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第1讲 三角函数的图象与性质
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数的周期性
突破二：三角函数的奇偶性
突破三：三角函数的对称性
突破四：三角函数图象变换
突破五：根据图象求解析式
突破六：五点法作图问题
突破七：和三角函数有关的零点问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、三角函数的周期性
函数
周期
函数
周期
函数
( ) ( ) ( )
周期
2、三角函数的奇偶性
三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数( )
( )
( )
( )
( )
3、三角函数的对称性
(1)函数 的图象的对称轴由 ( )解得，对称中心的横坐标由
( )解得；
(2)函数 的图象的对称轴由 ( )解得，对称中心的横坐标由
( )解得；
(3)函数 的图象的对称中心由 )解得．
4、由 的图象变换得到 ( ， )的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
5、根据图象求 的解析式
求 解析式
求法
方法一：代数法 方法二：读图法 表示平衡位置； 表示振幅
求法
方法一：图中读出周期 ，利用 求解；
方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.求法 方法一：将最高（低）点代入 求解；
方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入 求解；但需
注意根据具体题意取舍答案.
6、五点法作图
五点法步骤
③
①
②
对于复合函数 ，
第一步：将 看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令 等于 ， ， ， ，
，对应的 则取 ， ， ， ， 。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出 （如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为： ， , , ,
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数的周期性
1．（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西咸阳·二模（理））下列四个函数，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁沈阳·三模）函数 的最小正周期为________．
4．（2022·上海·模拟预测）函数 的周期为___________；
5．（多选）（2022·北京东城·三模）下列函数中最小正周期不是 的周期函数为（ ）
A． B． C． D．突破二：三角函数的奇偶性
1．（2022·广西·模拟预测（理））若将函数 的图象向右平移 个单位后，
所得图象对应的函数为奇函数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川德阳·三模（理））将函数 的图象向左平移 个单位长度
后，所得到的图象对应函数为奇函数，则m的最小值是___________.
3．（2022·山东聊城·一模）若 为奇函数，则 ___________.（填写符合要求的一
个值）
4．（2022·四川泸州·三模（文））下列函数中，定义域为R且周期为π的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得
到函数 的图象．若函数 的图象关于原点对称，则 的一个取值为_________．
突破三：三角函数的对称性
1．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））已知函数 的最小值为2，且
的图象关于点 对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（文））将函数 的图象向左平移 个单位长
度后得到曲线C，若C关于原点O对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模（文））已知定义在 上的偶函数 满足
，则 的一个解析式为 ___________．
4．（2022·江西赣州·高三期中（文））已知函数 图象的一条对称轴为 ．若
,则 的最大______．5．（2022·内蒙古·保康一中高三阶段练习（理））函数 的图象的对称中心为_________
突破四：三角函数图象变换
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知函数 （ ， ）的相邻
两条对称轴之间的距离为 ，且为奇函数，将 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则函
数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
2．（多选）（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知 是偶函数，将
函数 图像上所有点向右平移 个单位得到函数 的图像，则（ ）
A． 在 的值域为 B． 的图像关于直线 对称
C． 在 有5个零点 D． 的图像关于点 对称
3．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数 将其图象向左平移 个单位得到函数
图象且函数 为偶函数，若 是使变换成立的最小正数，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·高三阶段练习）将函数 的图像先向右平移 个单位，再将所得的图像
上每个点的横坐标变为原来的 倍，得到函数 的图像，则 的一个可能取值是______.
5．（2022·重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））若 的图象向右平移 个单
位长度得到 的图象，则 的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）
突破五：根据图象求解析式
1．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））函数 的部分图
象如图所示，若将 图象上的所有点向右平移 个单位得到函数 的图象，则关于函数 有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的一条对称轴为直线
C．函数 的一个对称中心坐标为
D． 再向左平移 个单位得到的函数为偶函数
2．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知函数 的部分图象如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的图象向右平移 个单位后得到 的图象
C． 在区间 的最小值为
D． 为偶函数
3．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图是函数 的图像
的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数 的图像（ ）A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数 的部分图像如图所示，现将
的图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 的表达式可以为（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）（2022·全国·模拟预测）函数 的部分图像如图所示，则（ ）A． B．
C．函数 在 上单调递增 D．函数 图像的对称轴方程为
6．（多选）（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数 ，若函数
的部分图象如图所示，则关于函数 ，下列结论中正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上的减区间为
D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度而得到
突破六：五点法作图问题
1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数 ．(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数 在 上的大致图像，并写出 图像的对称中
心；
(2)先将函数 的图像向右平移 个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，求 在 上的值域．2．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）已知向量 ， ， ．
(1)求函数f（x）的对称中心；
(2)利用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的图象．3．（2022·陕西·西北大学附中高一阶段练习）设函数f(x)＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f(x)图象的一条
对称轴是直线x＝ ，此对称轴相邻的对称中心为（ ）
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)用五点法画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．4．（2022·广东·华南师范大学第二附属中学高一期中）已知函数 ， .
(1)在用“五点法”作函数 的图象时，列表如下：
0 2 0 0
完成上述表格，并在坐标系中画出函数 在区间 上的图象；
(2)求函数 的单调递增区间；
(3)求函数 在区间 上的值域.突破七：和三角函数有关的零点问题
1．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数 的最小正周期 ．
(1)求函数 单调递增区间；
(2)若函数 在 上有零点，求实数 的取值范围．
2．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知向量 ，函数
(1)求函数 的单调增区间；
(2)若函数 在区间 上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知 ．
(1)求函数 的值域；
(2)若方程 在 上的所有实根按从小到大的顺序分别记为 ，求
的值．第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高三阶段练习（理））函数 零点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·江西赣州·高三期中（理））函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））记函数 的最小正周期为T．若
，且 的图象在点 处取得最大值，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ，现将 的图象向右平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则
在 的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知A，B是函数 的图像上的两
个相邻最高点和最低点，且 ，为得到 的图像，只需要将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移π个单位长度C．向左平移 个单位长度 D．向右平移3个单位长度
6．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）已知函数 （ ，
） 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 图像的对称中心为 ，
C．直线 是 图像的一条对称轴
D．将 的图像向左平移 个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））函数 的部分图象如
图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数 的解析式为
B．函数 的单调递增区间为
C．为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位长度，再向上平
移一个单位长度
D．函数 的图象关于点 对称
8．（2022·福建龙岩·高三期中）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可
知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：
s）的函数关系式为 ，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距
离是5，且过点 ，则 和 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）设函数 的最小正周期为
，且过点 ，则下列正确的为（ ）
A． 在 单调递减
B． 的一条对称轴为
C． 的最小正周期为
D．把函数 的图像向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为
10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度，向下
平移 个单位长度后，得到 的图象，若对于任意的实数 ， 都单调递增，则正数 的
值可能为（ ）
A．3 B． C． D．
11．（2022·福建宁德·高三期中）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型
是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型函数f
（x），其图象是由 的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩短到
原来的 倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍而得到，若 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． 的图像关于点（ ，0）中心对称
B．f（x）在 单调递减C．若一个奇函数的图象向左平移 个单位长度后，可得f（x）的图象，则n的最小值为
D．若 在 有解，则k的取值范围是
12．（2022·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段练习）已知函数 （ ，
， ）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． 的图像关于点 对称
B． 的图像关于直线 对称
C．将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的图像
D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围是
三、填空题
13．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程 在
上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，将 的图象上所有点沿x轴平移
个单位长度，得到函数 的图象，且函数 为偶函数，当θ最小时，函数h（x）＝2cos（πx
－θ）的单调递减区间为________.
四、解答题15．（2022·上海南汇中学高三期中）已知函数 的相邻两
对称轴间的距离为 .
(1)求 的解析式；
(2)将函数 的图像向右平移 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函
数 的图像，当 时，求函数 的值域；
(3)设 ，记方程 在 上的根从小到大依次为 ，若
，试求 与 的值.
16．（2022·广东广雅中学高一期末）设函数 ，将该函数的图
象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，函数 的图象关于y轴对称.
(1)求 的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数 在一个周期内的图象；
(2)求函数 的单调递增区间；(3)设关于x的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，求实数m
的取值范围.
