文档内容
专题 11 三角函数的图象与性质（ω 的取值范围）
三角函数的图象与性质一直是高考的必考内容，也是高考热点内容，在三角函数图象中，w对整个
图象的性质影响巨大。因此近年高考中对ω的取值范围的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈
现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素养要求较高，所以对w的取值范围的系统研究，找到
解题的通性通法对提高学生的整体数学素养有巨大的帮助。
一、热点题型归纳
题型1、与函数平移相关的ω取值范围问题
题型2、与函数单调性相关的ω取值范围问题
题型3、与函数零点相关的ω取值范围问题
题型4、与函数最值相关的ω取值范围问题
题型5、与函数极值相关的ω取值范围问题
题型6、与函数对称性相关的ω取值范围问题
题型7、与零点、单调性、对称性等相关的综合性问题
二、最新模考题组练
三、十年高考真题练
【题型1】与函数平移相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
1、平移后与原图象重合：1）平移长度即为原函数周期的整倍数；2）平移前的函数 =平移后的函数
.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数 =新的函数 .
3、平移后的函数与原图象关于 轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于 轴对称：平移前的函数 =平移后的函数- ；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
【典例分析】
1.（2022.辽宁高三模拟）已知函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，
若所得图像与原图像重合，则 的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题（甲））将函数 的图像向左平移 个单位长度后
得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，若 ，
把 的图象向左平移 个单位长度，得到奇函数 的图象，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【变式演练】
1.（2022.绵阳市高三校考期中）将函数 （ ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象
经过点 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022.江西高三期末）若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数
的图像重合，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京·人大附中校考模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度
后得到函数 的图象，则 ______；若 为偶函数，则 的最小值是______.
【题型2】与函数单调性相关的ω取值范围问题
【解题技巧】已知函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，在[x ,x ]上单调递增（或递减），求ω的取值范围
1 2
1 π π
1）根据区间[x ,x ]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x −x ≤ T= ，求得0<ω≤ .
1 2 2 1 2 ω x −x
2 1
π π
2）以单调递增为例，利用[ωx +φ,ωx +φ]⊆[− +2kπ, +2kπ]，解得ω的范围；
1 2 2 2
3）结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.
【典例分析】
1．（2022·湖南·长沙模拟预测）已知函数 ，若 在区间 内单调递减，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·高三专题练习）已知函数 在区间 上单调递减，则
的取值范围为________.
3．（2022·河北张家口·高三期末）已知函数 ， 且函数 在
区间 上单调递减，则 的最大值为___________.
【变式演练】
1.（2022·河南·汝州市模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·广西·高三专题练习）将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐
标不变 ，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 在 上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．3．（2022秋·陕西西安·高三校考阶段练习）将函数 的图像向左平移 个单位长
度后，得到的图像关于 轴对称，且函数 在 上单调递增，则函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【题型3】与函数零点相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和
周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．
【典例分析】
1．（2022·河南·校联考模拟预测）已知函数 ， ，且
在 上恰有50个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽合肥·校考模拟预测）已知函数 在区间 上有且仅有4
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数 ，方程 在区间 有且仅
有四个根，则正数 的取值范围是_________．
【变式演练】
1．（2022·河南南阳·高一期末）设函数 ，已知 在 上有且仅有 个
零点，则下列说法错误的是（ ）
A． 的取值范围是 B． 的图象与直线 在 上的交点恰有 个C． 的图象与直线 在 上的交点可能有 个 D． 在 上单调递减
2．（2022·安徽·铜陵高三阶段练习）已知函数 ，若方程 在
上有且只有五个实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆江北·校考一模）函数 在 上有 个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型4】与函数最值相关的ω取值范围问题
【典例分析】
1．（2022·安徽马鞍山·三模）函数 在区间 上恰有两个最小值点，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·宝丰县模拟预测）已知函数 在区间 上的值域为 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数 ，若 ，且 在
上有最大值，没有最小值，则 的最大值为______．
【变式演练】
1.（2022·河南·高三期中）若函数 在区间 内不存在最小值，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．2.（2022·广东·广州市高三阶段练习）已知定义在 上的函数 （ ）的最大值
为 ，则正实数 的取值个数最多为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022春•瑶海区月考）将函数 ， ， 图象上每点的横坐标变为原来
的2倍，得到函数 ，函数 的部分图象如图所示，且 在 ， 上恰有一个最大值和一个最
小值（其中最大值为1，最小值为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【题型5】与函数极值相关的ω取值范围问题
【典例分析】
1．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）已知偶函数 （ ， ）在
上恰有2个极大值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西咸阳·统考一模）已知函数 ， ， 向右平移 个单位长度后的图象
与原函数图象重合， 的极大值与极小值的差大于15，则a的最小值为（ ）
A．6 B．7.5 C．12 D．18
3．（2022·青海·校联考模拟预测）若 ， 分别是函数 的零点和极
值点，且在区间 上，函数 存在唯一的极大值点 ，使得 ，则下列数值中， 的
可能取值是（ ）A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2022·辽宁丹东·统考二模）关于函数 ，有下述四个结论：
①若 在 内单调递增，则 .②若 在 内单调递减，则 .
③若 在 内有且仅有一个极大值点，则 .
④若 在 内有且仅有一个极小值点，则 .其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 （ ）在 上单调，且在 上存
在极值点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽·安庆高三阶段练习）已知函数 在区间 不存在极值点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6】与函数对称性相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，
则 ．
【典例分析】1．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）若存在实数 ， 使得函数 的图象的
一个对称中心为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆·高三专题练习）已知函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，
给出下列四个结论：① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；④ 在区间 上单调递增．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
【变式演练】
1．（2022·四川遂宁·校考模拟预测）将函数 的图象向右平移 个周期后，所得
图象恰有 个对称中心在区间 内，则 的取值范围为______.
2.（2022·福建龙岩·模拟预测）若存在唯一的实数 ，使得曲线 关于直线
对称，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·山东·模拟预测）已知函数 ，在 上恰有3条对称轴，3个对称中
心，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型7】与零点、单调性、对称性等相关的综合性问题
【典例分析】
1．（2022·新疆·统考一模）已知函数 在 上是增函数，且在 上恰有一
个极大值点与一个极小值点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
2．（2022•成都高三期末）已知 ， ，在函数 ， 的图象的
交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ，当 ， 时，函数 的图象恒在 轴的上
方，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． D．
3．（2022·陕西西安·二模（理））已知函数 ，若函数 的一
个零点为 ．其图像的一条对称轴为直线 ，且 在 上单调，则 的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
【变式演练】
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数 在 上有且仅有3个零点和2
个极小值点，则 的取值范围为______．
2．（2022秋•温州期末）若函数 能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大
值3，且在 上是单调函数，则整数 的值是
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2022•浙江模拟）已知函数 ， 在 ， 上单调，其图象经过点 ，
，且有一条对称轴为直线 ，则 的最大值是 ．
【方法总结】
求ω取值范围的基本解题思路
1、依托于三角函数的周期性：
2π 2π
因为f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T= ，所以ω= ，只要确定周期T，就可以确定ω的取值.
|ω| T
2、利用三角函数的对称性T
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 ，相邻的对称轴和对称中心
2
T
之间的“水平间隔”为 ，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω
4
的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零
点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.
3、结合三角函数的单调性
T
函数f (x)=Asin(ωx+φ)的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于 ，据此可
2
用来求ω的值或范围。反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数
f (x)=Asin(ωx+φ)在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的
伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
1．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）设 ，若函数 的图象向左平移 个单位
长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·校联考模拟预测）将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 为奇函数，则ω的最小值为
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数
的图象， 的零点到 轴的最近距离小于 ，且 在 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．4．（2022·陕西榆林·三模（理））已知 ，函数 在 上单调递增，且对任意
，都有 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东·三模）已知函数 ，且f（x）在[0， ]有且仅有3个零点，则
的取值范围是（ ）
A．[ ， ） B．[ ， ） C．[ ， ） D．[ ， ）
6．（2022·山东省潍坊高三开学考试）函数 在 有且仅有3个零点，则下列说
法正确的是（ ）
A．在 不存在 ， 使得 B．函数 在 仅有1个最大值点
C．函数 在 上单调进增 D．实数 的取值范围是
7．（2022·河南·校联考模拟预测）已知函数 的图象与直线 有两个相邻的交点
P，Q， 的图象在P，Q之间有一个极大值点A，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数 在 上的值域是 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·陕西·武功县高三阶段练习）函数 在 内恰有两个最小值点，
则 的范围是（ ）
A． B． C． D．10.（2022•儋州高三期中）将函数 的图象向右平移 个单位长度，向下
平移 个单位长度后，得到 的图象，如果对于区间 上任意的实数 ，都有
，则正数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上无极值，则 的取
值范围是（ ）
A．（0，5] B．（0，5） C．（0， ） D．（0， ]
12．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知偶函数 （ ， ）在
上恰有2个极大值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13.若存在实数 ， 使得函数 的图象的一个对称中心为 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数 在区间[0， ]上有且仅有3条对称
轴，则 的取值范围是（ ）
A．（ ， ] B．（ ， ] C．[ ， ） D．[ ， ）
15．（2022·辽宁·大连高三期中）已知函数 在区间 上是增函数，若函数
在 上的图像与直线 有且仅有一个交点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
16．（2022春•湖北期中）已知 ．给出下列判断：①若 ， ，且 ，则 ；
②若 在 ， 上恰有9个零点，则 的取值范围为 ；
③存在 ，使得 的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称；
④若 在 上单调递增，则 的取值范围为 ．
其中，判断正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
17.（2022•福建高三模拟）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=- 为f（x）的零点，x=
为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ ， ）上单调，则ω的最大值为______．
18．（2022·重庆·高三专题练习）已知函数 为 的零点，
为 图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值是______ .
1．（2019全国3卷）设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，下
述四个结论：① 在（ ）有且仅有3个极大值点 ② 在（ ）有且仅有2个极小值点
③ 在（ ）单调递增 ④ 的取值范围是[ )
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
2．（2022·全国·统考高考真题（乙））记函数 的最小正周期为T．若
，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．33．（2022·全国·统考高考真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2016·天津·高考真题）已知函数 ， .若 在区间
内没有零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
5．（全国·高考真题）已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（福建·高考真题）已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等
于
A． B． C．2 D．3
7．（2022·全国·统考高考真题）记函数 的最小正周期为T，若
， 为 的零点，则 的最小值为____________．
