+b≥2 ab> ab，故C正确. 故选：C. 2. BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． a+b 【解析】因为ab≤ 2  2 a2+b2 ≤ (a,b∈R)，由x2+y2-xy=1可变形为，x+y 2  2-1=3xy≤ x+y 3 2  2 ，解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2， 所以A错误，B正确； 由x2+y2-xy=1可变形为x2+y2  x2+y2 -1=xy≤ ，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等 2 号，所以C正确； y 因为x2+y2-xy=1变形可得x- 2  2 3 y 3 + y2=1，设x- =cosθ, y=sinθ，所以x=cosθ+ 4 2 2 1 2 5 2 1 1 1 sinθ,y= sinθ，因此x2+y2=cos2θ+ sin2θ+ sinθcosθ=1+ sin2θ- cos2θ+ 3 3 3 3 3 3 3 4 2 π = + sin2θ- 3 3 6  2 ∈  ,2  3  3 3 ，所以当x= ,y=- 时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以 3 3 D错误． 故选：BC． 3 1. /1.5 2 3 【分析】分析可得x+2y= x+y 2  1 - x-y 2  ，利用不等式的基本性质可求得z=x+2y的最小值. 【解析】设x+2y=mx+y  +nx-y  =m+n  x+m-n  3 m= y，则  m m + - n n = = 1 2 ，解得   2 1 ， n=- 2 3 所以，z=x+2y= x+y 2  1 - x-y 2  3 ≥ ， 2 3 因此，z=x+2y的最小值是 . 2 3 故答案为： . 2 1. C 3 【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤ ，从而可判断三个代数式 2 1 1 不可能均大于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值. 2 2 数学试题 第 4 页 共 18 页sin2α+cos2β 【解析】法1：由基本不等式有sinαcosβ≤ ， 2 sin2β+cos2γ sin2γ+cos2α 同理sinβcosγ≤ ，sinγcosα≤ ， 2 2 3 故sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤ ， 2 1 故sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα不可能均大于 . 2 π π π 取α= ，∴β= ，γ= ， 6 3 4 1 1 6 1 6 1 则sinαcosβ= < ,sinβcosγ= > ,sinγcosα= > ， 4 2 4 2 4 2 1 故三式中大于 的个数的最大值为2， 2 故选：C. 法2：不妨设α<β<γ，则cosα>cosβ>cosγ,sinα ,sinγcosα= > ， 4 2 4 2 4 2 1 故三式中大于 的个数的最大值为2， 2 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注 意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 2. A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底公式 9 可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出． 8 【解析】[方法一]：(指对数函数性质) lg10 lg9+lg11 由9m=10可得m=log 10= >1，而lg9lg11< 9 lg9 2  2 lg99 = 2  2 <1=lg10  lg10 2，所以 lg9 lg11 > ，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0. lg10 lg8+lg10 又lg8lg10< 2  2 lg80 = 2  2 <lg9  lg9 lg10 2，所以 > ，即log 9>m， lg8 lg9 8 所以b=8m-9<8log89-9=0.综上，a>0>b. [方法二]：【最优解】(构造函数) 由9m=10，可得m=log 10∈(1,1.5)． 9 根据a,b的形式构造函数f(x)=xm-x-1(x>1) ，则f(x)=mxm-1-1， 1 令f(x)=0，解得x =m1-m ，由m=log 10∈(1,1.5) 知x ∈(0,1) . 0 9 0 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ， 又因为f(9)=9log910-10=0 ，所以a>0>b . 数学试题 第 5 页 共 18 页故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=xm-x-1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了， 是该题的最优解． 1. C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到MF 1  +MF 2  =2a=6，借助基本不等式MF 1  ⋅MF 2  ≤ MF 1  +MF 2   2  2 即可得到答案． 【解析】由题，a2=9,b2=4，则MF 1  +MF 2  =2a=6， 所以MF 1  ⋅MF 2  ≤ MF 1  +MF 2   2  2 =9(当且仅当MF 1  =MF 2  =3时，等号成立)． 故选：C． 【点睛】 1. C 【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得 出B,D不符合题意，C符合题意． 【解析】对于A，y=x2+2x+4=x+1  2+3≥3，当且仅当x=-1时取等号，所以其最小值为3，A不符合 题意； 对于B，因为0<sinx  ≤1，y=sinx  4 + sinx  ≥2 4=4，当且仅当sinx  =2时取等号，等号取不到， 所以其最小值不为4，B不符合题意； 4 对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y=2x+22-x=2x+ ≥2 4=4，当且仅当2x=2，即x=1时 2x 取等号，所以其最小值为4，C符合题意； 4 对于D，y=lnx+ ，函数定义域为0,1 lnx  ∪1,+∞  ，而lnx∈R且lnx≠0，如当lnx=-1，y=-5， D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的 性质即可解出． 2. 9 【分析】配方得fx  a =3x+ a>0 3x+1  a =3x+1+ -1，结合基本不等式即可求解 3x+1 【解析】fx  a =3x+ a>0 3x+1  a =3x+1+ -1≥2 a-1=5⇒a=9，当且仅当x=log 2时等号满 3x+1 3 足， 故答案为：9 3. 4 1 1 【分析】灵活利用“1”将b+ =b+ a a  1 a+ b  展开利用基本不等式计算即可. 1 1 【解析】易知b+ =b+ a a  1 a+ b  1 1 =ab+ +2≥2 ab⋅ +2=4， ab ab 1 当且仅当ab=1，即a= ,b=2时取得最小值. 2 故答案为：4 数学试题 第 6 页 共 18 页4. 2 2 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【解析】∵a>0,b>0， 1 a 1 a 2 2 ∴ + +b≥2 ⋅ +b= +b≥2 ⋅b=2 2， a b2 a b2 b b 1 a 2 当且仅当 = 且 =b，即a=b= 2时等号成立， a b2 b 1 a 所以 + +b的最小值为2 2. a b2 故答案为：2 2. 5. B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【解析】由题意不妨设x 2x1·2x2=2 x1+ 2 x2，即 y 1 +y 2 >2 x1+ 2 x2 >0， 2 2 根据函数y=log x是增函数，所以log y 1 +y 2 >log 2 x1+ 2 x2 = x 1 +x 2 ，故B正确，A错误； 2 2 2 2 2 对于选项D：例如x =0,x =1，则y =1,y =2， 1 2 1 2 y +y 3 可得log 2 1 2 2 =log 22 ∈0,1  y +y ，即log 1 2 <1=x +x ，故D错误； 2 2 1 2 1 1 对于选项C：例如x =-1,x =-2，则y = ,y = ， 1 2 1 2 2 4 y +y 3 可得log 2 1 2 2 =log 28 =log 2 3-3∈-2,-1  y +y ，即log 1 2 >-3=x +x ，故C错误， 2 2 1 2 故选：B. 1  1  13 6. a+ b 4 2 24    【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用a,b表示出AF，结合上一空     答案，于是AE⋅AF可由a,b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.       AE+ED=AD 【解析】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=0，可得    ， AE+EC=AC    两式相加，可得到2AE=AD+AC，  1    1  1  即2AE= a+b，则AE= a+ b； 2 4 2     1     AF+FC=AC 空2：因为BF= BC，则2FB+FC=0，可得     ， 3 AF+FB=AB     得到AF+FC+2AF+FB    =AC+2AB，     2  1  即3AF=2a+b，即AF= a+ b. 3 3   1  1  于是AE⋅AF= a+ b 4 2  2  1  ⋅ a+ b 3 3  1     = 2a2+5a⋅b+2b2 12  . 记AB=x,AC=y，   1     则AE⋅AF= 2a2+5a⋅b+2b2 12  1 = 2x2+5xycos60°+2y2 12  1 5xy = 2x2+ +2y2 12 2  ， 在△ABC中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=1，   1 5xy 于是AE⋅AF= 2xy+ +2 12 2  1 9xy =  +2 12 2  ， 数学试题 第 7 页 共 18 页由x2+y2-xy=1和基本不等式，x2+y2-xy=1≥2xy-xy=xy， 故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号，   13 则x=y=1时，AE⋅AF有最大值 . 24 1  1  13 故答案为： a+ b； . 4 2 24 π 7. (1) ； 6 (2)4 2-5． 【分析】(1)方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法 π 三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知A+2B= 即可求解，方法四：根据半 2 角公式和两角差的正切公式化简后求解. π π a2+b2 (2)由(1)知，C= +B，A= -2B，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成4cos2B+ 2 2 c2 2 -5，然后利用基本不等式即可解出． cos2B 【解析】(1)方法一：直接法 cosA sin2B = 可得cosAcos2B+cosA=sin2B+sinAsin2B， 1+sinA 1+cos2B 则cosAcos2B-sinAsin2B+cosA=sin2B，即cos(A+2B)+cosA=sin2B， π π 注意到A+B= ，于是cos +B 3 3  π +cos -B 3  =sin2B， π 1 展开可得2cos cosB=2sinBcosB，则sinB= ， 3 2 π π 又00，所以 0，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解. AB2 【解析】[方法一]：余弦定理 设CD=2BD=2m>0， 则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD⋅ADcos∠ADB=m2+4+2m， 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD⋅ADcos∠ADC=4m2+4-4m， AC2 4m2+4-4m 4m2+4+2m 所以 = = AB2 m2+4+2m  -121+m  12 =4- m2+4+2m m+1  3 + m+1 12 ≥4- 2 m+1  =4-2 3， 3 ⋅ m+1 3 当且仅当m+1= 即m= 3-1时，等号成立， m+1 AC 所以当 取最小值时，m= 3-1. AB 故答案为： 3-1. [方法二]：建系法 数学试题 第 9 页 共 18 页令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C(2t,0)，A(1， 3)，B(-t,0) AC2 2t-1 ∴ = AB2  2+3 t+1  4t2-4t+4 12 = =4- 2+3 t2+2t+4 t+1  ≥4-2 3 3 + t+1 当且仅当t+1= 3,即BD= 3-1时等号成立。 [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 c2=x2+4+2x   ，∴2c2+b2=12+6x2， b2=4+4x2-4x c2=x2+4+2x   ，∴2c2+b2=12+6x2， b2=4+4x2-4x AC 令 =t，则2c2+t2c2=12+6x2， AB 12+6x2 12+6x2 2 ∴t2+2= = =6 1- c2 x2+2x+4 x+1    3 +  x+1  ≥6-2 3， ∴t2≥4-2 3， 3 当且仅当x+1= ，即x= 3-1时等号成立. x+1 [方法四]：判别式法 设BD=x，则CD=2x 在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD⋅ADcos∠ADB=x2+4+2x， 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD⋅ADcos∠ADC=4x2+4-4x， AC2 4x2+4-4x 4x2+4-4x 所以 = ，记t= ， AB2 x2+4+2x x2+4+2x 则4-t  x2-4+2t  x+4-4t  =0 由方程有解得：Δ=4+2t  2-44-t  4-4t  ≥0 即t2-8t+4≤0，解得：4-2 3≤t≤4+2 3 2+t 所以t =4-2 3，此时x= = 3-1 min 4-t AC 所以当 取最小值时，x= 3-1，即BD= 3-1. AB 1 9. (1)y=x2+ 4 (2)见解析 1 【分析】(1)设P(x,y)，根据题意列出方程x2+y- 2  2 =y2，化简即可； 数学试题 第 10 页 共 18 页1 (2)法一：设矩形的三个顶点Aa,a2+ 4  1 ,Bb,b2+ 4  1 ,Cc,c2+ 4  ，且a0，且mn=-1，利用放缩法得 C≥n+ BC 2 n  1+n2，设函数f(x)= 1 x+ x  2 1+x2  ，利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可. 1 法二：设直线AB的方程为y=k(x-a)+a2+ ，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得 4 AB  +AD  1+k2 ≥  3 ，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可. k2 法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明. 【解析】(1)设P(x,y),则y  1 = x2+y- 2  2 1 ，两边同平方化简得y=x2+ ， 4 1 故W:y=x2+ . 4 1 (2)法一：设矩形的三个顶点Aa,a2+ 4  1 ,Bb,b2+ 4  1 ,Cc,c2+ 4  在W上,且a0，且mn=-1，则m=- ， BC n 1 设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|≥|n|，k -k =c-a=n-m=n+ ， BC AB n 1 则 C=|AB|+|BC|=(b-a) 1+m2+(c-b) 1+n2≥(c-a) 1+n2= 2 1 n+ n  1 1+n2，易知n+ n  1+n2>0 1 则令f(x)=x+ x  2 1+x2  1 ,x>0,f(x)=2x+ x  2 1 2x- x  , 2 令f(x)=0，解得x= ， 2 2 当x∈0, 2  时，f(x)<0，此时f(x)单调递减， 2 当x∈ ,1 2  ，f(x)>0，此时f(x)单调递增， 2 则f(x) =f min 2  27 = ， 4 1 27 3 3 故 C≥ = ,即C≥3 3. 2 4 2 2 当C=3 3时,n= ,m=- 2,且(b-a) 1+m2=(b-a) 1+n2，即m=n时等号成立，矛盾，故 2 C>3 3, 得证. 法二：不妨设A,B,D在W上，且BA⊥DA， 数学试题 第 11 页 共 18 页1 依题意可设Aa,a2+ 4  ，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0， 1 则设BA,DA的斜率分别为k和- ，由对称性，不妨设k k  ≤1， 1 直线AB的方程为y=k(x-a)+a2+ ， 4 1 y=x2+  4 则联立 得x2-kx+ka-a2=0， 1 y=k(x-a)+a2+ 4 Δ=k2-4ka-a2  =k-2a  2>0，则k≠2a 则|AB|= 1+k2|k-2a|， 1 1 同理|AD|= 1+  +2a k2 k  ， 1 1 ∴|AB|+|AD|= 1+k2|k-2a|+ 1+  +2a k2 k  ≥ 1+k2 k-2a  1 + +2a k    1 ≥ 1+k2k+ k  1+k2 =  3 k2 令k2=m，则m∈0,1  (m+1)3 1 ，设f(m)= =m2+3m+ +3， m m 1 (2m-1)(m+1)2 1 则f(m)=2m+3- = ，令f(m)=0，解得m= ， m2 m2 2 1 当m∈0, 2  时，f(m)<0，此时f(m)单调递减， 1 当m∈ ,+∞ 2  ，f(m)>0，此时f(m)单调递增， 1 则f(m) =f min 2  27 = ， 4 3 3 ∴|AB|+|AD|≥ ， 2 1 1 但 1+k2|k-2a|+ 1+  +2a k2 k  1 ≥ 1+k2 |k-2a|+ +2a k    ，此处取等条件为k=1，与最终取等 2 时k= 不一致，故AB 2  +AD  3 3 > . 2 1 法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动 个单位得抛物线W:y=x2, 4 矩形ABCD变换为矩形ABCD,则问题等价于矩形ABCD的周长大于3 3. 设 Bt 0 ,t2 0  ,At 1 ,t2 1  ,Ct 2 ,t2 2  , 根据对称性不妨设 t ≥0. 0 则 k AB =t 1 +t 0 ,k BC =t 2 +t 0 , 由于 AB⊥BC, 则 t 1 +t 0  t 2 +t 0  =-1. 由于 AB= 1+t 1 +t 0  2 t 1 -t 0,BC= 1+t 2 +t 0  2 t 2 -t 0, 且 t 0 介于 t 1 ,t 2 之间, 则 AB+BC= 1+t 1 +t 0  2 t 1 -t 0+ 1+t 2 +t 0  2 t 2 -t 0. 令 t 2 +t 0 =tanθ, 数学试题 第 12 页 共 18 页π t +t =-cotθ,θ∈0, 1 0 2  ,则t =tanθ-t ,t =-cotθ-t ,从而 2 0 1 0 AB+BC= 1+cot2θ2t 0 +cotθ  + 1+tan2θtanθ-2t 0  1 1 故AB+BC=2t 0  sinθ - cosθ  sinθ cosθ 2t (cosθ-sinθ) sin3θ+cos3θ + + = 0 + cos2θ sin2θ sinθcosθ sin2θcos2θ π ①当θ∈0, 4  时, sin3θ+cos3θ sinθ cosθ 1 2 AB+BC≥ = + ≥2 =2 ≥2 2 sin2θcos2θ cos2θ sin2θ sinθcosθ sin2θ π π ②当 θ∈ , 4 2  时,由于t + = + sin2θcos3θ sin2θcos2θ cosθ sin2θ 2 2 = = sin2θsin2θ⋅2cos2θ 1-cos2θ  1-cos2θ  ⋅2cos2θ 2 ≥ 1-cos2θ  +1-cos2θ  +2cos2θ  3  2 ≥ 3 2  3  3 3 = ， 3 2 3 当且仅当cosθ= 时等号成立，故AB 3  +BC  3 3 > ，故矩形周长大于3 3. 2 . 1 1 【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得 C=|AB|+|BC|≥n+ 2 n  1+n2，同时为了简 便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可. 1. x|-1-1}∴∁ B={x|x≤-1} R ∴A,B和∁ A,∁ B不存在包含关系，A∩B={x|x≥2},A∪B=R R R 故选：D 4. (1)a =2n-6；(2)7. n 【分析】(1)由题意首先求得a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； 3 (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【解析】(1)由等差数列的性质可得：S =5a ，则：a =5a ,∴a =0， 5 3 3 3 3 设等差数列的公差为d，从而有：a 2 a 4 =a 3 -d  a 3 +d  =-d2， S 4 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =a 3 -2d  +a 3 -d  +a 3 +a 3 +d  =-2d， 从而：-d2=-2d，由于公差不为零，故：d=2， 数列的通项公式为：a n =a 3 +n-3  d=2n-6. (2)由数列的通项公式可得：a 1 =2-6=-4，则：S n =n×-4  nn-1 +  ×2=n2-5n， 2 则不等式S n >a n 即：n2-5n>2n-6，整理可得：n-1  n-6  >0， 解得：n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差 数列的有关公式并能灵活运用. 1. 1,3  【分析】转化为一元二次不等式x-1  x-3  <0，解出即可. 【解析】原不等式转化为x-1  x-3  <0，解得12  【解析】(1)依题意，f(x)= x+2, 0≤x≤2，   -3x+2, x<0 x>2 0≤x≤2 x<0 不等式f(x)≤6-x化为：  或  或  ， 3x-2≤6-x x+2≤6-x -3x+2≤6-x x>2 0≤x≤2 x<0 解  ，得无解；解  ，得0≤x≤2，解  ，得-2≤x<0，因此-2≤ 3x-2≤6-x x+2≤6-x -3x+2≤6-x x≤2， 所以原不等式的解集为：[-2,2] f(x)≤y (2)作出不等式组  表示的平面区域，如图中阴影△ABC， x+y-6≤0 y=-3x+2 y=x+2 由  ，解得A(-2,8)，由  , 解得C(2,4)，又B(0,2),D(0,6)， x+y=6 x+y=6 1 所以△ABC的面积S = |BD|×x -x △ABC 2 C A  1 = |6-2|×|2-(-2)|=8. 2 数学试题 第 18 页 共 18 页