文档文本内容
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程
最新考纲 考向预测
1.在平面直角坐标系中，结合具体
直线是解析几何中最基本的内
图形，探索确定直线位置的几何要
容，对直线的考查一是在选择
素.
题、填空题中考查直线的倾斜
2.理解直线的倾斜角和斜率的概 命题趋
角、斜率、直线的方程等基本知
念，经历用代数方法刻画直线斜率 势
识；二是在解答题中与圆、椭
的过程，掌握过两点的直线斜率的
圆、双曲线、抛物线等知识进行
计算公式.
综合考查.
3.根据确定直线位置的几何要素，
探索并掌握直线方程的几何形式
核心素
(点斜式、两点式及一般式)． 直观想象
养
1．直线的倾斜角
(1)定义：
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是 [0 ， π ) ．
2．直线的斜率
条件 公式
直线的倾斜角θ，且θ≠90° k＝tan_θ
直线过点A(x ，y )，B(x ，y )且x ≠x k＝
1 1 2 2 1 2
直线Ax＋By＋C＝0(B≠0) k＝－3.直线方程的五种形式
名称 方程形式 适用条件
点斜式 y － y ＝ k ( x － x ) 不能表示斜率不存在的
0 0
斜截式 y＝kx＋b 直线
不能表示平行于坐标轴
两点式 ＝
的直线
不能表示平行于坐标轴
截距式 ＋＝1
的直线和过原点的直线
Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A ， B 不同 可以表示所有类型的直
一般式
时为零 ) 线
特别提醒
1．直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．
(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈时，α越大，斜率k
就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了．
2．几种特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0.
(2)y轴：x＝0.
(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．
(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．
(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.
常见误区
1．求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但
不一定每条直线都存在斜率．
2．斜率公式k＝(x ≠x )与两点的顺序无关，且两点的横坐标不相等．
1 2
3．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而
“距离”是一个非负数．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(4)经过点P(x ，y )的直线都可以用方程y－y ＝k(x－x )表示．( )
0 0 0 0
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋a＝0的斜率为( )
A. B. C．－ D．－
解析：选A.cos 150°＝－，sin 30°＝，所以k＝－＝.
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P (x ，y )，P (x ，y )的直线方程为(y －y )(x－x )－(x －x )(y－y )
1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1
＝0
解析：选BD.对于A，若直线过原点，横纵截距都为0，则不能用方程＋＝1表
示，所以A不正确；对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程为x＝2，所以B正
确；对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan
θ(x－1)表示，所以C不正确；对于D，设点P(x，y)是经过两点P (x ，y )，P (x ，y )
1 1 1 2 2 2
的直线上的任意一点，则根据P1P2∥P1P可得(y －y )(x－x )－(x －x )(y－y )＝0，
2 1 1 2 1 1
所以D正确，故选BD.
4．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m＝________，
解析：由k＝＝1，得4－m＝m＋2，即m＝1.
答案：1
5．过点(－1，2)且倾斜角为150°的直线方程为________．
解析：因为k＝tan 150°＝－，所以直线方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－6＋
＝0.
答案：x＋3y－6＋＝0
直线的倾斜角与斜率
(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l
斜率的取值范围为________．
【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，
所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.
(2)如图，因为k ＝＝1，
AP
k ＝＝－，所以直线l的斜率k∈∪.
BP
【答案】 (1)B
(2)∪
【引申探究】
1．(变条件)将本例(1)变为：直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围为
________．
解析：直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因
此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以
θ∈，即倾斜角的取值范围是.
答案：
2．(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率
的取值范围．
解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以k ＝＝，k ＝＝.
AP BP
由图可知，直线l斜率的取值范围为.
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率k＝tan α的取值范围；
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．
求倾斜角时要注意斜率是否存在．
(2)斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan
α求斜率；
②公式法：若已知直线上两点A(x ，y )，B(x ，y )，一般根据斜率公式k＝
1 1 2 2
(x ≠x )求斜率．
1 2
1．(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)若正方形一条对角线所在直
线的斜率为 2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．
答案： －3
2．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
解析：当α∈时，k＝tan α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上得k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
直线的方程
(1)(多选)若直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则
直线l的方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
(2)若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的，则该直线的方程为
________．
【解析】 (1)当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即
2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1，2)代入可
得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或
x＋y－3＝0.综上，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
故选ABC.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1，3)，因此
所求直线的方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
【答案】 (1)ABC (2)4x＋3y－13＝0
求解直线方程的2种方法
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直
直接法
线方程
①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
待定系数法
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程1．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N
为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选C.由题知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为＝，整理得
2x＋y－8＝0.
2．经过点(2，1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2
解析：选A.因为直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为.由已知，所求直线
的倾斜角为－＝，斜率不存在，所以过点(2，1)的直线方程为x＝2.
直线方程的综合应用
(一题多解)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半
轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【解】 方法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，A，B(0，1－2k)，S
△AOB
＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的
方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二：设直线l：＋＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1，则
1＝＋≥2，故ab≥8，故S 的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，
△AOB
此时a＝4，b＝2，故直线l为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
【引申探究】 (变问法)本例条件不变，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的
方程．
解：方法一：由本例3的解析知A，B(0，1－2k)(k<0)．
所以|MA|·|MB|＝·
＝2
＝2 ≥4.
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二：由本例3的解析知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，＋＝1.
所以|MA|·|MB|＝|MA|·|MB|
＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5＝2≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利
用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接
写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合
函数的单调性或基本不等式求解．
1．当k>0时，两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最
大值为________．
解析：直线2x＋ky－2＝0与x轴交于点(1，0)．由解得y＝，所以两直线kx－y
＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形的面积为×1×＝，又k＋≥2＝2，当且仅
当k＝时取等号，故三角形面积的最大值为.
答案：
2．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线
段AB上，则ab的最大值为________．
解析：由题得A(2，0)，B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且
a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋.由于0≤b≤1，故
当b＝时，ab取得最大值.
答案：
[A级 基础练]
1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( )
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程
为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)
C．过两点(x ，y )，(x ，y )的直线方程为＝
1 1 2 2
D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上的截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
解析：选AB.A中，直线x－y－2＝0在x轴、y轴上的截距分别为2，－2，则直
线与两坐标轴围成的三角形的面积是2，所以A正确．B中，点在直线y＝x＋1上，
且点(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B正确．C中，直线方程成立需要条件
y ≠y ，x ≠x ，所以C错误．D中，还有一条截距都为0的直线y＝x，所以D错误．
2 1 2 1
故选AB.
3．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负
半轴上，则直线MN的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选C.因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反
数，所以k ＝－k ＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，
MN MO
选C.
4．(多选)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可
能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
解析：选AC.当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y
＝0.当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点(1，2)，可得－＝1，解得a＝
－1，所以直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故
选AC.
5．(2020·四川雅安中学月考)已知直线l ：y＝k x＋b 与l ：y＝k x＋b 如图所示，
1 1 1 2 2 2
则有( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由图可知直线l 的倾斜角小于直线l 的倾斜角，并且它们都大于，
1 2
由y＝tan x在x∈上单调递增，得k <k ，又直线l 与y轴的交点在直线l 与y轴的
1 2 2 1交点的上方，故b <b ，故选A项．
1 2
6．将直线y＝x＋－1 绕它上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线
方程是________．
解析：由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转
15°，倾斜角变为60°，所以所求直线的斜率为.又因为直线过点(1，)，所以直线的
方程为y－＝(x－1)，即y＝x.
答案：y＝x
7．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，
D(5，0)，则直线l的方程为________．
解析：因为直线l平分▱ABCD的面积，所以直线l过BD的中点(3，2)，则直
线l的方程为y＝x.
答案：y＝x
8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范
围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点
A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，
2]．
答案：[－2，2]
9．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，
所以BC的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知，直线BC的斜率k ＝－，
1
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k ＝2.
2
因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，
所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的
直线l的方程：
(1)过定点A(－3，4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－
3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k ＝－或k ＝－.
1 2
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截
距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，
所以b＝±1.
所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
[B级 综合练]
11．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的
取值范围是( )
A．－1＜k＜ B．k＞1或k＜
C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1
解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线
l在x轴上的截距为1－，
则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.
12．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的最大值为________，最
小值为__________．
解析：如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段
AB)，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线
的斜率k，连接PA，PB，则k ≤k≤k .
PA PB
易得A(1，1)，B(－1，5)，所以k ＝＝，k ＝＝8，所以
PA PB
≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.
答案：8
13．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，所以a＝2，方程
即为3x＋y＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，所以＝a－2，即a＋1
＝1.所以a＝0，即方程为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以或所以a≤－1.综上可知实数a
的取值范围是(－∞，－1]．
14．为了绿化城市，拟在矩形区域 ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外
△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30
m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，
所以直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形
PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又＋＝1(0≤m≤30)，
所以n＝20－m.
所以S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．
所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1.
所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分
有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．
[C级 创新练]
15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一
直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为
三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为________．
解析：由题意，线段AB的中点为M(1，2)，k ＝－2，所以线段AB的垂直平分
AB
线为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，因为AC＝BC，所以△ABC的外心、重心、垂
心都位于线段AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线方程为x－2y＋3＝0.
答案：x－2y＋3＝0
16．已知动直线l ：ax＋by＋c－3＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到
0
动直线l 的最大距离为3，则＋的最小值为________．
0
解析：因为动直线l ：ax＋by＋c－3＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋
0
bm＋c－3＝0，又Q(4，0)到动直线l 的最大距离为3，所以＝3，解得m＝0，所以a
0
＋c＝3.则＋＝(a＋c)＝≥＝，当且仅当c＝2a＝2时取等号．
答案：
