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考点 07 三角函数的图像与性质（核心考点讲与练）
一、同角三角函数基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： si n 2α ＋ co s 2α ＝ 1.
(2)商数关系： ＝ ta n__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α － si n__α － si n__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α － co s__α cos__α － co s__α sin__α － si n__α
正切 tan α tan__α － ta n__α － ta n__α
函数名改变，符号看象
口诀 函数名不变，符号看象限
限
二、三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)， ， (2π ， 0) .
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，， (π ，－ 1 )，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x ≠ k π ＋ }
值域 [ － 1 ， 1 ] [ － 1 ， 1 ] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [ 2k π － π ， 2k π ]
递减区间 [ 2k π ， 2k π ＋ π ] 无
对称中心 (k π ， 0 )
对称轴方程 x ＝ k π ＋ x ＝ k π 无三、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
A T＝ f＝＝ ω x ＋ φ φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
4．三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变
电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型 f(x)＝Asin(ωx＋
φ)＋k中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.
1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性
列不等式求解.
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
2.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，B＝ .
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝ .
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高
点或最低点代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与
x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝ ；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)
为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝ ；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝
2π.
3．识别函数图象的方法技巧
函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
4.(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.
(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.
三角函数图象性质
1.（多选题）（2021湖北省新高考高三下2月质检）已知函数 在 上是减函数，
则下列表述正确的是（ ）A.
B. 的单调递减区间为 ，
C.a的最大值是 ，
D. 的最小正周期为
2. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 导函数为
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在区间 上是增函数
D. 函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到
根据三角函数图象求解析式
1.（2022年安徽省亳州市第一中学高三上学期9月检测）已知函数
的部分图象如图所示，点 ，则
将函数 图象向左平移 个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍､纵坐标不变，得到的图象对应的
函数解析式是（ ）A. B. C. D.
2 （2020广东省潮州市高三第二次模拟）函数 的部分图象如图所示．
则函数 的单调递增区间为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三角函数图象判断
1.（2020江西省靖安中学高三上学期第二次月考）已知函数 ，则函数 的部分图象
可以为（ ）
A. B. C. D.
2. . （2022广东省深圳市普通中学高三上学期质量评估）函数 在 上的图象大致为
（ ）A. B.
C. D.
三角函数图象变换
1.（2021浙江省金华十校高三模拟）已知奇函数 的图象由函数 的图象向左平
移 个单位后得到，则m可以是（ ）
A. B. C. D.
2. （2020安徽省合肥市高三第三次教学质量检测）为了得到函数 的图像，只需将函数
的图像
A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位
C. 横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位
D. 横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位1. （2021年全国高考乙卷）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
2. （2021年全国高考乙卷）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. （2021年全国新高考Ⅰ卷）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
4. （2021年全国高考甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________．一、单选题
1．（2022·福建·模拟预测）已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁锦州·一模）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西九江·二模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．4．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数 的最小正周期为
， 将其图象沿 轴向右平移 个单位， 所得函数为奇函数， 则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江·模拟预测）已知E，F分别是矩形ABCD边AD，BC的中点，沿EF将矩形ABCD翻折成大
小为 的二面角．在动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中，记二面角 的大小为 ，则
（ ）
A．当 时，sin 先增大后减小
B．当 时，sin 先减小后增大
C．当 时，sin 先增大后减小
D．当 时，sin 先减小后增大
6．（2022·四川达州·二模（理））设 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 值域为 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D．
7．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·山西长治·模拟预测（理））若函数 满足 ，则 可以是（ ）
A． B． C． D．9．（2022·天津·一模）已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．（2022·新疆·模拟预测（理））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，
数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用
函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标 中抽象出一个函数的图象如图，其对
应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．11．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））己知函数 在区间 上单调，
且满足 .有下列结论：
① ；
②若 ，则函数 的最小正周期为 ；
③关于x的方程 在区间 上最多有5个不相等的实数根；
④若函数 在区间 上恰有5个零点，则 的取值范围为 .
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长
度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 在 上的最小值为 D．直线 平是 的一条对称轴
13．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览
车中心 到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若 是从距地面42米时开始计
算时间时的初始位置，以观览车的圆心 为坐标原点，过点 的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设从点 运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），
则h是关于t的函数.当 时关于 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称中心为
B．对称中心为
C．对称轴为
D．对称轴为
14．（2022·河南·模拟预测（理））密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1
密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一
条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表
示为12－50，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
15．（2022·河北·模拟预测）已知角 的终边经过点 ．则（ ）
A． B．
C． D．16．（2022·重庆八中模拟预测）下列函数的图像中，与曲线 有完全相同的对称中心的是
( )
A． B．
C． D．
17．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·湖北·一模）已知函数 ，则( )
A． 的图象关于 对称 B． 的最小正周期为
C． 的最小值为1 D． 的最大值为
三、解答题
19．（2022·浙江宁波·二模）已知 .
(1)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数 在 的取值范围.20．（2022·天津三中一模）已知 ．
(1)若 ，求 使函数 为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，求满足 ， 的 的集合．
21．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
22．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数 .
(1)求函数 的最小正周期及其对称中心；
(2)求函数 在 上的值域.23．（2022·山东枣庄·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
求：
(1) ；
(2) 的取值范围．
