文档内容
第1讲 三角函数的图象与性质
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数的周期性
突破二：三角函数的奇偶性
突破三：三角函数的对称性
突破四：三角函数图象变换
突破五：根据图象求解析式
突破六：五点法作图问题
突破七：和三角函数有关的零点问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、三角函数的周期性
函数
周期
函数
周期
函数
( ) ( ) ( )
周期
2、三角函数的奇偶性
三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数( )
( )
( )
( )
( )
3、三角函数的对称性
(1)函数 的图象的对称轴由 ( )解得，对称中心的横坐标由
( )解得；
(2)函数 的图象的对称轴由 ( )解得，对称中心的横坐标由
( )解得；
(3)函数 的图象的对称中心由 )解得．
4、由 的图象变换得到 ( ， )的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
5、根据图象求 的解析式
求 解析式
求法
方法一：代数法 方法二：读图法 表示平衡位置； 表示振幅
求法
方法一：图中读出周期 ，利用 求解；
方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.求法 方法一：将最高（低）点代入 求解；
方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入 求解；但需
注意根据具体题意取舍答案.
6、五点法作图
五点法步骤
③
①
②
对于复合函数 ，
第一步：将 看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令 等于 ， ， ， ，
，对应的 则取 ， ， ， ， 。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出 （如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为： ， , , ,
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数的周期性
1．（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
因为 ，
所以 的最小正周期为 .
故选：D.
2．（2022·陕西咸阳·二模（理））下列四个函数，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 最小正周期为 ，在区间 上 单调递减；
最小正周期为 ，在区间 上单调递减；
最小正周期为 ，在区间 上单调递增；
最小正周期为 ，在区间 上单调递增；
故选：A.
3．（2022·辽宁沈阳·三模）函数 的最小正周期为________．
【答案】6
【详解】 的周期为 ，由正弦型函数图象与性质可知，
的最小正周期为6.
故答案为：6
4．（2022·上海·模拟预测）函数 的周期为___________；
【答案】
【详解】 ,
所以 的周期为：
故答案为： .
5．（多选）（2022·北京东城·三模）下列函数中最小正周期不是 的周期函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：对于A选项， 不为周期函数；
对于B选项， 的图像是将 图像在 轴下方的翻到 轴上方，进而函数为周期函数，周期是
，故正确；
对于C选项， ，故周期为 ；
对于D选项， 图像是将 图像在 轴下方的翻到 轴上方，其周期性不变，故依然为 ，正确；
故选：C
突破二：三角函数的奇偶性
1．（2022·广西·模拟预测（理））若将函数 的图象向右平移 个单位后，
所得图象对应的函数为奇函数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，向右平移 个单位后得到
函数 ，由于是奇函数，因此，得 ，
.又 ，则当 时， 的最小值是 ，
故选：B.
2．（2022·四川德阳·三模（理））将函数 的图象向左平移 个单位长度
后，所得到的图象对应函数为奇函数，则m的最小值是___________.
【答案】
【详解】由 ，向左平移 个单位，得到 的图
象，
∴函数 为奇函数，
∴
所以 ，即 ，
所以 的最小值是 ．
故答案为： .
3．（2022·山东聊城·一模）若 为奇函数，则 ___________.（填写符合要求的一
个值）
【答案】 （答案不唯一，符合题意均可）【详解】解： ，
因为 为奇函数，且 为奇函数， 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 或 ， ，
所以 的值可以是 ，
故答案为： （答案不唯一，符合题意均可）
4．（2022·四川泸州·三模（文））下列函数中，定义域为R且周期为π的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A、C、D三个选项观察得函数定义域都为 ，即定义域关于原点对称；
对于B选项定义域为 ，所以排除B；
对于A：
的周期为π
又
是奇函数，所以排除A；
对于C：
的周期为π
又
是偶函数，所以C正确；
对于D： 的周期为
所以排除D；
故选：C．
5．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得
到函数 的图象．若函数 的图象关于原点对称，则 的一个取值为_________．【答案】
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度，
可得 ，由函数 的图象关于原点对称，
可得 ,
所以 ， ，
当 时， .
故答案为：
突破三：三角函数的对称性
1．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））已知函数 的最小值为2，且
的图象关于点 对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 的最小值为2，
所以 ，解得 ，
又 的图象关于点 对称，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ，
故选：C
2．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（文））将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于原点O对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得 的图象向左平移 个单位长度得 ，
而 的图象关于原点O对称，则 ，即 ，
得 ， ，
的最小值是 ．
故选：C
3．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模（文））已知定义在 上的偶函数 满足
，则 的一个解析式为 ___________．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】∵ 为 上的偶函数，∴ ，
又 ，∴用 替换 ，得 ，
∴ ，∴ 的周期为4，
则 的一个解析式可以为
故答案为： （答案不唯一）．
4．（2022·江西赣州·高三期中（文））已知函数 图象的一条对称轴为 ．若
,则 的最大______．
【答案】
【详解】由题知 .
所以
因为 ,所以当 取最大值
故答案为：5．（2022·内蒙古·保康一中高三阶段练习（理））函数 的图象的对称中心为_________
【答案】
【详解】令 ， ，解得 ，所以对称中心为 .
故答案为: .
突破四：三角函数图象变换
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知函数 （ ， ）的相邻
两条对称轴之间的距离为 ，且为奇函数，将 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则函
数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【答案】A
【详解】由相邻两条对称轴之间的距离为 可知 ，即 ， ，
因为 为奇函数，根据 可知 ，
对称中心： ， ，故A正确，B错误
对称轴： ， ，故C、D错误
故选：A
2．（多选）（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知 是偶函数，将
函数 图像上所有点向右平移 个单位得到函数 的图像，则（ ）
A． 在 的值域为 B． 的图像关于直线 对称C． 在 有5个零点 D． 的图像关于点 对称
【答案】BD
【详解】解： ，
因为函数 为偶函数，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以，
对于A选项， 时， ，
所以 ，即 ，故错误；
对于B选项，令 得 ，故当 时 ，故 的图像关于直线
对称，B选项正确；
对于C选项，当 时， ，
因为函数 在 上有4个零点，分别为 ， ， ， ，
所以， 在 有4个零点，故C选项错误；
对于D选项，由于 时， ，函数 关于点 对称，
所以， 的图像关于点 对称，故D选项正确.
故选：BD
3．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数 将其图象向左平移 个单位得到函数
图象且函数 为偶函数，若 是使变换成立的最小正数，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】解：∵函数 将其图象向左平移 个单位，
得到函数 的图象，
又∵函数 为偶函数，则直线 是 的对称轴
∴ ， ，解得： ， ，
∵ 是使变换成立的最小正数，∴ 时，可得 ．
故选：B．
4．（2022·湖南·高三阶段练习）将函数 的图像先向右平移 个单位，再将所得的图像
上每个点的横坐标变为原来的 倍，得到函数 的图像，则 的一个可能取值是______.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】解：函数 的图像先向右平移 个单位，得到
的图像，
再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的 倍，得到 的图像，
所以 ， ，解得 ，
所以， 的一个可能取值为 .
故答案为：
5．（2022·重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））若 的图象向右平移 个单
位长度得到 的图象，则 的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）
【答案】 （答案不唯一，满足 均可）
【详解】解： 的图象向右平移 后得到的函数为则 ，解得 ，又
所以 的值可以是当 时， .
故答案为： （答案不唯一，满足 均可）
突破五：根据图象求解析式
1．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））函数 的部分图
象如图所示，若将 图象上的所有点向右平移 个单位得到函数 的图象，则关于函数 有下
列四个说法，其中正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的一条对称轴为直线
C．函数 的一个对称中心坐标为
D． 再向左平移 个单位得到的函数为偶函数
【答案】D
【详解】对于 ，
由图可知 ， ，
， ，
由于 ，所以 ，所以 .
图象上的所有点向右平移 个单位得到函数 ，
的最小正周期为 ，A选项错误.，B选项错误.
点 的纵坐标是 ，所以 不是 的对称中心，C选项错误.
再向左平移 个单位得到 ，
所得函数为偶函数，所以D选项正确.
故选：D
2．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知函数 的部分图象如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的图象向右平移 个单位后得到 的图象
C． 在区间 的最小值为
D． 为偶函数
【答案】D
【详解】因为 的图象过点 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 的图象过点 ，
所以由五点作图法可知 ，得 ，所以 ，
对于A，因为 ，所以 为 的图象的一条对称轴，所以A
错误，
对于B， 的图象向右平移 个单位后，得 ，所以B错误，
对于C，当 时， ，所以 ，所以 在区间 的最小
值为 ，所以C错误，
对于D， ，令 ，
因为 ，所以 为偶函数，
所以D正确，
故选：D
3．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图是函数 的图像
的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】A
【详解】由题图知： ，又 ，，
解得 ，又
，
将 向左平移 得 .
故选：A.
4．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数 的部分图像如图所示，现将
的图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 的表达式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由图像可知： ， ；
又 ， ，又 ， ，
，由五点作图法可知： ，解得： ，
；
.故选：B.
5．（多选）（2022·全国·模拟预测）函数 的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C．函数 在 上单调递增 D．函数 图像的对称轴方程为
【答案】AD
【详解】由图像知函数的周期 ，解得： ，所以A对；
由五点对应法得 ，因为 ，所以 ，所以B错误，所以
．
当 时，函数 单调递减.取 ，得 的一个单调递减区间为
，所以C错，
函数 图像的对称轴方程为 ，即 ，所以D对．
故选：AD
6．（多选）（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数 ，若函数
的部分图象如图所示，则关于函数 ，下列结论中正确的是（ ）A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上的减区间为
D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度而得到
【答案】BC
【详解】根据函数图象可得： ，∴ ， ，
又 ，故 ，
所以 对称轴为 时 ，故A项错．
，∴ 关于 对称，故B项对．
函数 的单调递减区间为 ，
时 在 单调递减，故C项对．
，故D项错．
故选：BC.
突破六：五点法作图问题
1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数 ．(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数 在 上的大致图像，并写出 图像的对称中
心；
(2)先将函数 的图像向右平移 个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，求 在 上的值域．
【答案】(1)作图见解析；对称中心为
(2)
（1）列表：
0
1 2 0 0 1
描点，连线，画出 在 上的大致图像如图：由图可知函数 图像的对称中心为 ；
（2）
将函数 的图像向右平移 个单位长度后，
得到 的图像，
再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，
所以， ，
当 时， ，
函数 单调递增，而 ， ，
所以函数 在 上的值域为 ．
2．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）已知向量 ， ， ．(1)求函数f（x）的对称中心；
(2)利用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的图象．
【答案】(1)
(2)图见解析
（1）∵ ，
∴
∴ ，
由 ， 得 ，
∴对称中心为 ，
（2）列表如下：
x
0y 0 0 －2 0
画出图象：
3．（2022·陕西·西北大学附中高一阶段练习）设函数f(x)＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f(x)图象的一条
对称轴是直线x＝ ，此对称轴相邻的对称中心为（ ）
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)用五点法画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
【答案】(1) ；(2)见解析.
（1）解： 是函数 的一条对称轴，
，即
，
所以 .
令 得 .
所以函数的对称中心为 ，
所以函数的解析式为 .
（2）解：由 可知
故函数 在区间 上的图像为：4．（2022·广东·华南师范大学第二附属中学高一期中）已知函数 ， .
(1)在用“五点法”作函数 的图象时，列表如下：
0 2 0 0
完成上述表格，并在坐标系中画出函数 在区间 上的图象；
(2)求函数 的单调递增区间；
(3)求函数 在区间 上的值域.
【答案】(1)答案见解析
(2)单调递增区间： ，
(3)
【分析】(1)利用给定的角依次求出对应的三角函数值，进而填表，结合“五点法”画出图象即可；
(2)根据正弦函数的单调增区间计算即可；
(3)根据x的范围求出 的范围，即可利用正弦函数的单调性求出函数的值域.
(1)0
x
0 2 0 -2 0
函数图象如图所示，
(2)令 ， ，
得 ， .
所以函数 的单调递增区间： ， .
(3)因为 ，所以 .
所以 .
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， .
所以函数 在区间 上的值域为 .突破七：和三角函数有关的零点问题
1．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数 的最小正周期 ．
(1)求函数 单调递增区间；
(2)若函数 在 上有零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数 的最小正周期 ，
所以 ，由于 ，所以 ．
所以 ，
所以函数 单调递增区间，只需求函数 的单调递减区间，
令 ，解得 ，
所以函数 单调递增区间为 ．
（2）因为函数 在 上有零点，
所以函数 的图像与直线 在 上有交点，
因为 ，
故函数 在区间 上的值域为
所以当 时，函数 的图像与直线 在 上有交点，
所以当 时，函数 在 上有零点．
2．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知向量 ，函数(1)求函数 的单调增区间；
(2)若函数 在区间 上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）
，
令 ，解得 .
所以函数 的单调增区间为 .
（2）由函数 在区间 上有且仅有两个零点.
即 在区间 上有且仅有两个零点，
直线 与 的图像上有且仅有两个交点，
当 ， ，
设函数 ，
在区间 上单调递增， ，
在区间 上单调递减， ，
在区间 上单调递增， ，
所以 或 ，即 或 .3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知 ．
(1)求函数 的值域；
(2)若方程 在 上的所有实根按从小到大的顺序分别记为 ，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
令 ，
则 ， ，
，得 ，
当 ， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增。
所以 ，
所以 ，
的值域是
（2）由已知得 ，
解得 或 （舍去），
由 得函数 图象在区间
且确保 成立的，
对称轴为 在 内有11个根，数列 构成以 为首项， 为公差的等差数列．
所以 .
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高三阶段练习（理））函数 零点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】 的零点个数，即为 与 图象的交点个数，
在同一直角坐标系下，两函数图象如下所示：
由图可知，两函数共有4个交点，故 有4个零点.
故选：C.
2．（2022·江西赣州·高三期中（理））函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对 ， ，所以函数 是偶函数，
其图象关于 轴对称，所以排除选项A；
令 ，可得 或 ，即 ，
当 时， ，所以 ，故排除选项C；当 时， ，所以 ，所以排除选项D.
故选：B.
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））记函数 的最小正周期为T．若
，且 的图象在点 处取得最大值，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为 的图象在点 处取得最大值，所以 ，且 ，所以
，
所以 ，
则 即为 ，得 ，
得 ，解得 ．
故 的解集是 ．
故选： .
4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ，现将 的图象向右平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则
在 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上的值域为 ，
故选：A.
5．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知A，B是函数 的图像上的两
个相邻最高点和最低点，且 ，为得到 的图像，只需要将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移π个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移3个单位长度
【答案】A
【详解】由题意因为 ，构造直角三角形，可得 ，则函数 的最小正周期 ，∴
，
∴ ，∴只需将 的图像向左平移 个单位长度，即可得到
的图像．
故选：A
6．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）已知函数 （ ，
） 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 图像的对称中心为 ，C．直线 是 图像的一条对称轴
D．将 的图像向左平移 个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
【答案】A
【详解】由函数图像可知， ，最小正周期为 ，
，将点 代入函数解析式中，得： ，
又 ， ，
故 ．
对A， ，所以正确,
对B，令 ，则 ，所以 ，即 的对称中心为
，故B错误；
对C，令 ，即 ，令 ，则 ，故C错误
对D，将 的图像向左平移 个单位长度后，得到 的图像，该
函数不是偶函数，故D错误．
故选：A.
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））函数 的部分图象如
图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数 的解析式为
B．函数 的单调递增区间为C．为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位长度，再向上平
移一个单位长度
D．函数 的图象关于点 对称
【答案】D
【详解】对于A选项，不妨设 ，则 ， ，
由 ，则 ，
两式相减得 ，所以 ①，
设函数 的最小正周期为 ，因为 ，
所以 ，结合①， ，
因为 ，所以 ，可得 ，
因为 ，所以， ，所以 ，故A正确；
对于B，由 ，
解得： ，故B正确；
对于C，将函数 向右平移 个单位得到 ，
向上平移一个单位长度可得 ，故C正确；
对于D，令 ，解得： ，
函数 的图象关于点 对称，所以D不正确；
故选：D.8．（2022·福建龙岩·高三期中）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深
圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可
知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：
s）的函数关系式为 ，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距
离是5，且过点 ，则 和 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，由振幅是2易知 ，
故 ，则 是 的最高点，
不妨记 相邻的最低点为 ，连接 ，过 作 轴，过 作 ，交点为 ，如图，
则 ， ， ，故 ，得 ，
又因为 ，故 ，得 ，所以 ，
因为 是 的点，故 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
故 ， .
故选：A.
.
二、多选题
9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）设函数 的最小正周期为
，且过点 ，则下列正确的为（ ）A． 在 单调递减
B． 的一条对称轴为
C． 的最小正周期为
D．把函数 的图像向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为
【答案】AC
【详解】解：函数 ，
因为函数的最小正周期为 ，所以 ，
因为函数图象过点 ，
所以 ，则 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
当 时， ，则由余弦函数的性质知 在 单调递减，故A正确；
当 时， ，所以 不是 的一条对称轴，故B错误；
因为 是偶函数，所以 ，则 的最小正周期为 ，故C正确；
把函数 的图像向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为
，故D错误；
故选：AC
10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度，向下
平移 个单位长度后，得到 的图象，若对于任意的实数 ， 都单调递增，则正数 的
值可能为（ ）
A．3 B． C． D．【答案】BC
【详解】解：将函数 的图象向左平移 个单位长度，向下平移 个单位长度后，得到
，
当 时， ，
因为 单调递增，
所以 ，解得 ，
由 ，得 ，
因为 ，
当 时， ，
所以正数 的值可能为 ， ，
故选：BC
11．（2022·福建宁德·高三期中）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型
是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型函数f
（x），其图象是由 的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩短到
原来的 倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍而得到，若 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． 的图像关于点（ ，0）中心对称
B．f（x）在 单调递减
C．若一个奇函数的图象向左平移 个单位长度后，可得f（x）的图象，则n的最小值为
D．若 在 有解，则k的取值范围是
【答案】ACD
【详解】由题意可知 ，所以 ，
又 ，故 为 的对称轴，
因此 故 ,
故 ，或 ，
由于 ，故 ，因此 ，
对于A， ,故 为对称中心，故A正确；
对于B， ,故 在 ， 单调递增，在
单调递减，故 在 不单调，故B错误；
对于C，将 图象向右平移 个单位长度后，得到
由于 为奇函数，所以 , ，所以当 时， 最小为 ，故C正确；
对于D，当 ， ，所以 有解则
，故D正确.
故选：ACD
12．（2022·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段练习）已知函数 （ ，
， ）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A． 的图像关于点 对称
B． 的图像关于直线 对称
C．将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的图像
D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围是
【答案】ABD
【详解】由题图可得 ， ，故 ，
所以 ，又 ，即 ，
所以 （ ），又 ，所以 ，所以 .
对于A：当 时， ，故A正确；
对于B：当 时， ，故B正确；
对于C：将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数
的图像，故C中说法错误；
对于D：当 时， ，则当 ，即 时， 单调
递减，
当 ，即 时， 单调递增，
因为 ， ， ，
所以方程 在 上有两个不相等的实数根时， 的取值范围是 .
故选：ABD
三、填空题
13．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程 在
上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．【答案】
【详解】当 时， ，故 为偶函数，
当 时， ， 图象可由 向右平移 个单位得到.根据偶
函数图象关于 轴对称画出 在 上的图象如图所示，
要想保证方程 在 上有三个不同的实根，则 ，
故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，将 的图象上所有点沿x轴平移
个单位长度，得到函数 的图象，且函数 为偶函数，当θ最小时，函数h（x）＝2cos（πx
－θ）的单调递减区间为________.
【答案】 （ ）.
【详解】 ，
将 的图象上所有点沿x轴平移 个单位长度，
则 ，要使 为偶函数，
则 ，则 ，
因为 ，所以当 时，θ的最小值为 .
所以函数 ，
由2kπ≤ ≤2kπ＋π， ，
解得2k＋ ≤x≤2k＋ ， ，
故函数h（x）的单调递减区间为 （ ）.故答案为： （ ）.
四、解答题
15．（2022·上海南汇中学高三期中）已知函数 的相邻两
对称轴间的距离为 .
(1)求 的解析式；
(2)将函数 的图像向右平移 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函
数 的图像，当 时，求函数 的值域；
(3)设 ，记方程 在 上的根从小到大依次为 ，若
，试求 与 的值.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ，
【详解】（1）
，
∵相邻两对称轴间的距离为 ，则 ，∴ ，故
（2）函数 的图像向右平移 个单位长度得 的图像，再把各点的横坐标缩小为原
来的 （纵坐标不变），得 的图像，
当 时， ，则当 时， 取得最小值，为-2，当 时，
取得最大值，为 ，故函数 的值域为
（3） ，由 得 ，设 ，则，结合正弦函数 的图像，
得 在 有5个解，即 ，其中 ，
即 ，整理得
，
∴ .
综上， ，
16．（2022·广东广雅中学高一期末）设函数 ，将该函数的图
象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，函数 的图象关于y轴对称.
(1)求 的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数 在一个周期内的图象；
(2)求函数 的单调递增区间；
(3)设关于x的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，求实数m
的取值范围.【答案】(1) ，图象见解析；
(2)
(3)
(1)
.
所以 ，将该函数的图象向左平移 个单位后得到函数 ，
则 ，
该函数的图象关于 轴对称，可知该函数为偶函数，
故 ， ，解得 ， .
因为 ，所以得到 .
所以函数 ，
列表：
0
0 0
作图如下：(2)由函数 ，
令 ， ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为
(3)由（1）得到 ，
化简得， .
令 ， ，则 .
关于 的方程 ，即 ，
解得 ， .
当 时，由 ， 可得 ；
要使原方程在 上有两个不相等的实数根，则 ，
解得 .
故实数 的取值范围为 .
