文档内容
专题 09 三角函数的图象与性质的综合应用
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................8
题型一：齐次化模型 8
题型二：辅助角与最值问题 9
题型三：与三角函数有关的最值问题 9
题型四：绝对值与三角函数综合模型 10
题型五：三角函数的综合性质 12
题型六：换元法配凑角 14
题型七：三倍角公式 15
重难点突破：ω的取值与范围问题 16三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位，是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要
集中在两个方面：
1、三角函数的图象方面，这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题
通常以选择题和填空题的形式出现，考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。
2、三角函数的性质应用方面，这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域
以及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现，要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决
问题。
此外，三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题，以选择题
或填空题的形式呈现，难度相对较低；也可以作为工具，与三角函数及解三角形相结合，求解最值、范围
等问题，这时多以解答题的形式出现，难度适中。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷第8题，5分
同角三角函数基本关 理解同角关系， 2023年甲卷第7题，5分
系式 熟练运用解题 2023年乙卷第14题，5分
2021年I卷第6题，5分
2024年I卷第4题，5分
2025年高考三角函数考
2024年II卷第13题，5分 查重点：一是同角三角函数
2024年北京卷第12题，5分 基本关系及诱导公式，需复
习三角函数定义，题型为选
掌握恒等变换，
2023年II卷第7题，5分
择或填空，难度适中；二是
三角恒等变换 提高解题技巧与
2023年I卷第8题，5分 三角恒等变换，注重公式变
灵活性
形、应用及最值问题，同样
2022年II卷第6题，5分
以选择或填空形式出现，难
2022年浙江卷第13题，6分 度为基础至中档；三是三角
2021年甲卷第9题，5分 函数的图像、性质及变换，
组合考查为热点，题型灵
2024年I卷第7题，5分
活，既可为基础或中档题，
2024年II卷第6、9题，11分 也可能成为压轴题。考生需
全面掌握三角函数相关知
2024年天津卷第7题，5分
识，灵活运用，以应对高考
2024年北京卷第6题，5分
理解三角图像性 挑战。
三角函数的图像与性
质，提升函数应 2023年天津卷第5题，5分
质
用能力
2023年甲卷第10题，5分
2023年乙卷第6题，5分
2023年I卷第15题，5分
2023年II卷第16题，5分1、三角函数图象的变换
（1）将 的图象变换为 的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对 作的变换；
（3）伸缩变换
①沿 轴伸缩时，横坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（纵坐标 不变）；
②沿 轴伸缩时，纵坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（横坐标 不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；的单调递增区间是 ．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合 ， ，
， 的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为 的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于 或 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中
心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为奇函数，则有 ．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间
的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 个周期列不等式（组）求解.1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024年北京高考数学真题）设函数 .已知 ， ，且 的最
小值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024年天津高考数学真题）已知函数 的最小正周期为 ．则 在区间
上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ， ，当 时，曲
线 与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当 时，曲线 与 的交点个数为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．86．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数 和 ，下列说法
中正确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
8．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于
原点对称.若 ，则 的最大值为 ．
9．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数 在 上的最大值是 ．
10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，
，则 .
11．（2023年北京高考数学真题）已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明
p为假命题的一组 的值为 ， ．
12．（2023年北京高考数学真题）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．题型一：齐次化模型
【典例1-1】（2024·高三·江西宜春·期末）已知 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【典例1-2】（2024·高三·河北沧州·期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
（二次隐型齐次化）
或者
这种类型题，分子分母同除以 （一次显型）或者 （二次隐型），构造成 的代数式，
这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【变式1-2】（2024·陕西安康·三模）已知 ，则 （ ）
A．6 B． C． D．2
【变式1-3】若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
1．设 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型二：辅助角与最值问题
【典例2-1】若函数 在 处取得最大值，则 .
【典例2-2】（2024·高三·江西萍乡·期中）设 ，且
，则实数 的取值范围是 ．
第一类：一次辅助角: = ．（其中 ）
第二类：二次辅助角
【变式2-1】（2024·高三·山东临沂·期中）已知关于x的方程 有解，则
的最小值为 .【变式2-2】已知 ，求 的最大值 .
1．[新考法]（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角 、 均为锐角，则 的范围是
．
题型三：与三角函数有关的最值问题
【典例3-1】已知函数 ，则 的最小值是 ．
【典例3-2】函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
三角函数最值问题，一直是高考中的难点与重点。这类题目常融合三角恒等变换，结合函数、导数与
不等式，求解不易。通常，处理三角函数最值问题，可采用以下策略：化一简化法、变量替换法（换元）、
主元突出法、图形与数值结合法，以及导数求极值法。
【变式3-1】已知 ，则 的最大值为
【变式3-2】在 中， 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．1．已知函数 （ ），则函数 的最大值为 .
2．函数 的值域是 ．
题型四：绝对值与三角函数综合模型
【典例4-1】已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小值为
C． D． 在 上有解
【典例4-2】（2024·高三·上海宝山·开学考试）已知 ，给出下述四个
结论:
① 是偶函数; 在 上为减函数;
②
③ 在 上为增函数; 的最大值为 .
④
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④关于 和 ，如图， 将 图像中 轴上方部分保留， 轴下方部分沿着
轴翻上去后得到，故 是最小正周期为 的函数，同理 是最小正周期为 的函
数； 是将 图像中 轴右边的部分留下，左边的删除，再将 轴右边图像作对称至左边，
故 不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【变式4-1】关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上单调；
③函数 的最大值为M，最小值为m，则 ；
④若 ，则函数 在 上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【变式4-2】关于函数 ，其中 有下述四个结论：
① 是偶函数； ② 在区间 上是严格增函数；
③ 在 有3个零点； ④ 的最小正周期为 ．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③1．（多选题）已知函数 ，则（ ）
A． 是 的一个周期 B． 是 的一条对称轴
C． 的值域为 D． 在 上单调递减
题型五：三角函数的综合性质
【典例5-1】（多选题）已知函数 ，若 及其导函数 的部
分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数 在 上单调递减
C． 的图象关于点 中心对称
D． 的最大值为
【典例5-2】（多选题）已知函数 ，若 ，且 ，则函数的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
三角函数的综合性质解题，关键在于掌握其基本关系、图像变换及周期性。解题时，先识别函数类型，
利用诱导公式化简，再结合图像分析性质，如单调性、最值等。最后，灵活运用三角函数公式求解，注意
计算准确性。
【变式5-1】（多选题）已知函数 的最小正周期为 ，其图
象关于直线 对称，且对于 恒成立，则（ ）
A．函数 为偶函数
B．当 时， 的值域为
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度后可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【变式5-2】（多选题）已知函数 （ ， ）图象的两条对称轴间距离的最小值
为 ，且 为 的一个零点，则（ ）A． 的最小正周期为
B．
C． 在 上单调递增
D．当 时，曲线 与直线 的所有交点的横坐标之和为
1．[新考法]（多选题）已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的最大值为
C． 在 上单调递增
D．方程 在 上最多有4个解
2．[新考法]（多选题）设函数 的最小正零点为 ，则（ ）
A． 的图象过定点 B． 的最小正周期为
C． 是等比数列 D． 的前 项和为题型六：换元法配凑角
【典例6-1】[新考法]若 ，则 .
【典例6-2】已知 ，且 ，则 .
三角函数“凑角拆角”问题，常规配凑解法繁琐。采用换元法，可简化步骤，快速求解。
【变式6-1】已知 ，则 .
【变式6-2】设 ，若 ，则 的值为 ．
1．已知 ， ，则 .
题型七：三倍角公式
【典例7-1】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科
研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比 ，现给出三倍角公式
和二倍角角公式 ，则t与 的关系式正确的为（ ）A． B． C． D．
【典例7-2】（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知 为坐标原点，曲线 ：
， ， 为曲线 上动点，则（ ）
A．曲线 关于y轴对称 B．曲线 的图象具有3条对称轴
C． D． 的最大值为
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
【变式7-1】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 .
1．已知 为锐角，且 .则 .重难点突破：w 的取值与范围问题
【典例8-1】已知函数 在区间 上是增函数，若函数 在 上的图象与
直线 有且仅有一个交点，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】（2024·高三·河北石家庄·期中）已知函数 在 上恰有
2个零点，则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
1、 在 区间 内没有零点
同理， 在区间 内没有零点在区间 内有 个零点
2、
在区间 内有 个零点
同理
3、 在区间 内有 个零点
同理 在区间 内有 个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，则
．5、已知单调区间 ，则 .
【变式8-1】（2024·新疆阿勒泰·三模）已知 ，若函数 在区间 上有且只有
个零点，则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2024·高三·福建厦门·期中）若直线 是曲线 的一条对称轴，且函
数 在区间 上不单调，则 的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
1．若函数 在 内存在最小值但无最大值，则 的范围是
2．已知 （其中 ），其函数图像关于直线 对称，若函数在区间 上
有且只有三个零点，则 的范围为 ．
