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专题 08 活用三角函数的图象与性质
目 录
01 齐次化模型..............................................................................................................................1
02 辅助角与最值问题..................................................................................................................4
03 整体代换与二次函数模型.......................................................................................................7
04 绝对值与三角函数综合模型...................................................................................................9
05 w的取值与范围问题.............................................................................................................13
06 三角函数的综合性质.............................................................................................................19
01 齐次化模型
1．（2021•新高考Ⅰ）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可得：．
故选： ．
2．（2023·广东广州·高三广州市第十六中学校考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知 ，则
，
故选：D
3．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）若 ， ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
故答案为： .4．（2023·山西晋中·高二榆次一中校考开学考试）已知 ，则 ．
【答案】 /
【解析】由 ，则 ，又
.
故答案为： .
5．（2023·江西九江·高一校联考期末）若 ，则 的值是 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 ，
故答案为：
6．（2023·天津河西·高三天津市新华中学校考期末）已知直线 的一个方向向量为 ，倾斜角为 ，
则 ．
【答案】-1
【解析】因为直线 的一个方向向量为 ，所以 ，所以 ，
所以．
故答案为： ．
7．（2021•甲卷）若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
即 ，
， ，
则 ，解得 ，
则 ，
．
故选： ．
8．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：02 辅助角与最值问题
9．（2023·全国·高三专题练习）实数 满足 ，则 的范围是 .
【答案】
【解析】 .故令 ， .
则原式 ，故 .
故答案为： .
10．（2023·江西·统考模拟预测）记 的面积为 ，内角 所对的边分别为 ，且
，则 的值为 .
【答案】
【解析】由题得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，其中 ，所以 ，故 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习） 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
由 ，得 ，
令 ，则 ，则 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
且 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
12．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知实数 满足
，则 的最大值为 ．
【答案】【解析】设 ，
故 ，所以 ，
所以 或 ，
故 或 ，
当 时， ，
，
其中 ， ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 .
当 时， ，
，
其中 ， ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 .
综上， 的最大值为 .
故答案为： .13．（2023·江西·高三校联考阶段练习）当 时，函数 取得最大值，则
.
【答案】
【解析】利用辅助角公式 ，其中
当 时，函数 取得最大值，则 ，
所以 ，
所以
又 ，
所以
故答案为： .
03 整体代换与二次函数模型
14．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）函数 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】函数，
由于 ，
故 ，由于函数 的对称轴为 ，
当 时， 取得最大值 ，
故选：B
15．（2023·山西·统考一模）在 中，角 所对的边分别为 ．若 ，且 ，
则 的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由正弦定理与 得 ，又 ， ，
所以 ，所以
，
又 ，所以当 时， 取得最大值 ，
故选: B．
16．（2023·重庆渝中·高三统考期中）函数 的最大值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【解析】 ，令 ，则 ，
故 ，
则 ，
所以当 时， ，
所以函数 的最大值为 .
故选：A.
17．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数 是偶函数，则函数 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】由偶函数的定义 化简可求得 ，则 ，借助基本不等式和
余弦函数性质即可得解.因为函数 是偶函数，
所以 ，即 ，化简可得： ，
解得： ，即 .
又因为 ， ，
所以 （当且仅当 时两个“ ”同时成立）.
故选：C.
18．（2023·高一课时练习）已知 ， ，则 的最大值为
A． B．2 C．4 D．
【答案】B【解析】∵ ， ，
∴
.
∵ ，∴ .
故选B.
04 绝对值与三角函数综合模型
19．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知函数 ，以下结论正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B．函数在 单调递减
C．函数 的值域为 D．函数 在 内有6个零点
【答案】C
【解析】因为 ，所以A错误；
当 ， ，其中 ，
不妨令 为锐角，所以 ，所以 ，因为 ，所以B错误；
因为 是函数 的一个周期，可取一个周期 上研究值域，当 ，
， ，所以
，即 ；因为 关于 对称，所以当 时 ，故函数 在 上的值域为 ，故C正确；
因为函数 为偶函数，所以在区间 上零点个数可通过区间 上零点个数，由 ，
在 图像知由2个零点，所以在区间 上零点个数为4个，所以D错误．
故选:C.
20．（2023·广西·柳州高级中学校考二模）设函数 ，下述四个结论：
① 是偶函数；
② 的最小正周期为 ；
③ 的最小值为0；
④ 在 上有3个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】因为函数f（x）定义域为R，而且f（﹣x）＝cos|2x|+|sinx|＝f（x），所以f（x）是偶函数，①正
确；
因为函数y＝cos|2x|的最小正周期为π，y＝|sinx|的最小正周期为π，所以f（x）的最小正周期为π，②正确；
f（x）＝cos|2x|+|sinx|＝cos2x+|sinx|＝1﹣2sin2x+|sinx|＝﹣2（|sinx| ）2 ，而|sinx|∈[0，1]，所以当|sinx|
＝1时，f（x）的最小值为0，③正确；
由上可知f（x）＝0可得1﹣2sin2x+|sinx|＝0，解得|sinx|＝1或|sinx| （舍去）
因此在[0，2π]上只有x 或x ，所以④不正确．
故选：B．
21．（2023·河南郑州·高三统考阶段练习）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；② 的最大值为2；③ 在区间 上有3个零点；④ 在区间 上单调递增．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】利用函数的奇偶性的概念判断①，然后分类讨论确定函数 在每一段上的最值，
判断②是否正确；分别分析函数 在 和 上的零点个数，判断③是否正确；再分析当
时，则 在区间 上单调递性判断④是否正确.对于①，函数 的定义域为 ，关于
原点对称，
且 ，
该函数为偶函数，①正确；
对于②，当 （ ）时， ，
此时 （ ），当 （ ）时，
函数 取得最大值 ；
当 （ ）时， ，
此时 （ ），
当 （ ）时，函数 取得最大值 ．
根据函数 的对称性可知，函数 的最大值为 ，②错误；
对于③，当 时， ，令 ，则 ，
此时 ；当 时， ，令 ，则 ，此时 ．
所以函数 在区间 上有且只有两个零点，故③错误；
对于④，当 时， ，且 ，所以函数 在区间
上单调递增，④正确．
因此，正确结论的个数为2．
故选：C．
22．（2023·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考阶段练习）函数
的最大值为 .
【答案】
【解析】因为 的定义域为 ，
所以 为偶函数，
当 时，
， ，
所以当 时，函数取得最大值 ，
综上可知函数的最大值 ，故答案为：
05 w 的取值与范围问题
23．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数 （ ）在 内有且仅有3
个零点，则 的值可以是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【解析】由于 （ ）在 内有且仅有3个零点，
所以方程 （ ）在 内恰有三个不相等的实数根，
即 与直线 在 内恰有三个交点.
令 ，则 ，
则 与直线 在 （ ）内恰有三个交点.
令 ，解得： （ ）或 （ ），
又 ， 且满足条件的 恰有三个值，
则 ，解得： ，
故选：B.
24．（2023·山西吕梁·高三校联考开学考试）已知函数 的最小正周期为
，若 ，且 在区间 上恰有 个零点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意 的最小正周期为T，则 ，
又 ，可得 ，即 ，
又 ，所以 ，
在区间 上恰有3个零点，
当 时， ，
结合函数 的图象如图所示：
则 在原点右侧的零点依次为 ， ， ， ，…，
所以 ，解得 ，即 的取值范围为 ．
故选：D．
25．（2023·云南保山·高一统考期末）已知函数 ，若 在区间 上
不存在零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，在区间 上不存在零点，设 的最小正周期为T，
则 ，
又函数 的零点满足 ，即 ，
若 ，则 ，
因为 ，故 ，则 时， ，
时， ，结合 得 ，
由于 在区间 上不存在零点，
故在 的范围内去除 和 ，
则 ，
故选：B
26．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 在区间 ， 有且仅有3个零点，则 的取值
范围是 ．
【答案】 ，
【解析】 ， ，函数的周期为 ， ，可得 ，
函数 在区间 ， 有且仅有3个零点，
可得 ，
所以 ．
故答案为： ， ．
27．（2023·四川·校联考一模）将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的 倍，得到函数 的图象，若函数 在区间 内没有零点，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的 倍，得到函数 的图象，
即 ，因为函数 在 上没有零点，则 ，即 ，
即 ，则 ，由 ，得 ，得 ，
若函数 在 上有零点，则 ， ，
即 ，又 ，则 .当 时，解得 .
当 时，解得 .当 时，解得 ，与 矛盾.
综上，若函数 在 上有零点，则 或 ，
则若没有零点，则 或 .
故选：C.
28．（2022•甲卷）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】【解析】当 时，不能满足在区间 极值点比零点多，所以 ；
函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，
， ，
，
求得 ，
故选： ．
29．（2022•甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ，若 关
于 轴对称，则 的最小值是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ，
则 对应函数为 ，
的图象关于 轴对称， ， ，
即 ， ，
则令 ，可得 的最小值是 ，
故选： ．
30．（2023·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）已知函数
，且 ，都有 ，则 的取值范围可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
设 ，
由于 ，且 ，时 ，
可知 在 上单调递减，
由正弦函数性质可知 ，
故当 时， ，
即 时，
即 时，已知不等式成立，故选项A正确，B错误；
对于选项C，当 时， ，
当 时， ，
显然此时的 在 上不是单调递减，故选项C错误；
对于选项D，当 时， ，
显然此时的 在 上不是单调递减，故选项D错误；
故选：A31．（2023·江苏扬州·高一校考期末）已知 满足 ， 且 在
上单调，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 满足 ， ，
，即 ，
，
在 上单调，
，即 ，
当 时 最大，最大值为 ，
故选：B.
32．（2023·浙江金华·高三校联考阶段练习）已知函数 在 上单调递增，且
当 时， 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由已知，函数 在 上单调递增，
所以 ，解得： ，
由于 ，所以 ，解得： ①
又因为函数 在 上 恒成立，
所以 ，解得： ，
由于 ，所以 ，解得：
②
又因为 ，当 时，由①②可知： ，解得 ；
当 时，由①②可知： ，解得 .
所以 的取值范围为 .
故选：B.
06 三角函数的综合性质
33．（多选题）（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ，则以下结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象关于点 成中心对称
C．函数 与 的图象有偶数个交点
D．当 时，
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，
所以函数 的图象关于点 成中心对称，故B正确；
对于选项C：因为 ，
所以函数 的图象关于点 成中心对称，
即函数 与 的图象均关于点 成中心对称，
因为 ，即 为函数 与 的一个交点，
当 ，函数 与 的图象有 个交点，
则当 ，函数 与 的图象有 个交点，
综上所述：函数 与 的图象有 个交点，为奇数个，故C错误；对于选项D：当 时，则 ，所以 ，
且 ， ， ，
所以 ，故D正确；
故选：ABD.
34．（多选题）（2023·山东泰安·高三统考期中）已知函数 的图象如图
所示，则（ ）
A．
B．函数 的一个对称中心为
C． 是函数 的一个周期
D．将函数 的图象向左平移 个单位长度可得函数 的图象
【答案】BCD
【解析】由图可知， ，
所以 ，所以 ，
故 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
对于B，因为 ，
所以函数 的一个对称中心为 ，故B正确；
对于C，因为函数 的最小正周期为 ，
所以 是函数 的一个周期，故C正确；
对于D，将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得 ，故D正确.
故选：BCD.
35．（多选题）（2023·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 （ ，
， ）的部分图象如图所示，则（ ）A． ，
B．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象
C．点 为 图象的一个对称中心
D．函数 在 上的值域为
【答案】BD
【解析】对于选项A：根据图象可知 ，解得 ，则 ，
又因为 ，且图象过 ，
可得 ，则 ，解得
则 ，则 ，故A错误；
对于选项B：因为函数 ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，故B正确；
对于选项C：因为 ，
所以点 不是 的对称中心，故C错误；
对于选项D：当 时， ，此时函数 的值域为 ，故D正确.
故选：BD.
36．（多选题）（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数
是偶函数，其图象的两个相邻对称轴间的距离为 ，将函数 的
图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C．函数 的图象关于点 对称 D．函数 的图象在 处取得极大值
【答案】ABC
【解析】对于A， 图象的两个相邻对称轴间的距离为 ，
的最小正周期 ，
， ，
为偶函数， ，又 ， ，
，A正确；
对于B， ，
则当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递增，B正确；
对于C，当 时， ，是 的一个对称中心，又 ，
的图象关于点 对称，C正确；
对于D，当 时， ，
不是 的极大值点， 不是 的极大值点，D错误.
故选：ABC.
37．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的最大值为4
B．若 的最小正周期为 ，则
C．当 时，函数 图象的对称中心为点
D．当 时，函数 在 上的图象与直 所围成的平面图形的面积为
【答案】ACD
【解析】
，
选项A：当 时， 取得最大值4，所以A正确；
选项B：若 的最小正周期为 且 ，则 ，所以 ，所以B不正确；选项C：当 时，函数 ，令 ，
解得 ，所以 图象的对称中心为点 ，所以C正确；
选项D：当 时，函数 ，
在平面直角坐标系内作出 的图象与直线 所围成的平面图形,如图1中阴影部分所
示．
图1
解法一：由图可将阴影部分的面积转化为 的面积，如图2所示，
易求得 的面积为 ，所以D正确．
图2
解法二：由图可将阴影部分的面积转化为矩形 的面积的一半，如图3所示，
易求得矩形 的面积为 ，所以曲边图形的面积为 ，所以D正确．图3
故选：ACD
38．（多选题）（2023·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数
为 的两个极值点，且 的最小值为 ，直线 为
图象的一条对称轴，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． 在间 上单调递增 D． 图象关于点 对称
【答案】BCD
【解析】因为 为 的两个极值点，且 的最小值为 ，
所以 ，所以 ，故A错误；
则 ，
又直线 为 图象的一条对称轴，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，故B正确；所以 ，
由 ，得 ，
所以 在间 上单调递增，故C正确；
将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，
则 ，
因为 ，
所以 图象关于点 对称，故D正确.
故选：BCD.
39．（2022•新高考Ⅰ）记函数 的最小正周期为 ．若 ，且
的图像关于点 ， 中心对称，则
A．1 B． C． D．3
【答案】
【解析】函数 的最小正周期为 ，
则 ，由 ，得 ， ，
的图像关于点 ， 中心对称， ，
且 ，则 ， ．
， ，取 ，可得 ．，则 ．
故选： ．
40．（2022•天津）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 ， 上单调递增；
③当 ， 时， 的取值范围为 ， ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】对于 ，它的最小正周期为 ，故①错误；
在 ， ， ， ，函数 单调递增，故②正确；
当 ， 时， ， ， 的取值范围为 ， ，故③错误；
的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到，故④错误，
故选： ．
41．（2021•上海）已知 ，对任意的 ， ，都存在 ， ，使得
成立，则下列选项中， 可能的值是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ，， ，
， ，
都存在 ， ，使得 成立，
， ，
，
， ，
在 上单调递减，
当 时， ，
，故 选项错误，
当 时， ，
，
，故 选项正确，
当 时， ，
，故 选项错误，
当 时， ，
，故 选项错误．
故选： ．
42．（2021•乙卷）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，
把函数 的图像，向左平移 个单位长度，
得到 的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得 的图像．
故选： ．
