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第六讲 三角函数的图象与性质
真题展示
2022 新高考一卷第六题
记函数 的最小正周期为 ．若 ，且 的图像关
于点 ， 中心对称，则
A．1 B． C． D．3
试题亮点 三角函数是一类重要的函数，三角函数的周期性是其基本性质，三角
函数的周期性决定了该函数的很多其他性质.刻画三角函数周期性的是频率ao.理
解频率a对三角函数的各种几何性质和代数性质的影响，是考查和评价考生的
基本要求.试题亮点如下：
（1）试题巧妙地设计了正弦型三角函数图像的中心对称性，反过来要求考生经
过分析与综合，判断正弦型函数频率的取值或最小正周期的取值，这是对考生
全面掌握三角函数性质及其研究方法的一次很好的检验.
（2）在试题的求解过程中，要求考生熟练掌握基本三角函数（y=sinx）的性质，
及其与复合函数（y=sin（wx+q））的性质之间的关系，有利于指导教师在高中
数学教学中整体把握三角函数的教学.
（3）数学正向问题的解决主要依靠形式逻辑推理思维，其解决路径是清晰的、
确定的；而数学反向问题的解决需要建立在辩证逻辑思维的基础上，其解决路
经需要分析与综合判断．辩证逻辑思维是考生未来进入高等学校学习，进一步开展科学研究需要运用的主要的思维方式.因此，试题有利于考查考生未来的学
习潜能，有利于检测考生的辩证逻辑思维能力，对高中数学教学具有引导作用.
知识要点整理
一、正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
，， (π ， 0) ， (0,1)，，(π，－1)，
关键五点
， ，(2π，1)
正(余)弦曲
正(余)弦函数的 叫做正(余)弦曲线
线
二、正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正
π
周期
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增对称性 对称中心(k∈Z)
三、 函数的周期性
1．函数的周期性
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个 ，使得对每一个
x∈D 都有 x＋T∈D，且 ，那么函数 f(x)就叫做周期函数． 叫
做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数叫做
f(x)的最小正周期．
四、 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正
2π 2π
周期
奇偶性 奇函数 偶函数
五、正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数 余弦函数
图象
定义
R R
域
值域 [ ] [ ]
在每一个闭区间(k∈Z)上都 在每一个闭区间[2kπ－π，
单调 单调递增， 2kπ](k∈Z)上都单调递增，
性 在每一个闭区间(k∈Z)上都 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋
单调递减 π] (k∈Z)上都单调递减
x＝＋2kπ(k∈Z)时，y ＝ x＝ (k∈Z)时，y ＝1；
max max
最值 1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时， x＝ (k∈Z)时，y ＝－
min
y ＝－1 1
min
三年真题
一、单选题
1．已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．2．函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
4．在 中， ．P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范
围是（ ）A． B． C． D．
5．设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
7．将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．8．记函数 的最小正周期为T．若 ，且 的图象关于点
中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
9．函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
10．函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
11．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．12．已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
13．下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．已知函数 的图像关于点 中心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线三、填空题
15．记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，
则 的最小值为____________．
【答案】
【详解】解： 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
16．已知函数 的部分图像如图所示，则 _______________.17．已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________．
四、解答题
18．设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
19．小明同学用“五点法”作某个正弦型函数 在一个周期内的图象时，
列表如下：
00 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数 ， ， 的值；
（2）该函数在区间 上的最大值和最小值.
20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
三年模拟
1．函数 的图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则（ ）A． B．
C． D．
2．下列四个函数中，在区间 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．4．已知函数 ，函数 的图象由 图象向右平移 个单位得到，则下列关于函数
的图象说法正确的是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线 对称 D．关于点 对称
5．对于函数 ，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域是 ；
（2）当且仅当 时，该函数取最大值 ；
（3）该函数的最小正周期为 ；
（4）当且仅当 时， ；
其中所有正确命题个数是（ ）
A． B． C． D．
6．对于函数 ，给出下列五个命题：
（1）该函数的值域是 ；
（2）当且仅当 或 时，该函数取最大值1；
（3）该函数的最小正周期为2π；（4）当且仅当 时， ；
（5）当且仅当 时，函数 单调递增；
其中所有正确命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知 ， ，则函数 的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 在 上的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
9．设 ，若向量 、 、 满足 ，且 ，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数 ，下列说法中，正确的是（ ）
A．函数 不是周期函数
B．点 是函数 图象的一个对称中心
C．函数 的增区间为
D．函数 的最大值为
