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专题 4-1 三角函数中的高频小题归类
目录
专题4-1三角函数中的高频小题归类.............................................................................................1
..................................................................................1
题型一：与扇形有关的数学文化.....................................................................................................1
题型二：同角三角函数.....................................................................................................................8
题型三：三角函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性问题..................................................12
题型四：根据三角函数图象求解析式...........................................................................................20
题型五：拼凑角问题.......................................................................................................................31
题型六：三角函数中的值域问题...................................................................................................35
题型七：三角函数中 问题..........................................................................................................41
题型八：三角函数的实际应用.......................................................................................................47
.............................................................57
一、单选题.......................................................................................................................................57
二、多选题.......................................................................................................................................63
三、填空题.......................................................................................................................................68
题型一：与扇形有关的数学文化
【典例分析】
例题1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角
形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为
，则其面积是______．
例题2．（2022·广东·铁一中学高三期末）某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在
庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为 ， ， (单
位： )，则三个圆之间空隙部分的面积为______ .
【提分秘籍】
扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：
l=|α|r
(α是圆心角的弧度数)，
1 1
扇形面积公式：
S= l r= |α|r2
.
2 2
【变式演练】
1．（2022·江西·南昌市第八中学高三阶段练习（理））王之涣《登鹳雀楼》：白日依山
尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼､诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了
“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷
千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径 ，如图，设O为地球球心，
人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高 计
算，“欲穷千里目”即弧 的长度为 ，则需要登上楼的层数约为（ ）
（参考数据： ， ， ）A．1 B．20 C．600 D．6000
2．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））中国古
代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面
均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲
池”，其高为3， 底面，底面扇环所对的圆心角为 ， 长度为 长度的3倍，
且线段 ，则该“曲池”的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为
“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉
边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是 的外接圆和以 为直径的圆的一部分，若
，南北距离 的长大约 m，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据：
）A．572m2 B．1448m2 C． m2 D．2028m2
4．（2022·全国·高三专题练习）鲁洛克斯三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其
边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形，如图①.鲁洛克斯三角形的特点是：
在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径 （等于正三角形的边长）的
两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触.由于这个性质，机械加工中把钻头
的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出圆角正方形（视为正方形）的孔
来.图②是鲁洛克斯三角形钻头（阴影部分）与它钻出的圆角正方形孔洞的横截面，现有一
个质点飞向圆角正方形孔洞，则其恰好被钻头遮挡住，没有穿过孔洞的概率为_________.
题型二：同角三角函数
【典例分析】
例题1．（2022·江苏无锡·高三期中）已知 ， ，则
的值为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若 ，则 ______．
例题3．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）（1）已知 ，求 和
的值；
（2）已知 ，求 的值.
【提分秘籍】
同角三角函数的基本关系
1、平方关系：
2、商数关系: （ ， ）
关系式的常用等价变形
1、
2、
【变式演练】
1．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（理））已知 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．2．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）已知 ，
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）若 ，则
________.
4．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）已知 ，则
_______．
题型三：三角函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性问题
【典例分析】
例题1．（多选）（2022·重庆市永川中学校高一阶段练习）已知函数
的图象关于直线 对称，则（ ）
A．由 可得 是 的整数倍
B．函数 为偶函数
C．函数 在 上为减函数
D．函数 在区间 上有19个零点
例题2．（多选）（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）设函数
，已知 在 ， 有且仅有4个零点．则下列说法正确的是（ ）
A． 在 必有有2个极大值点 B． 在 有且仅有2个极小值点
C． 在 上单调递增 D． 的取值范围是
例题3．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数
向左平移 个单位后为偶函数，其中 .则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
函数
图象
定义
域
定义
域
值域
周期
性
奇偶 奇函数 偶函数
性
单调 在每一个闭区间
在每一个闭区间 (
性
( )上都单调递增;在每一个闭区间
)上都单调递增;在每一个闭区间
( )上都单调递减
( 上都单调
递减最值
当 ( )时， ;
当 ( )时， ;
当 ( )时，
当 ( )时， ; ;
图象
对称中心为 ( ),
对称中心为 ( ),
的对
称性
对称轴为直线 ( )
对称轴为直线 ( )
【变式演练】
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 ，则“ ＋2kπ，k∈Z”是
“ 为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）下列函数中，在 上递增，且周期为 的偶
函数是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·江苏省镇江第一中学高三阶段练习）已知函数 ，
则下列各选项正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称C．函数 在 上单调递减
D．函数 在 上恰有4个极值点
4．（多选）（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）已知函数
，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有( )
A．对任意的 ，都有
B．将函数 的图象向左平移 个单位，可以得到偶函数
C．函数 在区间 上是减函数
D．“函数 取得最大值”的一个充分条件是“ ”
5．（多选）（2022·黑龙江·鸡西市英桥高级中学高三期中）已知 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 的周期是 B．函数 关于 对称
C．向左平移 关于原点对称 D． 在 单调递增
题型四：根据三角函数图象求解析式
【典例分析】
例题1．（2022·上海市行知中学高一期末）函数 （其中 ，
）的图像如图所示，为了得到 的图象，则只要将 的图象（ ）A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
例题2．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知函数
（ ， ， ）的部分图象如图所示，其中 ， ，
．将函数 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的单调递减区间为（ ）．
A． ( ) B． ( )
C． ( ) D． ( )
例题3．（2022·山东日照·高一期末）若函数 部分
图像如图所示，则函数 的图像可由 的图像向左平移___________个单位得
到.例题4．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（文））已知函数
的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单
位长度，得到函数 的图象，则 __________.
【提分秘籍】
必备公式
，（其中 ）；
辅助角公式
求 解析式
求法
方法一：代数法 方法二：读图法 表示平衡位置；
表示振幅
求法
方法一：图中读出周期 ，利用 求解；
方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取
舍答案.
求法 方法一：将最高（低）点代入 求解；
方 法 二 ： 若 无 最 高 （ 低 ） 点 ， 可 使 用 其 他 特 殊 点 代 入求解；但需注意根据具体题意取舍答案.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A． 为偶函数
B． 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C． 图象的对称中心为 ，
D． 在区间 上的最小值为
2．（2022·四川·石室中学高三期中（文））已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）A．直线 是函数 的图象的一条对称轴
B．函数 的图象的对称中心为 ，
C．函数 在 上单调递增
D．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
3．（2022·贵州·凯里一中高二期中）已知函数 （其中 ， ，
）的部分图象如图所示，将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，
再向左平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海市浦东中学高一期末）函数 （ ）的部分图象如图所示，若将 图象上的所有点向右平移 个单位得到函数 的图象，则
函数 __．
7．（2022·河北·模拟预测（理））已知函数 的部分图
象如图所示，将 的图象向左平移 个单位得到 的图象，若不等式
在 ，上恒成立，则 的取值范围是 __．
题型五：拼凑角问题
【典例分析】
例题1．（2022·辽宁抚顺·高三期中）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知 ，则
（ ）A． B． C． D．
例题2．（2022·安徽·高三阶段练习）已知 为锐角， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
通过将已知角和未知角进行“ ”，或者“ ”拼凑出特殊角，常用的有：
等
【变式演练】
1．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆·高三阶段练习）已知 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．3．（2022·黑龙江·佳木斯一中高三期中）已知 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二期中（理））若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型六：三角函数中的值域问题
【典例分析】
例题1．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））函数
的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））函数 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·四川·阆中中学高三阶段练习（文））函数 的
值域为___________．
例题4．（2022·全国·高一课时练习）函数 ， 的值
域是______．
例题5．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数
的最大值为______.
【提分秘籍】三角函数值域问题，注意自变量 的范围，常涉及到换元法，可化为二次函数型等。
【变式演练】
1．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若 ，则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校高三阶段练习（文））若函数
在区间 上的最大值是 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
3．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）若关于 的方程 有解，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京师大附中高三阶段练习）函数 是（ ）
A．奇函数，且最大值为 B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为
5．（2022·辽宁实验中学高一期中）函数 的最大值为
______．
6．（2022·全国·高一课时练习）函数 ， 的值域是
_____________．
题型七：三角函数中 问题
【典例分析】例题1．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（理））把函数 的
图象向左平移 个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐
标不变，得到函数 的图象．若函数 在 上恰有3个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·四川南充·高三期中（文））将函数 的图像向
右平移 个单位，得到函数 的图像，若 在 上为增函数，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高一专题练习）若将函数 的图象向右平移
个单位长度后，与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【提分秘籍】
求 题型多为难题，规律不明显，大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点(最高
点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出 值或者范
围。
【变式演练】
1．（2022·湖北·高三阶段练习）将函数 的图象上所
有的点，横坐标扩大为原来的2倍纵坐标保持不变得 的图象，若 在 上
单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．2．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知函数 ，将 的图
象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，点 、 、 是 与 图象的
连续相邻的三个交点，若 是锐角三角形，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二阶段练习）已知函数
， 图象上每一点横坐标伸长到原来的2倍，得到 的
图象， 的部分图象如图所示，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·辽宁·大连市一0三中学高一期中）将函数 的图象向
左平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 在区间 上单调递增，则
的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
题型八：三角函数的实际应用
【典例分析】
例题1．（2022·广东广州·高三期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 的水车，一个水斗
从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过 秒后，水
斗旋转到 点，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足
，则 的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测
上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连
续下跌，现有三种价格模拟函数：① ；② ；③
（以上三式中 均为常数．）
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
(2)若 ，求出所选函数 的解析式（注：函数的定义域是 ，其
中 表示1月份， 表示2月份，⋯⋯，以此类推），为保证果农的收益，打算在
价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？例题3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（理））海水受日月的引力，在
一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮
时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关
系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深 与时间 之间的关系，该
函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的
距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船
可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．
时刻 水深m 时刻 水深m 时刻 水深m
0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0
3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5
6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
【提分秘籍】
利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出
已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立
关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而
实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
【变式演练】
1．（2022·湖北·高三阶段练习）一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋
转一周.它的最低点 离地面2m，风车翼片的一个端点 从 开始按逆时针方向旋转，点
离地面距离 与时间 之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京密云·高三期中）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中
轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径 米，总高约 米，匀速旋转一周时间
为 分钟，配有 个球形全透视 度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天
轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学
通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差 分钟.这两名同学在摩天轮上
游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米3．（2022·江苏无锡·高三期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天
轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度
为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮
按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后
距离地面的高度为H m，转一周需要30min．
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高
度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．
4．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习）某实验室一天的温度（单位：℃）随时
间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： ．
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．一、单选题
1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）函数 的图象如图所示，
则以下结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．在 上的零点之和为
D．最大值点到相邻的最小值点的距离为
2．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）若函数 在 恰
好存在两个零点和两个极值点，则（ ）
A． B．
C． D．3．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知 ，满足 ，若函
数 在区间 上有且只有两个零点，则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知函数 ，若 在 上
的值域是 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））
在 上有两个零点 ， ，则
（）
A． B． C． D．
7．（2022·安徽·高三阶段练习）函数 在 上有
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．8．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的图象向左平移 （ ）个单
位长度后得到 的导函数 的图象，则 （ ）
A． B．3 C．1 D．
二、多选题
9．（2022·广西·高二阶段练习）关于函数 ， ，下列说法正
确的是（ ）
A．一个对称中心为
B．对称轴为
C． 单调区间为 ，
D． 在 内没有零点
10．（2022·广东·恩平黄冈实验中学高二阶段练习）函数 在
上单调递增，下列命题正确的有（ ）．
A． 的图像向左平移三个单位得 的图象
B． 的图像有一个对称中心为
C． 是 图像的一条对称轴
D． 在 上单调递减
11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为 的极小值点
B． 的图象关于 中心对称
C． 在 上有且仅有5个零点
D． 的定义域为
12．（2022·湖南常德·高三阶段练习）已知函数 的定义域为
，值域为 ，则 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一阶段练习）已知 ，且
，则 ______.
14．（2022·广西贵港·高三阶段练习）已知函数 在区间 上
有且仅有3个极值点，给出下列四个结论，正确的序号是_______________.
① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；
④ 在区间 上单调递增.15．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数
，当 时函数 能取得最小值，当 时函数 能取得最大值，且
在区间 上单调，则当 取最大值时 的值为__________.
16．（2022·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末）我们知道函数的性质中，以下两
个结论是正确的：(1)偶函数 在区间 上的取值范围与在区间 上的取
值范围是相同的；(2)周期函数 在一个周期内的取值范围也就是 在定义域上的值
域．由此可求函数 的值域为_______．
17．（2022·广西·灵川县潭下中学高三阶段练习（理））将函数 的图
象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数 在
上有且只有3个零点，则 的取值范围是___________.
18．（2022·上海市嘉定区中光高级中学高三期中）已知 则函数
的最大值为______________.
