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第三篇 思想方法篇
思想04 化归与转化思想（讲）
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方法技巧 典例分析
1.转化与化归思想的含义
转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到
解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的
问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
2．转化与化归的原则
(1)熟悉化原则 (2)简单化原则 (3)直观化原则
(4)正难则反原则
3. 转化与化归的策略方法
(1)直接转化法 (2)换元法 (3)数形结合法 (4)构造法
(5)坐标法 (6)类比法 (7)特殊化方法 (8)等价问题法
(9)加强命题法 (10)补集法
4．转化与化归思想在解题中的应用
(1)在三角函数和解三角形中,主要的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的
转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等.
(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重
要的方法.
(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平
面几何、解析几何语言进行转化.
(4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.
(5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题转化为其导函数f'(x)构成的方程、
不等式问题求解.(6)在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转化.
5．转化与化归的常见类型：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；如在三角函数和解三角形中,主要
的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理、余弦定理实
现边角关系的相互转化等.
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为
易于解决的基本问题；
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题.
01 等与不等引起的转化
【核心提示】
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、
不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转
化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
【典例分析】
典例1.（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
典例2.（2022重庆市渝东九校联盟高二下学期期中）定义在 上的奇函数 的图像连续不断，其导函数为
，对任意正数 恒有 ，若 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
典例3.（2020·全国高考真题（理））设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线
与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．02 特殊与一般引起的转化
【核心提示】
特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方
法．这类转化法一般的解题步骤是：
第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．
第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转
化为一般问题时，寻找“一般元素”．
第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立
新的需要解决的问题．
第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题．
第五步：回归目标问题．
第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选
择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论
唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
【典例分析】
典例4.（2021·浙江·高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，
大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
典例5.（2023·江苏南通·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列 的通项公式
__________.
① ；②
典例6.（2023·全国·高三专题练习）若 ， ， .
(1)求证： ；
(2)令 ，写出 、 、 、 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 .
03 正与反引起的转化
【核心提示】
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”
“至少”情形的问题中．
【典例分析】
典例7.（2022·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，
假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的
种数有（ ）
A．60 B．66 C．72 D．80
典例8.（2022·全国·高三专题练习） 个点将半圆分成 段弧，以 个点（包括 个端点）为顶点的三角形中
钝角三角形有（ ）个
A． B． C． D．
典例9.（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，证明： ， ， 这三个数中至少有一个数不大于1；
(2)若 ，且 ，证明： .
04 空间与平面引起的转化
【核心提示】
立体几何中有些问题的解答，可以转化为平面几何问题来解决，即考虑转化成在一个平面上的问题，运用平面
几何知识求解.特别是涉及旋转体的问题，通过研究轴截面，寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．
【典例分析】
典例10.【多选题】（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N
为正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．C． D．
典例11.（2022秋·广东佛山·高二校联考阶段练习）如图1，在 ABC中，D为AC的中点， ， ，
△
，将 ABD沿BD折起，得到如图2所示的三棱锥P-BCD，且平面PBD⊥平面BDC.
△
(1)证明： 面PBD；
(2)求二面角C-PD-B的余弦值.
典例12.（2021秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）如图①，在等腰三角形 中，
， ， ， 分别在边 上，且满足 ． 将 沿直线 折起到
的位置，连接 ， ，得到如图②所示的四棱锥 ，点 满足 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．05 数与形引起的转化
【核心提示】
利用数形结合思想，往往可以实现数与形的相互转化，特别是涉及函数方程与函数图象、曲线与方程等问题，
适时进行数与形的相互转化，可以达到化难为易、化繁为简的良好效果.
【典例分析】
典例13. 【多选题】（2021·全国·高考真题）已知点 在圆 上，点 、 ，则
（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
典例14.（2018·浙江高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A，B满足 =2 ，则当
m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
典例15.（2023·山东日照·统考一模）已知 中，a，b，c是角A，B，C所对的边， ，
且 .
(1)求角B；
(2)若 ，在 的边AB，AC上分别取D，E两点，使 沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A
正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.
