文档内容
专题 09 三角函数的图象与性质的综合应用
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................13
题型一：齐次化模型 13
题型二：辅助角与最值问题 15
题型三：与三角函数有关的最值问题 18
题型四：绝对值与三角函数综合模型 24
题型五：三角函数的综合性质 29
题型六：换元法配凑角 35
题型七：三倍角公式 37
重难点突破：ω的取值与范围问题 40三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位，是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要
集中在两个方面：
1、三角函数的图象方面，这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题
通常以选择题和填空题的形式出现，考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。
2、三角函数的性质应用方面，这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域
以及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现，要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决
问题。
此外，三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题，以选择题
或填空题的形式呈现，难度相对较低；也可以作为工具，与三角函数及解三角形相结合，求解最值、范围
等问题，这时多以解答题的形式出现，难度适中。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷第8题，5分
同角三角函数基本关 理解同角关系， 2023年甲卷第7题，5分
系式 熟练运用解题 2023年乙卷第14题，5分
2021年I卷第6题，5分
2024年I卷第4题，5分
2025年高考三角函数考
2024年II卷第13题，5分 查重点：一是同角三角函数
2024年北京卷第12题，5分 基本关系及诱导公式，需复
习三角函数定义，题型为选
掌握恒等变换，
2023年II卷第7题，5分
择或填空，难度适中；二是
三角恒等变换 提高解题技巧与
2023年I卷第8题，5分 三角恒等变换，注重公式变
灵活性
形、应用及最值问题，同样
2022年II卷第6题，5分
以选择或填空形式出现，难
2022年浙江卷第13题，6分 度为基础至中档；三是三角
2021年甲卷第9题，5分 函数的图像、性质及变换，
组合考查为热点，题型灵
2024年I卷第7题，5分
活，既可为基础或中档题，
2024年II卷第6、9题，11分 也可能成为压轴题。考生需
全面掌握三角函数相关知
2024年天津卷第7题，5分
识，灵活运用，以应对高考
2024年北京卷第6题，5分
理解三角图像性 挑战。
三角函数的图像与性
质，提升函数应 2023年天津卷第5题，5分
质
用能力
2023年甲卷第10题，5分
2023年乙卷第6题，5分
2023年I卷第15题，5分
2023年II卷第16题，5分1、三角函数图象的变换
（1）将 的图象变换为 的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对 作的变换；
（3）伸缩变换
①沿 轴伸缩时，横坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（纵坐标 不变）；
②沿 轴伸缩时，纵坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（横坐标 不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；的单调递增区间是 ．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合 ， ，
， 的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为 的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于 或 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中
心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为奇函数，则有 ．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间
的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 个周期列不等式（组）求解.1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
2．（2024年北京高考数学真题）设函数 .已知 ， ，且 的最
小值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知： 为 的最小值点， 为 的最大值点，
则 ，即 ，
且 ，所以 .
故选：B.
3．（2024年天津高考数学真题）已知函数 的最小正周期为 ．则 在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】因为函数 的最小正周期为 ，则 ，所以 ，
即 ，当 时， ，
所以当 ，即 时，
故选：D
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ， ，当 时，
曲线 与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为x∈ (−1,1)，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于ℎ(x)有且仅有一个零点，
因为 ，
则ℎ(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知ℎ(x)的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即ℎ(x)有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当 时，曲线 与 的交点个数为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数 的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
6．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
故 即 ，
从而 ，故 ，
故选：A.
7．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数 和 ，下列说法
中正确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令 ，解得 ，即为 零点，
令 ，解得 ，即为 零点，显然 零点不同，A选项错误；
B选项，显然 ，B选项正确；
C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ，
的对称轴满足 ，
显然 图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
8．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于
原点对称.若 ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】由题意 ，从而 ，
因为 ，所以 的取值范围是 ， 的取值范围是 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 .
故答案为： .
9．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数 在 上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】 ，当 时， ，当 时，即 时， .
故答案为：2
10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，
，则 .
【答案】
【解析】法一：由题意得 ，
因为 ， ，
则 ， ，
又因为 ，
则 ， ，则 ，
则 ，联立 ，解得 .
法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 ,
， ，
则
故答案为： .11．（2023年北京高考数学真题）已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明
p为假命题的一组 的值为 ， ．
【答案】
【解析】因为 在 上单调递增，若 ，则 ，
取 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，
即 ，则 .
不妨取 ，即 满足题意.
故答案为： .
12．（2023年北京高考数学真题）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【解析】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件①不能使
函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 .
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．题型一：齐次化模型
【典例1-1】（2024·高三·江西宜春·期末）已知 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意若 ，则 ，不符合题意，
所以 ，
即 ，解得 ，
故选：D
【典例1-2】（2024·高三·河北沧州·期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故 .
故选：D
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）（二次隐型齐次化）
或者
这种类型题，分子分母同除以 （一次显型）或者 （二次隐型），构造成 的代数式，
这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【变式1-2】（2024·陕西安康·三模）已知 ，则 （ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
故选：C.
【变式1-3】若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
，
故选：A1．设 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一：因为 ， ，
所以 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，
解法二：因为
，
故选：D．
题型二：辅助角与最值问题
【典例2-1】若函数 在 处取得最大值，则 .
【答案】【解析】因为 ，
设 ， ，
则 ， ，
当 ， 时，
即当 ， 函数 取最大值，最大值为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【典例2-2】（2024·高三·江西萍乡·期中）设 ，且
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，
令 ，则 ，且 ，
所以 ，
因为 是 上的减函数，所以 ，即 ．
故答案为：
第一类：一次辅助角: = ．（其中 ）
第二类：二次辅助角
【变式2-1】（2024·高三·山东临沂·期中）已知关于x的方程 有解，则
的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由 ，其中 ，
则 ，可得 ，即 ，
两边平方化简可得 ，因此 ，
由 ，则 ，当且仅当 时，等号成立.
故答案为： .
【变式2-2】已知 ，求 的最大值 .
【答案】【解析】∵ ，且 ，
∴ ，即 ，
所以 ，
设 ，
由 .
故 的最大值为 .
故答案为：
1．[新考法]（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角 、 均为锐角，则 的范围是
．
【答案】
【解析】因为角 、 均为锐角，所以 的范围均为 ，
所以 ，
所以
因为 ，所以 ，
，
当且仅当 时取等，
令 ， ， ，
所以 .
则 的范围是： .
故答案为：
题型三：与三角函数有关的最值问题
【典例3-1】已知函数 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令 ，得 ，即 在区间 内单调递增；令 ，得 ，即 在区间 内单调递减．
则 ．
故答案为： .
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为 ，
所以
．
当且仅当 ，即 时，取等号．
根据 可知， 是奇函数，于是 ，此时
．
故答案为： .
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，，
当且仅当 ，即 时， ．
根据 可知， 是奇函数，于是 ．
故答案为： .
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当 时等
号成立．
故答案为： .
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设 ，则 可化为 ，
当 时， ；当 时， ，对分母求导后易知，
当 时， 有最小值 ．
故答案为： .
［方法六］： 配方法，
当且仅当 即 时， 取最小值 ．
故答案为： .
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为 ，所以 ，
即函数 的一个周期为 ，因此 时， 的最小值即为函数的最小值．
当 时， ，
当 时， 因为
，令 ，解得 或 ，由 ， ， ，
所以 的最小值为 ．
故答案为： .
【典例3-2】函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题知 ，
整理得 ，
令 ，易知 ，
所以 知 在 时是单调递减函数，
因为 ，
整理得 ，
解得 ，代入 中有 的最大值为 ，
即 的最大值为 .
故选：D.
三角函数最值问题，一直是高考中的难点与重点。这类题目常融合三角恒等变换，结合函数、导数与
不等式，求解不易。通常，处理三角函数最值问题，可采用以下策略：化一简化法、变量替换法（换元）、
主元突出法、图形与数值结合法，以及导数求极值法。
【变式3-1】已知 ，则 的最大值为
【答案】
【解析】 ， 设 ， ，，其中 ，
可知当 时， .
故答案为：
【变式3-2】在 中， 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根据题意，令所求代数式为M，则
，
等号当 ，且 ，即 时取得．
因此所求代数式的最大值为2．
故选：C
1．已知函数 （ ），则函数 的最大值为 .
【答案】
【解析】因为
因为 ， ，
所以即
根据基本不等式取等条件得 ，
当 时f (x)取最大值，即 ,
即 ，解得 ，
所以 ，
即 的最大值为 ．
故答案为： .
2．函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
，
不妨设 ，
则 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以函数 在 上为增函数，在 上为减函数，
且 ， ， ，
，即 ，
，
故答案为：
题型四：绝对值与三角函数综合模型
【典例4-1】已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小值为
C． D． 在 上有解
【答案】D
【解析】 ，
是以 为周期的函数，当 时， ，
则 ，
，
∴函数 的最小正周期为 ，函数 的最小值为1，故AB错误，
由 ，故C错误；
由 ，∴ 在 上有解，故D正确.
故选：D.
【典例4-2】（2024·高三·上海宝山·开学考试）已知 ，给出下述四个
结论:
① 是偶函数; 在 上为减函数;
②
③ 在 上为增函数; 的最大值为 .
④
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①，易得 的定义域为 ，关于原点对称，
因为
，所以 是偶函数，故正确；
对于②和③，因为 ，，
且 ，所以 在 不是减函数，在 也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当 时，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
当 时，
，
因为 ，
所以 ，所以 ；
当 时， ；
当 时，
，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以，综上所述，当 时， 的最大值为 ，由于 为偶函数，所以当 时， 的最大值也为 ，故 的最大值为 ，故④正确；
故选：D
关于 和 ，如图， 将 图像中 轴上方部分保留， 轴下方部分沿着
轴翻上去后得到，故 是最小正周期为 的函数，同理 是最小正周期为 的函
数； 是将 图像中 轴右边的部分留下，左边的删除，再将 轴右边图像作对称至左边，
故 不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【变式4-1】关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上单调；
③函数 的最大值为M，最小值为m，则 ；
④若 ，则函数 在 上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A
【解析】由 ，可知 为偶函数，①对.由 ，得 关于 对称；
由 ，得 的周期为 ；当 时，
其中 且 ；作出 在 上的图象，并根据 的对称性及周期性作出
的大致图象.
由图可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 上不单调，②错；
的最大值 ，最小值 ，故 ，③错；
若 ，则 在 上有4个零点，④对，
故选：A.
【变式4-2】关于函数 ，其中 有下述四个结论：
① 是偶函数； ② 在区间 上是严格增函数；
③ 在 有3个零点； ④ 的最小正周期为 ．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】A
【解析】 的定义域为 ，
，所以 是偶函数，①正确.当 时， 是严格增函数，②正确.
当 时， ，
所以 在 有无数个零点，则③错误.
，
所以 不是 的最小正周期，④错误.
综上所述，正确的为①②.
故选：A
1．（多选题）已知函数 ，则（ ）
A． 是 的一个周期 B． 是 的一条对称轴
C． 的值域为 D． 在 上单调递减
【答案】BCD
【解析】 ，图像如图所
示：
由图像可得，函数的最小正周期为2π，故选项A错误，不符合题意；是 的一条对称轴，故选项B正确，符合题意；
的值域为 ，故选项C正确，符合题意；
在 上单调递减，选项D正确，符合题意；
故选：BCD.
题型五：三角函数的综合性质
【典例5-1】（多选题）已知函数 ，若 及其导函数 的部
分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数 在 上单调递减
C． 的图象关于点 中心对称
D． 的最大值为
【答案】AB
【解析】因为 ，所以 ，根据图象可知，当 时，，所以 单调递增，故 ，从而 ．
又 ，所以 ，由 得 ，
故 ， ．
选项A： 的最小正周期为 ，故 ，A正确．
选项B：令 ，解得 ，
故函数 在 上单调递减，B正确．
选项C：由于 ， ，
故 的图象不关于点 中心对称，故C错误．
选项D： ，
其中 为锐角，且 ，（辅助角公式的应用）,所以 的最大值为 ，D错误．
故选：AB
【典例5-2】（多选题）已知函数 ，若 ，且 ，则函数
的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC【解析】 的解析式经过辅助角公式变换可转化为正弦型，因为 ，
所以当 时函数取得最小值，即直线 是函数 图象的一条对称轴，
又 ，所以 ，根据图象的对称性得到 ，
即 ，所以 ，
所以 ．
所以 ，解得 ，
则 的最小正周期 ， ，
当 时， ；当 时， ．验证得AD不符合题意，
故选：BC．
三角函数的综合性质解题，关键在于掌握其基本关系、图像变换及周期性。解题时，先识别函数类型，
利用诱导公式化简，再结合图像分析性质，如单调性、最值等。最后，灵活运用三角函数公式求解，注意
计算准确性。
【变式5-1】（多选题）已知函数 的最小正周期为 ，其图
象关于直线 对称，且对于 恒成立，则（ ）
A．函数 为偶函数B．当 时， 的值域为
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度后可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】ACD
【解析】由题意 的最小正周期为 ，
得： ，
对于 恒成立，则 ，
图象关于直线 对称，代入 ，得到 ，
由于 ，取 ，则 ，
所以 为偶函数，
当 时， ，所以 ，
所以 的值域为 ，故B错误；
将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，故C正确；
将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象.
因为当 时， ，
所以得到的函数图象关于点 对称，故D正确.
故选：ACD.
【变式5-2】（多选题）已知函数 （ ， ）图象的两条对称轴间距离的最小值
为 ，且 为 的一个零点，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．
C． 在 上单调递增
D．当 时，曲线 与直线 的所有交点的横坐标之和为
【答案】AB
【解析】对于A，因图象的两条对称轴间距离的最小值为 ，则 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B，由A分析可得， ，因 为 的一个零点，
则 ，因 ，取 ，则 .
得 ，故B正确；对于C， ，因 在 上不单调，故C错误；
对于D，由AB分析可画出 在 上的图象如图所示，则y=f (x)与 有4个交点，设其横坐标
从左到右依次为 ， ， ， ，
令 ， ，得 ， ，
所以函数 的对称轴方程为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
数形结合可知 ，故D错误．
故选：AB．
1．[新考法]（多选题）已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的最大值为
C． 在 上单调递增D．方程 在 上最多有4个解
【答案】BD
【解析】当 时， ；
当 时， ，画出函数 的大致图象，如图．
由图象可知，函数 的图象不关于直线 对称，故A错误；
的最大值为 ，故B正确；
在 上单调递增，在 上单调递减，故C错误；
当 时，方程 在 上有4个解，故D正确．
故选：BD．
2．[新考法]（多选题）设函数 的最小正零点为 ，则（ ）
A． 的图象过定点 B． 的最小正周期为
C． 是等比数列 D． 的前 项和为
【答案】AC
【解析】对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B， 的最小正周期为 ，故B错误；
对于C，令 ，得 ，所以 ，
整理得 ，即 的零点为 ，
而 是 的最小正零点，则 ， ，
显然 ， ， ，
所以 是 ， 的等比数列，故C正确；
对于D， 的前 项和为 ，故D错误.
故选：AC.
题型六：换元法配凑角
【典例6-1】[新考法]若 ，则 .
【答案】 /0.5
【解析】由 得：，
所以
化简得到：
，
所以 ；
所以 .
故答案为： .
【典例6-2】已知 ，且 ，则 .
【答案】
【解析】由于 ， ，故 .
而 ，故 .
所以 .
故答案为：
三角函数“凑角拆角”问题，常规配凑解法繁琐。采用换元法，可简化步骤，快速求解。
【变式6-1】已知 ，则 .【答案】
【解析】所以 .
故答案为： .
【变式6-2】设 ，若 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】 ，若 ， ，
，
， ，
．
故答案为： .
1．已知 ， ，则 .
【答案】 /
【解析】由 可得 ，则 ，因为 ，所以 ，
则
.
故答案为：
题型七：三倍角公式
【典例7-1】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科
研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比 ，现给出三倍角公式
和二倍角角公式 ，则t与 的关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，即 ，令 ，
则 ， ， ，
即 ，
因为 ，所以 ，
即 ，整理得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
故 ．
故选：B
【典例7-2】（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知 为坐标原点，曲线 ：
， ， 为曲线 上动点，则（ ）
A．曲线 关于y轴对称 B．曲线 的图象具有3条对称轴
C． D． 的最大值为
【答案】ABC
【解析】对于选项A:将 用 替换代入方程，方程不变，故曲线关于y轴对称，A正确；
对于选项B:由
，
令 ， ，
代入整理可得 ，
其中 ， 为点 所在终边对应的角度，且 ，
因为 ，故 ，
因为曲线关于y轴对称，
故 对应的图象关于 轴（即y轴对称）对称，
注意到 关于 的周期为 ，故曲线也关于 和 （即 ）对称，
故B选项正确；
对于选项C: ，C正确；
对于选项D: ，D错误；
故选：ABC．
C另 ，
该方程关于 有解，令 ，则 在 上有根，
由 ，
则 ， 或 ，
解得； 或
综上： ．
D另 ，
解得 ．
三倍角公式: (1) .(2) .
(3) .
【变式7-1】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 原不等式可变形为
令 ，则 ，
.当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 .又 ，所以 .
故答案为： ．1．已知 为锐角，且 .则 .
【答案】
【解析】由题设及三倍角的余弦公式，得
，即 .
故 .
故答案为:
重难点突破：w 的取值与范围问题
【典例8-1】已知函数 在区间 上是增函数，若函数 在 上的图象与
直线 有且仅有一个交点，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 的图象关于原点对称，并且在区间 上是增函数，所以
，所以 ，
又 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上的图象与直线 的第一个交点的横坐标为 ，第二个交点的横坐标为 ，
所以 ，解得 ，
综上所述， .
故选： .
【典例8-2】（2024·高三·河北石家庄·期中）已知函数 在 上恰有
2个零点，则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
令 ，即 ， ；
又因为 ，所以 ，
令 ，有 ，则问题转化为 ，如图所示，因为函数 在 上恰有2个零点，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
1、 在 区间 内没有零点
同理， 在区间 内没有零点
在区间 内有 个零点
2、
在区间 内有 个零点
同理3、 在区间 内有 个零点
同理 在区间 内有 个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，则
．
5、已知单调区间 ，则 .
【变式8-1】（2024·新疆阿勒泰·三模）已知 ，若函数 在区间 上有且只有
个零点，则 的范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】∵ 在区间 上有且只有 个零点，
∴令 ，当 时， ，
∴ 在区间 上有且只有 个零点，即 在区间 上有且只有 个零点，
又∵ 的零点（即对称中心的横坐标）为 ， ，
∴当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
∴ ，解得 .
故选：D.
【变式8-2】（2024·高三·福建厦门·期中）若直线 是曲线 的一条对称轴，且函
数 在区间 上不单调，则 的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【解析】因直线 是 一条对称轴，所以 ， .整理可得： ，即 ， .
由 ，得 .
则函数 在 上单调递增.
因为函数 在区间 上不单调，所以 .
解得 .因为 ， 且 ，所以 的最小值为11.
故选：C.
1．若函数 在 内存在最小值但无最大值，则 的范围是
【答案】
【解析】函数 ， ，
所以当 时， ，
又 在 内存在最小值但无最大值，
结合图象可得 ，
解得 .故答案为：
2．已知 （其中 ），其函数图像关于直线 对称，若函数在区间 上
有且只有三个零点，则 的范围为 ．
【答案】
【解析】函数 关于直线 对称，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
当 ，则 ，
要使函数在区间 上有且只有三个零点，所以 ，
所以 的范围为： .
故答案为：
