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考点 08 三角恒等变换（核心考点讲与练）
一、任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ (x ≠ 0) .
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是
原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的 正 弦线 、余弦线和正切线.
二、同角三角函数基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： si n 2α ＋ co s 2α ＝ 1.
(2)商数关系： ＝ ta n__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α － si n__α － si n__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α － co s__α cos__α － co s__α sin__α － si n__α
正切 tan α tan__α － ta n__α － ta n__α
函数名改变，符号看象
口诀 函数名不变，符号看象限
限
三、解两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__ α co s__ β ±co s__ α si n__β.
cos(α∓β)＝cos__ α co s__ β ±si n__ α si n__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__ α co s__α.cos 2α＝ co s 2α － si n 2α ＝ 2co s 2α － 1＝ 1 － 2si n 2α .
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－
φ).
[名师提醒]
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
1.定义法求三角函数值的三种情况
①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求
解；
②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求
参数值；
③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
2.三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
3.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总
有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得
解．
4.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其
角相同或具有某种关系．
5.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．三角函数的定义
1. （2020湖北百所重点校高三联考）已知角 的终边经过点 且 ，则 等于
（ ）
A. B. C. D.
2.已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角 绕原点逆时针转 后，终边交单位圆于 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
化简求值
1. (2020湖北武汉模拟) ＝（ ）
A. B. C. D.
2.（2022高三一轮复习联考（一）（全国1卷））已知 ，则
___________.
3. （2022河南省大联考） 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.4.（2022云南省昆明市五华区高三模拟）若 ， ，则 ______．
5. (2020四川南充模拟)已知 ， ，且 ， ，则
________.
1. （2021年全国高考乙卷） （ ）
A. B. C. D.
2. （2021年全国高考甲卷） 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. （2021年全国新高考Ⅰ卷）若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
一、单选题
1．（2022·河北·模拟预测）已知函数 ，若 的图象在区间 上有且
只有1个最低点，则实数 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
2．（2022·辽宁丹东·一模）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川广安·一模（理））若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2022·江苏南通·模拟预测）在 ABC中，若 ，则 （ ）
△
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在 中， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D．
6．（2022·重庆·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为
贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发
展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有
诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不
劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中
，动点P在 上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧 于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
7．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知向量 ， ，且 ，
，其中 ，下列说法正确的是（ ）
A． 与 所成角的大小为 B．
C．当 时， 取得最大值 D． 的最大值为
三、填空题
8．（2022·广东湛江·二模）若 ， ，则 ___________.
9．（2022·河北秦皇岛·二模）已知 为锐角，且 ，则 ___________.
10．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数 的图象与函数
的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且 的面积是 ，则 ______．
四、解答题
11．（2022·天津·一模）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 .
(1)求角B的大小；(2)设 ， ，求 和 的值.
12．（2022·广东惠州·一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，且 .
(1)求证： ；
(2)当 时，求 .
13．（2022·四川雅安·二模）已知向量 ， ，设函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且______，求 的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．
① ；② ；③ ， ， 成等比数列．注：如果选择多个条
件分别解答，按第一解答计分．
14．（2022·全国·模拟预测）在 中， ， ， 分别为角A， ， 的对边，且满足
．
（1）求A；（2）若点 满足 ， ，求 的取值范围．
15．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数 的最小正周期
为6．
(1)已知△ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，若 ， ，求 的值；
(2)若 ，求数列 的前2022项和 ．
16．（2022·湖北·二模）如图，在平面四边形 中， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求四边形 的面积．
