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专题 03 平面向量小题全归类
【命题规律】
平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现．常常以
平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等
式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，
与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等．
【核心考点目录】
核心考点一：平面向量基本定理及其应用
核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用
核心考点三：平面向量的数量积
核心考点四：平面向量的模与夹角
核心考点五：等和线问题
核心考点六：极化恒等式
核心考点七：矩形大法
核心考点八：平面向量范围与最值问题
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
2．（2022·全国·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津·高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示 为
___________，若 ，则 的最大值为____________
【方法技巧与总结】
1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问
题，总的思路有：
（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行
相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方
程进行求解．2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：
①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面
图形的特征直接进行判断；
②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、
方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
【核心考点】
核心考点一：平面向量基本定理及其应用
【规律方法】
1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或
数乘运算．
2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；
（3）运用法则找关系；（4）化简结果．
【典型例题】
例1．（2022·全国·模拟预测）如图，在 中，点D是边AB上一点且 ，E是边BC的中点，
直线AE和直线CD交于点F，若BF是 的平分线，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．
例2．（2022·全国·模拟预测）如图，在平行四边形 中，点 在线段 上，且 （ ），
若 （ ， ）且 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
例3．（2022·北京·牛栏山一中高三期中）在平行四边形 中， 是边 的中点， 与 交于点 ．
若 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
例4．（2022·广东广州·高三期中）如图，在平行四边形 中， 分别为 上的点，且
，连接 交于 点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（文））已知平面向量 ， 满足 ， ，
点D满足 ，E为 的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例6．（多选题）（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）如图， 中， ， ，
与 交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在 中， ， ， 与 交于点 ，
若 ，则 的值为__________.
例8．（2022·全国·高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边
上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形 按上述操作
作图后，得如图所示的图形，若 ，则 ____________．核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用
【规律方法】
1、平面向量共线定理：已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然．
2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量 ， ，则 的充要条
件是 ；（2）若 ，则 ．
【典型例题】
例9．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知点 是 的中线 的中点，过点 的直线交边 于
点 ，交边 于点 ．若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例10．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习）已知向量 ， ，且 ，则
__________.
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取
值范围为______．
例12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在 中， ， ， 与 交于点 ，
若 ，则 的值为__________.
例13．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）在 中， ， 分别是边 ， 上的点，且
， ，点 是线段 上异于端点的一点，且满足 ，则
_________．例14．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）如图，点G为 的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC
点D，E两点， ， ，则m＋n＝______．
核心考点三：平面向量的数量积
【规律方法】
1、向量的数量积：设两个非零向量 的夹角为 ，则 叫做 与 的数量积，记作 ．
2、数量积的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积．
3、设向量 ， ，则 ，由此得到：
（1）若 ，则 或 ．
（2）设 ，则A，B两点间的距离
（3）设两个非零向量 ，且 ， ，则
（4）若 都是非零向量， 是 与 的夹角，则
【典型例题】
例15．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知A，B，C，D在同一平面上，其中
，若点B，C，D均在面积为 的圆上，则 （ ）
A．36 B． C．18 D．
例16．（2022·山东淄博·高三期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ，点
为外心，则 （ ）A． B． C．10 D．20
例17．（2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中）已知菱形 的边长为2， ， 是菱
形 内一点， 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
例18．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））在 中， ， ， 为线段 的中点，
， 为线段 垂直平分线 上任一异于 的点，则 （ ）
A． B．4 C．7 D．
例19．（2022·江苏南通·高三期中）已知 的外接圆的圆心为 ，半径为1， ，
在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
核心考点四：平面向量的模与夹角
【规律方法】
(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为 ．
(2)求非零向量 的夹角一般利用公式 先求出夹角的余弦值，然后
求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．
【典型例题】
例20．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）设 ， ，若对 ， ，则
与 的夹角等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
例21．（2022·江苏连云港·高三期中）已知向量 ， 满足 ， ，且对任意实数 ，不等式
恒成立，设 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例22．（2022·甘肃·兰州五十一中高三期中（理））已知向量 与 的夹角是 ，且 ，则向量
与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．例23．（2022·浙江绍兴·一模）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A．2 B． C．1 D．
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
例25．（2022·山西·晋城一中教育集团南岭爱物学校高三阶段练习）已知 为等边三角形， 为 的
中点， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
核心考点五：等和线问题
【规律方法】
等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线 上或者在平行
于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和
线．
①当等和线恰为直线 时， ；
②当等和线在 点和直线 之间时， ；
③当直线 在点 和等和线之间时， ；
④当等和线过 点时， ；
⑤若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；
B
1
B
P
Q l
O
A A
1
【典型例题】
例26．（2022·全国·高三专题练习）在矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 上
的动点，且满足 ，设 ，则 的最小值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
例27．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，
若 ，则 的最大值为（ ）A． B．2 C． D．1
例28．（2022·全国·高一期末）在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若
（ ， ），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例29．（2022·江苏·高二）如图，已知点 在由射线 、线段 ，线段 的延长线所围成的平面
区域内（包括边界），且 与 平行，若 ，当 时， 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
核心考点六：极化恒等式
【规律方法】
极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则 ，①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得： ————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的 ．
②三角形模式： （M为BD的中点）
A
B M C
【典型例题】
例30．（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为 的正方形内有一内切圆， 是内切圆的一条弦，
点 为正方形四条边上的动点，当弦 的长度最大时， 的取值范围是_________．
例31．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的
线段， ， ， ，则 的取值范围为 ________________ ．
例32．（2022·全国·高一）设三角形ABC，P 是边AB上的一定点，满足PB= AB，且对于边AB上
0 0
任一点P，恒有 ，则三角形ABC形状为___________．
例33．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 相切于点
，设直线 与 轴的交点为 ，点 为圆 上的动点，则 的最大值为______．
核心考点七：矩形大法【规律方法】
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，
证明： ．
【典型例题】
例34．（贵州省贵阳市第一中学2022届高三上学期高考适应性月考卷（三）数学（文）试题）已知
平面向量 ， ， ，满足 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
例35．（北京市人大附中朝阳学校2021-2022学年度高一下学期期末模拟数学试题（1））设向量 ，
， 满足 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
例36．（四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试数学（理）试题）已知 为单位向量，向
量 满足： ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
核心考点八：平面向量范围与最值问题
【规律方法】
平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步： 将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步： 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果【典型例题】
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知在 中， ， ，动点 位于线段 上，
当 取得最小值时，向量 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例38．（2022·全国·高三阶段练习）已知平面向量 ， ， ， ，满足 ， ， ，若
，则 的取值范围是________．
例39．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知等边△ABC的内接于圆 ，点P是圆O
上一点，则 的最大值是______．
例40．（2022·四川资阳·一模（理））已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，
则 的最大值为______．
例41．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，在直角梯形 中， ，
是线段 上的动点，则 的最小值为__________.
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）如图，在矩形ABCD中， ，E为边AB上的任意一点（包含端
点），O为AC的中点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏南京·模拟预测）已知 为坐标原点，抛物线 ： .过点 （ ）的直线 与
交于 ， 两点，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则
在 上的投影为（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．（2022·广西贵港·高三阶段练习（理））已知 ，点P满足 ，动点M，N满足
， ，则 的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
5．（2022·贵州·高三阶段练习（理））如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三
个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角 的斜边 ，直角边 ， ．若 ， ，E
为半圆 弧的中点，F为半圆 弧上的任一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
6．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图所示，已知圆O的半径为5， ，圆O上有一点B满足
，点C为圆O上任意一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）如图，在 中，O为线段BC上一点，且 ，G为线段
AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点， ， ，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．2
8．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图所示，平行四边形 的对角线相交于点 ，若
，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 在 方向上的投影向量为
C．与 垂直的单位向量的坐标为 D．若向量 与向量 共线，则
10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知扇形AOB的半径为1， ，点C在弧AB上运动，
，下列说法正确的有（ ）
A．当C位于A点时， 的值最小 B．当C位于B点时， 的值最大
C． 的取值范围为 D． 的取值范围
11．（2022·福建三明·高三期中）已知向量 ，则下列命题正确的是
（ ）
A． 的最大值为
B．存在 ，使得
C．若 ，则D．若 在 上的投影向量为 ，则向量 与 的夹角为
12．（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）如图， 中， ， ， 与 交于
点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测）在梯形ABCD中， ，E是BC的中点，若 ， ，且
，则 ___________．
14．（2022·全国·模拟预测）如图，已知A，B，C为圆 上的三点， ， ， ， 分
别在OA，OB上运动，且 ，点 在劣弧 上，则 的最小值为___________.
15．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高三阶段练习）若 ，且 的
最大值为 ，则 __________.
16．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）在平行四边形ABCD中，点E满足 ，连接
AE并延长交BC的延长线于点F， ，若数列 是等差数列，其前n项和为 ，则
______．
17．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）已知 为单位向量， 满足 ，当 与 的夹角最大时， _________．
18．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知 为 的外接圆圆心，若 ， ，
设向量 在向量 上的投影向量为 ，则 _________.
19．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转
得到向量 ，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 得到点 .已知平面内
点 ，点 ，把点 绕点 沿逆时针 后得到点 ，向量 为向量 在向量 上的投
影向量，则 __________.
20．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、
社会现象．如图（1）是八卦模型图，将共简化成图（2）的正八边形 ，若 ，则
______________．
