文档内容
第1讲 变化率与导数、导数的计算
最新考纲 考向预测
本讲主要考查导数的运算、求导
命
法则以及导数的几何意义．常以
1.了解导数概念的实际背景，通过函数 题
选择题、填空题的形式出现，有时
图象直观理解导数的几何意义． 趋
也出现在解答题的第一问，难度
2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为 势
中等.
常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数．
核
3．能利用基本初等函数的导数公式和
心
导数的运算法则求简单函数的导数. 数学运算、数学抽象
素
养
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数
0
一般地，称函数 y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率lim＝错误: 引用源未找到
0
lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x )或y′|x＝x ，即f′(x )＝错误: 引用源
0 0 0 0
未找到lim＝错误: 引用源未找到lim．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x )的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，y )处的
0 0 0 0
切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y
－ y ＝ f ′ ( x )( x － x )．
0 0 0
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝错误: 引用源未找到lim为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝ nx n － 1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x f′(x)＝ － si n__x
f(x)＝ax
f′(x)＝ a x ln __a
(a>0且a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝log x
a
f′(x)＝
(x>0，a>0且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
(x>0)
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f ′( x )± g ′( x ) ．
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ．
(3)′＝(g(x)≠0)．
常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周
期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了
变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越
“陡”．
常见误区
1．f′(x )代表函数f(x)在x＝x 处的导数值；(f(x ))′是函数值f(x )的导数，而函数
0 0 0 0
值f(x )是一个常量，其导数一定为0，即(f(x ))′＝0.
0 0
2．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中
“＋”“－”号记混，如出现以下错误：′＝，(cos x)′＝sin x.
3．求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只
有一条，而后者包括了前者．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x )是函数y＝f(x)在x＝x 附近的平均变化率．( )
0 0
(2)求f′(x )时，可先求f(x )，再求f′(x )．( )
0 0 0
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(5)曲线y＝f(x)在点P(x ，y )处的切线与过点P(x ，y )的切线相同．( )
0 0 0 0
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．(多选)下列求导运算正确的有( )
A．(sin x)′＝cos x B．′＝
C．(log x)′＝ D．(ln x)′＝
3
解析：选AD.因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log x)′＝，(ln x)′＝，所以A，D正确．
3
3．(2020·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程
为( )
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3
D．y＝2x＋1
解析：选B.因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，所以切线的斜
率为－2，排除C，D.又f(1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B.
4．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为
________．
解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为＝3；因为f′(x)＝2x，所以
f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.
答案：3 4
5．(易错题)函数y＝的导函数为________．
解析：y′＝＝.
答案：y′＝
导数的运算
角度一 求已知函数的导数
求下列函数的导数：(1)y＝ln x＋；
(2)f(x)＝sin ；
(3)y＝3xex－2x＋e.
【解】 (1)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(2)因为f(x)＝sin ＝－sin x，
所以f′(x)＝′＝－(sin x)′＝－cos x.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln 3＋3xex－2xln 2
＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
[注意] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，
这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化
简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
角度二 求抽象函数的导数值
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则
f′(2)＝________．
【解析】 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4
＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.
【答案】 －
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x )g(x)＋h(x)(x 为常数)
0 0
的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x )是常数，其导数值为0.因此先求导数f′
0
(x)，令x＝x ，即可得到f′(x )的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
0 0
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.
再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.
2．(2020·成都摸底考试)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝exln x＋－1，则
f′(1)＝( )
A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e
解析：选C.由题意，得f′(x)＝(exln x)′－＝exln x＋－，所以f′(1)＝0＋e－1＝e－
1，故选C.
3．求下列函数的导数：
(1)y＝x(ln x＋cos x)；
(2)y＝；
(3)y＝ln x.
解：(1)y′＝ln x＋cos x＋x＝ln x＋cos x－xsin x＋1.
(2)y′＝＝.
(3)y′＝ln x＋·＝.
导数的几何意义
角度一 求切线方程
(1)(2021·广州调研检测)已知f(x)＝x 为奇函数(其中e是自然对数的底
数)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为___________________________．
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直
线l的方程为____________________________．
【解析】 (1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即e＋－－ae＝0.解得a
＝1，所以f(x)＝x，所以f′(x)＝＋x，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为2，
又f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的方程为2x－y＝0.
(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
所以设切点为(x ，y )．又因为f′(x)＝1＋ln x，
0 0
所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x )x.
0
所以由解得x ＝1，y ＝0.
0 0
所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
【答案】 (1)2x－y＝0 (2)x－y－1＝0
求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x 处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x ，f(x ))处切线
0 0 0
的斜率．
(2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x )＝f′(x )·(x－x )．
0 0 0
[注意] “过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x ，y )处的切线”与“过点
0 0
P(x ，y )的切线”的区别：前者P(x ，y )为切点，而后者P(x ，y )不一定为切点．
0 0 0 0 0 0
角度二 求切点坐标
若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐
标是________．
【解析】 设切点P的坐标为(x ，y )，因为y′＝ln x＋1，
0 0
所以切线的斜率k＝ln x ＋1，
0
由题意知k＝2，得x ＝e，代入曲线方程得y ＝e.
0 0
故点P的坐标是(e，e)．
【答案】 (e，e)
【引申探究】 (变条件、变问法)若本例变为：若曲线y＝xln x上点P处的切线
与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．
解析：设切点P的坐标为(x ，y )，
0 0
因为y′＝ln x＋1，由题意得ln x ＋1＝1，
0
所以ln x ＝0，x ＝1，所以y ＝0，即点P(1，0)，
0 0 0
所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于
切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐
标．
角度三 已知切线方程(或斜率)求参数
(1)(2021·西安五校联考)已知函数f(x)＝aex＋b(a，b∈R)的图象在点(0，
f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝________．
(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的
取值范围是________．
【解析】 (1)方法一：由题意，得f′(x)＝aex，则f′(0)＝a，又f(0)＝a＋b，所以函
数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y－(a＋b)＝a(x－0)，即y＝ax＋a＋b.又该切线方程为y＝2x＋1，所以解得所以a－b＝3.
方法二：由题意，得f′(x)＝aex，则f′(0)＝a.因为函数f(x)的图象在点(0，f(0))处
的切线方程为y＝2x＋1，所以解得所以a－b＝3.
(2)由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．
所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.
因为x>0，所以2－<2，所以实数a的取值范围是(－∞，2)．
【答案】 (1)3 (2)(－∞，2)
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参
数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线
的方程为____________．
解析：设切点坐标为(x ，ln x ＋x ＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k
0 0 0
＝|x＝x ＝＋1＝2，解得x ＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2
0 0
＝2(x－1)，即y＝2x.
答案：y＝2x
2．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是
________；f(2)＋f′(2)的值为________．
解析：由题图可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，则直线l的斜率为k＝＝－，可
得直线l的方程为y＝－x＋4，即为x＋2y－8＝0；
由导数的几何意义可得f′(2)＝－，
则f(2)＋f′(2)＝3－＝.
答案：x＋2y－8＝0
[A级 基础练]1．已知函数f(x)＝xsin x＋ax，且f′＝1，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选A.因为f′(x)＝sin x＋xcos x＋a，且f′＝1，所以sin ＋cos ＋a＝1，即a
＝0.
2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10
－4.9t2＋8t(高度单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
解析：选C.因为函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t，所以h′(t)＝－9.8t＋8，所
以在t＝0.5秒的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．
3．已知函数f(x)可导，则lim ＝( )
A．f′(x) B．f′(2)
C．f(x) D．f(2)
解析：选B.因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝lim ，
所以lim ＝f′(2)．
4．(2021·广东广州综合测试一)已知点P(x ，y )是曲线C：y＝x3－x2＋1上的点，
0 0
曲线C在点P处的切线与直线y＝8x－11平行，则( )
A．x ＝2 B．x ＝－
0 0
C．x ＝2或x ＝－ D．x ＝－2或x ＝
0 0 0 0
解析：选B.由y＝x3－x2＋1可得y′＝3x2－2x，则切线斜率k＝y′|x＝x ＝3x－
0
2x ，又切线平行于直线y＝8x－11，所以3x－2x ＝8，所以x ＝2或x ＝－.①当x
0 0 0 0 0
＝2时，切点为(2，5)，切线方程为y－5＝8(x－2)，即8x－y－11＝0，与已知直线重
合，不合题意，舍去；②当x ＝－时，切点为，切线方程为y＋＝8，即y＝8x＋，与
0
直线y＝8x－11平行，故选B.
5．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能
为( )
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x
解析：选BC.对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，
图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋，其导数f′(x)＝
1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导
数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．
6．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且
f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
答案：1＋e
7．(2021·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，
f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为________．
解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图
象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝
0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
答案：－2 y＝1
8．(2021·江西重点中学4月联考)已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x
＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．
解析：y′＝－＋，当x＝1时，y′＝－1＋.由于切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所
以·＝－1，解得a＝.
答案：
9．求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝.
解：(1)因为y＝(1－)＝－＝x－－x，
所以y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.
(2)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(3)y′＝′＝
＝－.
10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P 处的切线l 平行于直线4x－y－1＝0，且点
0 1P 在第三象限．
0
(1)求点P 的坐标；
0
(2)若直线l⊥l ，且l也过切点P ，求直线l的方程．
1 0
解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P 在第三象限，
0
所以切点P 的坐标为(－1，－4)．
0
(2)因为直线l⊥l ，l 的斜率为4，
1 1
所以直线l的斜率为－.
因为l过切点P ，点P 的坐标为(－1，－4)，
0 0
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
[B级 综合练]
11．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正
确的是( )
A．f′(1)0，①
设两切点的横坐标分别为x ，x .
1 2因为切点的横坐标都大于零，
所以x >0，x >0，
1 2
所以②
联立①②解得30，
即4a2＋4a＋1>0，
所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
14．已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互
相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请
说明理由．
解：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，所以f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方
程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x ，y )，(x ，y )，则x ，x ∈，不
1 1 2 2 1 2
妨设x β>γ B．β>γ>α
C．γ>α>β D．γ>β>α
解析：选D.由题意，得g′(α)＝1＝g(α)，所以α＝1.由h(x)＝ln x，得h′(x)＝.令
r(x)＝ln x－，可得r(1)<0，r(2)>0，故1<β<2.由φ(x)＝cos x，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos
γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈，所以γ＝.综上可知，γ>β>α.故选D.
